专题07 投影与视图 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题07 投影与视图 暑假预习讲义 ✺知识框架 一、投影 1.投影的基本概念：投影现象、投影线、投影面、投影 2.中心投影：点光源下的投影及其特征 3.平行投影：平行光线下的投影，物高与影长关系 4.正投影：平行投影的特殊情况，平面图形的正投影性质 二、视图（三视图是几何体的正投影） 1.三视图：主视图、左视图、俯视图的定义 2.三视图的绘制规则：尺寸对应关系、虚实线规范 3.几何体的三视图：常见几何体、简单组合体 4.由三视图还原几何体：平面视图转化为立体图形 ✅本章分为投影、视图两大模块。投影从生活影子入手，区分中心投影、平行投影，正投影是连接投影与三视图的纽带；三视图通过三个方向的正投影，实现立体几何体与平面图形之间的双向转化，学习重点在于建立空间想象意识。 ✺学习目标 1.基础知识 （1）了解投影、投影线、投影面的概念，能区分中心投影与平行投影，理解正投影的概念与基本性质。 （2）识别三视图，分清主视图、左视图、俯视图的观察方向，了解三视图的绘图规则。 （3）初步会画正方体、长方体、圆柱、圆锥、球及简单组合体的三视图。 （4）能结合三视图想象简单几何体的形状，初步实现立体图形与平面图形的相互转化。 2.过程与方法 （1）通过现实中的影子实例，经历从实际现象抽象几何概念的过程。 （2）借助观察、想象活动，提升几何直观，初步建立空间想象能力。 3.综合素养 了解投影与视图在生活、工程中的应用，感受数学与现实的联系。 ✺题型归纳 题型1.正投影 题型2.平行投影 题型3.中心投影 题型4.视点、视角和盲区 题型5.判断简单几何体的三视图 题型6.判断简单组合体的三视图 题型7.判断非实心几何体的三视图 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 题型9.画简单几何体的三视图 题型10.画简单组合体的三视图 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 题型12.由三视图还原几何体 题型13.已知三视图求边长 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 题型16.已知三视图求体积 题型17.求几何体视图的面积 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、投影的基本概念 ▲定义：物体在光线照射下，在地面、墙壁等其他平面上形成影子的现象称为投影现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 投影：物体在投影面上形成的影子。 知识点二、中心投影 ▲定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 典型光源：路灯、手电筒、蜡烛等点光源。 性质： ① 投影线相交于光源点； ② 垂直于地面的等高物体，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长； ③ 光源、物体顶端、影子顶端三点共线，可用于确定光源位置。 知识点三、平行投影 ▲定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影。 常见平行光源：太阳光。 性质： ① 投影线互相平行； ② 同一时刻，垂直放置物体的物高与影长成正比例，可进行相关计算。 ★中心投影和平行投影的区别与联系 对比维度 中心投影 平行投影 光源类型 点光源，光线由同一点向外发散 平行光源，光线彼此相互平行 投影线特点 投影线汇聚于光源点 投影线互相平行，无交点 物高与影长关系 不存在固定比例；垂直地面的等高物体，离光源越近，影子越短 同一时刻，垂直于地面的物体，物高与影长成正比例 现实实例 路灯、手电筒、蜡烛照射下形成的影子 太阳光照射下形成的影子 联系： 1.二者都属于投影现象，都是光线照射物体，在投影面上得到影子。 2.形成投影必须具备物体、光线、投影面三个条件。 3.正投影是平行投影的特殊情形，中心投影不存在正投影。 知识点四、正投影 ▲定义：平行投影中，投影线垂直于投影面时，该投影称为正投影。 平面图形的正投影性质： ① 平面图形平行于投影面：正投影与原图形形状、大小完全相同； ② 平面图形倾斜于投影面：正投影大小发生变化； ③ 平面图形垂直于投影面：正投影为一条线段。 知识点五、三视图的概念 ▲从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的三张正投影图，叫做几何体的三视图。 主视图：从几何体正面观察得到的视图，反映几何体的长与高。 左视图：从几何体左面观察得到的视图，反映几何体的宽与高。 俯视图：从几何体上面观察得到的视图，反映几何体的长与宽。 知识点六、三视图绘制规范 尺寸对应关系：长对正，高平齐，宽相等 长对正：主视图与俯视图长度相等，上下对齐； 高平齐：主视图与左视图高度相等； 宽相等：左视图与俯视图宽度对应相等。 线条要求：看得见的轮廓线画实线；被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 知识点七、常见几何体的三视图 正方体：三视图均为全等正方形。 长方体：三视图均为长方形（可为正方形）。 圆柱：主视图、左视图为长方形，俯视图为圆。 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆。 球：三视图均为全等的圆。 知识点八、简单组合体的三视图 将组合体拆分为基础几何体，分别分析各组成部分的视图； 被遮挡的轮廓使用虚线绘制； 绘图严格遵守三视图尺寸对应规则。 知识点九、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面、左面看到的形状；结合实线和虚线综合想象整体图形；画出图形后验证。 ✺题型精讲 题型1.正投影 1．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 2．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 3．把下列物体与它们的投影用线连接起来． 题型2.平行投影 1．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 3．由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 题型3.中心投影 1．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 2．一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 3．周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． (1)请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． (2)身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 题型4.视点、视角和盲区 1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 2．“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围( )． 3．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 题型5.判断简单几何体的三视图 1．如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A．B． C． D． 2．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 3．如图所示，分别把下面四个几何体与从上面看到的形状图连接起来． 题型6.判断简单组合体的三视图 1．如图是一个圆柱和一个球组成的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是________． 3．填空：如图，是一组立方块，请说出，各是其什么视图． 题型7.判断非实心几何体的三视图 1．小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 _____． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 1．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 2．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．如图是从上面看一个由若干个相同的小正方体搭成的几何体得到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出从正面和左面看这个几何体得到的图形．    题型9.画简单几何体的三视图 1．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 2．在画三视图时应遵循______；_______；______原则． 3．如图，这是一个放在水平桌面上的半球体，试画出该几何体的三视图，并指出该几何体完全相同的是哪两种视图． 题型10.画简单组合体的三视图 1．如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大B．俯视图面积最大C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 2．三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 3．如图是一个圆柱截去四分之一后得到的几何体，以如图所示的一个截面为正面，请画出它的三视图． 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 1．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（     ） A． B．C． D． 2．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    3．如图是一个由大小相同的小立方体搭成的物体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方体的个数，请你画出该物体的主视图与左视图． 题型12.由三视图还原几何体 1．下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是______． 3．找出图中三视图对应的物体． 题型13.已知三视图求边长 1．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 2．一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为_____． 3．某公司设计的木制护栏如图2，护栏俯视图的一部分如图1，m是左侧主柱，两侧主柱之间有11根长方体栏杆，栏杆的截面是5cm的正方形（图中a1，a2，…a11），每两根栏杆之间的距离为12.5cm，根据有关标准要求，栏杆间距不得大于11cm，在不增加材料的前提下，能否通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求？说明理由．（≈1.41，≈1.73，≈2.24） 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 3．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 1．把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 2．一个画家有14个边长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为______． 3．一个由若干棱长为2的小正方体搭成的几何体，从上面看它得到的形状图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．求该几何体的表面积． 题型16.已知三视图求体积 1．如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是_________． 3．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 题型17.求几何体视图的面积 1．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 2．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 3．工厂生产某种零件，其示意图如下（单位：mm）． （1）该零件的主视图如图所示，请分别画出它的左视图和俯视图； （2）如果要给该零件的表面涂上防锈漆，请你计算需要涂漆的面积． 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 1．仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图． 这堆纸箱可能有（     ） A．7或8 B．8或9 C．9或10 D．10或11 2．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为______． 3．如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图． 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 3．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 2．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 3．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 5．用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 二、填空题 7．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 8．如图是五个相同的小正方体组成的立体图形，若从正面方向看得到的图形面积是5，则从左面方向看得到的图形面积是______． 9．某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是____． 10．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 三、解答题 11．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 12．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体由_____个小立方块搭成； (2)图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个相同的小立方块． 13．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 14．已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 15．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 投影与视图 暑假预习讲义 ✺知识框架 一、投影 1.投影的基本概念：投影现象、投影线、投影面、投影 2.中心投影：点光源下的投影及其特征 3.平行投影：平行光线下的投影，物高与影长关系 4.正投影：平行投影的特殊情况，平面图形的正投影性质 二、视图（三视图是几何体的正投影） 1.三视图：主视图、左视图、俯视图的定义 2.三视图的绘制规则：尺寸对应关系、虚实线规范 3.几何体的三视图：常见几何体、简单组合体 4.由三视图还原几何体：平面视图转化为立体图形 ✅本章分为投影、视图两大模块。投影从生活影子入手，区分中心投影、平行投影，正投影是连接投影与三视图的纽带；三视图通过三个方向的正投影，实现立体几何体与平面图形之间的双向转化，学习重点在于建立空间想象意识。 ✺学习目标 1.基础知识 （1）了解投影、投影线、投影面的概念，能区分中心投影与平行投影，理解正投影的概念与基本性质。 （2）识别三视图，分清主视图、左视图、俯视图的观察方向，了解三视图的绘图规则。 （3）初步会画正方体、长方体、圆柱、圆锥、球及简单组合体的三视图。 （4）能结合三视图想象简单几何体的形状，初步实现立体图形与平面图形的相互转化。 2.过程与方法 （1）通过现实中的影子实例，经历从实际现象抽象几何概念的过程。 （2）借助观察、想象活动，提升几何直观，初步建立空间想象能力。 3.综合素养 了解投影与视图在生活、工程中的应用，感受数学与现实的联系。 ✺题型归纳 题型1.正投影 题型2.平行投影 题型3.中心投影 题型4.视点、视角和盲区 题型5.判断简单几何体的三视图 题型6.判断简单组合体的三视图 题型7.判断非实心几何体的三视图 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 题型9.画简单几何体的三视图 题型10.画简单组合体的三视图 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 题型12.由三视图还原几何体 题型13.已知三视图求边长 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 题型16.已知三视图求体积 题型17.求几何体视图的面积 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、投影的基本概念 ▲定义：物体在光线照射下，在地面、墙壁等其他平面上形成影子的现象称为投影现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 投影：物体在投影面上形成的影子。 知识点二、中心投影 ▲定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 典型光源：路灯、手电筒、蜡烛等点光源。 性质： ① 投影线相交于光源点； ② 垂直于地面的等高物体，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长； ③ 光源、物体顶端、影子顶端三点共线，可用于确定光源位置。 知识点三、平行投影 ▲定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影。 常见平行光源：太阳光。 性质： ① 投影线互相平行； ② 同一时刻，垂直放置物体的物高与影长成正比例，可进行相关计算。 ★中心投影和平行投影的区别与联系 对比维度 中心投影 平行投影 光源类型 点光源，光线由同一点向外发散 平行光源，光线彼此相互平行 投影线特点 投影线汇聚于光源点 投影线互相平行，无交点 物高与影长关系 不存在固定比例；垂直地面的等高物体，离光源越近，影子越短 同一时刻，垂直于地面的物体，物高与影长成正比例 现实实例 路灯、手电筒、蜡烛照射下形成的影子 太阳光照射下形成的影子 联系： 1.二者都属于投影现象，都是光线照射物体，在投影面上得到影子。 2.形成投影必须具备物体、光线、投影面三个条件。 3.正投影是平行投影的特殊情形，中心投影不存在正投影。 知识点四、正投影 ▲定义：平行投影中，投影线垂直于投影面时，该投影称为正投影。 平面图形的正投影性质： ① 平面图形平行于投影面：正投影与原图形形状、大小完全相同； ② 平面图形倾斜于投影面：正投影大小发生变化； ③ 平面图形垂直于投影面：正投影为一条线段。 知识点五、三视图的概念 ▲从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的三张正投影图，叫做几何体的三视图。 主视图：从几何体正面观察得到的视图，反映几何体的长与高。 左视图：从几何体左面观察得到的视图，反映几何体的宽与高。 俯视图：从几何体上面观察得到的视图，反映几何体的长与宽。 知识点六、三视图绘制规范 尺寸对应关系：长对正，高平齐，宽相等 长对正：主视图与俯视图长度相等，上下对齐； 高平齐：主视图与左视图高度相等； 宽相等：左视图与俯视图宽度对应相等。 线条要求：看得见的轮廓线画实线；被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 知识点七、常见几何体的三视图 正方体：三视图均为全等正方形。 长方体：三视图均为长方形（可为正方形）。 圆柱：主视图、左视图为长方形，俯视图为圆。 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆。 球：三视图均为全等的圆。 知识点八、简单组合体的三视图 将组合体拆分为基础几何体，分别分析各组成部分的视图； 被遮挡的轮廓使用虚线绘制； 绘图严格遵守三视图尺寸对应规则。 知识点九、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面、左面看到的形状；结合实线和虚线综合想象整体图形；画出图形后验证。 ✺题型精讲 题型1.正投影 1．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 2．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 【答案】①②③④ 【分析】本题主要是正投影的问题，熟练掌握正投影的定义是解决本题的关键． 正投影是指图形在垂直于投影方向的平面上的投影．当图形所在平面与投影面垂直时，其正投影可能为一条线段．对于矩形、线段、平行四边形和圆，均存在某种投影方向使其正投影为线段． 【详解】解：①矩形：当矩形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ②线段：除投影方向与该线段平行（此时投影为一个点）外，其正投影均为线段； ③平行四边形：当平行四边形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ④圆：当圆所在平面与投影面垂直时，正投影为直径的线段． 综上所述，故所有选项均可能使正投影为一条线段． 故答案为：①②③④． 3．把下列物体与它们的投影用线连接起来． 【答案】 【分析】本题主要考查了正投影，理解投影的定义成为解答本题的关键． 根据正投影的定义即可解答． 【详解】略 题型2.平行投影 1．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解． 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 2．小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影的性质，核心是同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长的比值为定值(由相似三角形对应边成比例推导而来)． 【详解】解：厘米米，小红的身高为米； 设小红的影长为米， ∴， 解得； 故答案为：． 3．由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 【答案】任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：略 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 题型3.中心投影 1．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心投影的概念进行判断即可． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反，只有选项D符合． 2．一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 3．周末晚上，小刚带弟弟去逛夜市，活泼好动的弟弟总是走在前面，中山路路口街边高挂一盏球形街灯（可视为点光源），灯下有个路牌，弟弟和小刚一前一后经过这个路牌，在街灯下路牌和弟弟的影子的方位和长短如图所示． (1)请标出街灯的位置，并画出小刚的影子对应的线段． (2)身高的弟弟与街灯的水平距离为，此时他的影长为，求灯的高度． 【答案】(1) 点为街灯的位置，线段为小刚的影子； (2)米 【分析】本题考查作图应用与设计作图，中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用路牌和弟弟的影子，延长交于点，点即为所求，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作于点 依题意：，， ， 即 解得 街灯的高度是． 题型4.视点、视角和盲区 1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 2．“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围( )． 【答案】越大 【分析】此题考查了视角和盲区．根据实际情况进行解答即可． 【详解】解：“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围越大． 故答案为：越大 3．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1) 解：如图所示，点P和即为所求； (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）略 （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 题型5.判断简单几何体的三视图 1．如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】几何体的主视图就是从几何体的正面观察到的平面图形，根据几何体的形状画出主视图即可． 【详解】解：从“T”字形零件的正面观察应是三个矩形， 如下图所示： 2．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 【答案】 俯视图 左视图 主视图 【分析】由三视图的概念填空即可． 【详解】略． 3．如图所示，分别把下面四个几何体与从上面看到的形状图连接起来． 【答案】 连线如下： 【分析】分别找出四个几何体从上面看到的形状图即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的含义． 题型6.判断简单组合体的三视图 1．如图是一个圆柱和一个球组成的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】 解：俯视图是． 2．如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算． 【详解】综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体． 故答案为∶ ①②③． 3．填空：如图，是一组立方块，请说出，各是其什么视图． 【答案】主视图，俯视图 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从正面看左排三层，右排一层，是主视图； 从上面看，左一个，又一个，是俯视图， 故答案为：主视图，俯视图． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图． 题型7.判断非实心几何体的三视图 1．小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答． 本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 2．如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 _____． 【答案】俯视图 【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故答案为：俯视图． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 【答案】磊磊，理由见解析 【分析】注意在画三视图时实线和虚线的画法，得见的线条画成实线，看不见的线条画成虚线，据此可判断谁正确． 【详解】磊磊的画法正确，理由如下： 在画三种视图时，看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线，所以磊磊的画法正确． 【点睛】本题考查三视图实线虚线的区别，解题关键在于了解掌握在画三视图时看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线． 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 1．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，其列数对应俯视图的行数，每列小正方形的个数对应俯视图中该行数字的最大值 【详解】解：由俯视图可知，该几何体在前后方向上共有3行，因此左视图应有3． 从左面看，左视图的每一列对应俯视图的每一行（从上到下）：第一列对应俯视图的第一行，该行只有数字3，故左视图第一列高度为3； 第二列对应俯视图的第二行，该行数字为2和3，最大值为3，故左视图第二列高度为3； 第三列对应俯视图的第三行，该行只有数字1，故左视图第三列高度为1 综上所述，左视图从左到右小正方形的个数依次为3，3，1． 观察选项，只有C选项符合． 2．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，关键是熟练应用知识点解题； 根据俯视图判断主视图的形状即可． 【详解】解：主视图从左往右列，每列正方体的个数依次为，，. 故选：A ． 3．如图是从上面看一个由若干个相同的小正方体搭成的几何体得到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出从正面和左面看这个几何体得到的图形．    【答案】详见解析 【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为2，1，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形． 【详解】解：由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为2，1，3；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2，如下，    【点睛】考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 题型9.画简单几何体的三视图 1．如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 【详解】解：该工件的左视图为： 故选C． 2．在画三视图时应遵循______；_______；______原则． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【分析】主视图和俯视图的长相等，主视图和左视图的高相等，俯视图和左视图的宽相等． 【详解】在画三视图时应遵循长对正，高平齐，宽相等原则． 故答案为：长对正；高平齐；宽相等． 【点睛】本题考查三视图的口诀，长对正，高平齐，宽相等是画三视图必须遵循的法则． 3．如图，这是一个放在水平桌面上的半球体，试画出该几何体的三视图，并指出该几何体完全相同的是哪两种视图． 【答案】画图见解析，该几何体的主视图与左视图完全相同． 【分析】本题考查的是画简单几何体的三视图，根据从正面，上面，左面看到的平面图形画图即可，再根据视图判断该几何体的主视图与左视图完全相同． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： ∴该几何体的主视图与左视图完全相同． 题型10.画简单组合体的三视图 1．如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大B．俯视图面积最大C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，确定三视图的形状和大小． 【详解】解：主视图，四个小正方形构成，如图所示：    左视图，四个小正方形构成，如图所示：    俯视图，5个小正方形构成，如图所示：    所以，主俯视图面积最大； 故选：B． 【点睛】本题考查三视图，从不同方向观察物体的形状，具备相应的空间想象能力是解题的关键． 2．三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【解析】略 3．如图是一个圆柱截去四分之一后得到的几何体，以如图所示的一个截面为正面，请画出它的三视图． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】略 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 1．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】它的俯视图如图所示： 2．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有________种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）    【答案】16 【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形； 【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排． 三排的左视图有：种； 两排的左视图有：种； 共种． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．如图是一个由大小相同的小立方体搭成的物体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方体的个数，请你画出该物体的主视图与左视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，4，3，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，4，1．据此可画出图形． 【详解】解：主视图和左视图依次如下图． 题型12.由三视图还原几何体 1．下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从三视图可知，主视图是长方形，左视图是正三角形，俯视图是中间有横线的长方形，故只有选项C符合题意． 2．如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是______． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可求解． 【详解】解：由于俯视图为圆形可推测几何体是球、圆柱或圆锥，根据主视图和左视图为矩形可得此几何体为圆柱． 故答案为：圆柱． 3．找出图中三视图对应的物体． 【答案】第三个 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图是分别从正面左面上面看到的图形． 根据三视图是从上三个方向看到的图形，逐个几何体进行判断即可． 【详解】解：图中三视图所对应的几何体是第三个． 题型13.已知三视图求边长 1．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 2．一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出是解题的关键． 根据三视图的对应情况可以得出，中上的高即为的长，进而通过解直角三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点Q， 由题意可知：， ，， ， 故答案为：． 3．某公司设计的木制护栏如图2，护栏俯视图的一部分如图1，m是左侧主柱，两侧主柱之间有11根长方体栏杆，栏杆的截面是5cm的正方形（图中a1，a2，…a11），每两根栏杆之间的距离为12.5cm，根据有关标准要求，栏杆间距不得大于11cm，在不增加材料的前提下，能否通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求？说明理由．（≈1.41，≈1.73，≈2.24） 【答案】能，见解析 【分析】由题意得，两主柱之间的距离为，将栏杆对角线和护栏平行安装即可． 【详解】解：能通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求，理由如下： 如图，将栏杆对角线和护栏平行安装， 两主柱之间的距离为， 栏杆的对角线长是， 这样安装每两根栏杆之间的距离为， 能通过改变安装方案，使栏杆间距符合要求． 【点睛】本题考查三视图，求出两主柱之间的距离以及改变安装方案后每两根栏杆之间的距离是解题的关键． 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是， ∴空心圆柱体的表面积为， 故选：． 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 3．从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 1．把个棱长为厘米的正方体重叠起来拼成一个如图所示的立体图形，则这个立体图形的表面积是（    ）． A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，分别计算左视图、主视图以及俯视图的面积，再乘以即可． 【详解】解：组合体的主视图有五个正方形，那么面积为， 左视图有六个正方形，那么面积为， 俯视图有五个正方形，那么面积为， 所以表面积为：． 故选：D． 2．一个画家有14个边长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，解题的关键要数对露出小正方形的个数． 根据题意可知小正方形的面积，数出该几何体露出了多少个小正方形即可求得． 【详解】解：从下面数第一层露出的侧面有：（个）， 第二层露出的侧面有：（个）， 第三层露出的侧面有：（个）， 第一层的上面露出的面有：（个）， 第二层的上面露出的面有：（个）， 第三层的上面露出的面有：1个， （个）， ∴该几何体露出了33个小正方形， ∵每个小正方形的边长为， ∴每个小正方形的面积为， ∴被涂上颜色的总面积为：， 故答案为：33． 3．一个由若干棱长为2的小正方体搭成的几何体，从上面看它得到的形状图如图所示，数字表示该位置的正方体个数．求该几何体的表面积． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看有3列，小正方形的个数分别为，，；从左边看有2列，小正方形的个数为，，从上面看有3列，小正方形的个数为，，，最后再加上4个小正方形，进而求得该几何体的表面积． 【详解】解：如图， ∴该几何体的表面积为 题型16.已知三视图求体积 1．如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得此几何体为半圆柱，半圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为半圆柱，其底面直径为2，高为2， 故该几何体的体积为． 2．某长方体的主视图、左视图如图所示，则该长方体的体积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的三视图与体积计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据长方体的主视图和左视图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积． 【详解】由主视图可知，长方体的长为，高为， 由左视图可知，长方体的宽为，高为， 长方体的体积为：． 故答案为． 3．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． (1)由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） (2)求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． （2）解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 题型17.求几何体视图的面积 1．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 2．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 3．工厂生产某种零件，其示意图如下（单位：mm）． （1）该零件的主视图如图所示，请分别画出它的左视图和俯视图； （2）如果要给该零件的表面涂上防锈漆，请你计算需要涂漆的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）72mm2 【分析】(1)根据左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形进行画图，要本着长对正，高平齐，宽相等规则，和三视图的位置来画即可； (2)根据观察到的各面的面积进而求得表面积即可． 【详解】(1)略 （2）[5×2＋2×（3﹣2）＋5×3＋3×3]×2， ＝（10＋2＋15＋9）×2， ＝36×2， ＝72（mm2）． 故需要涂漆的面积是72mm2． 【点睛】本题考查了几何体三视图的画法以及表面积的求法，注意观察角度是解题的关键． 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 1．仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图． 这堆纸箱可能有（     ） A．7或8 B．8或9 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】根据从正面和左面看到的平面图形，结合从上面看到的图形，可进行求解． 【详解】解：第一种情况：如图所示： （箱）， 第二种情况：如图所示： （箱）， ∴这堆货物可能有10箱或9箱． 2．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为______． 【答案】12 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图可以看出每一层碟子的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：根据三视图可知三摞碟子数分别为6，2，4， 则这个桌子上共有个碟子． 故答案为：12 3．如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图． 【答案】(1)6 (2) 如图所示． 【分析】本题考查了作图－三视图，掌握从不同方向观察到的图形的形状是解题的关键． （1）根据图形即可得到结论． （2）根据三视图的定义即可得到结论． 【详解】（1）根据图形，可知这个几何体由6个小立方块组成． （2） 略 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图可得该几何体分为上下两层，确定每一层最多有多少个小正方体即可得到答案． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体分为上下两层，下面一层最多有9个小正方体，上面一层最多有2个小正方体， ∴搭成该几何体的小正方体的个数最多是个． 2．由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图和左视图确定各个位置最少的小正方体的个数，即可求解． 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 3．（1）如图是由8个相同的小立方块搭成的几何体，请在网格中画出从正面、左面、上面看这个几何体得到的形状图． （2）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到该几何体的形状图如图所示． ①该几何体最少由_______个小立方体搭成； ②该几何体最多由________个小立方体搭成； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，请在网格中画出从正面看到的形状图． 【答案】 （1）如图所示： （2）①7；②10； ③当搭成该几何体所用的小立方体最多时，主视图如下： 【分析】本题考查了作图—三视图，解题的关键是掌握：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的小立方体个数． （1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可 （2）根据左视图和俯视图，可确定几何体最少、最多小立方体个数，由最多的小立方体个数画出主视图即可． 【详解】略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 2．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 3．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图特点可得答案． 【详解】解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形，长方形，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，长方形及对角线，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义．在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，再根据表面积的定义求解． 【详解】解：最多时，小立方块的个数如俯视图所示． 则几何体左右各9个小正方形的面，上下各6个小正方形的面，前后各个小正方形的面， ∴表面积． 故选：D． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 二、填空题 7．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是_______视图和_________视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 8．如图是五个相同的小正方体组成的立体图形，若从正面方向看得到的图形面积是5，则从左面方向看得到的图形面积是______． 【答案】2 【分析】画出主视图，根据主视图的面积得到每个小正方形的面积，再画出左视图即可得到答案． 【详解】 解：从正面看到的图形是，共有5个小正方形组成， ∵从正面方向看得到的图形面积是5， ∴每个小正方形的面积为1， 从左面看到的图形是，共有2个小正方形组成， ∴从左面方向看得到的图形面积是2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了画简单组合体的三视图，正确理解三视图的画图方法是解题的关键． 9．某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是____． 【答案】3 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图和俯视图求出左视图长为3，宽为1，即可求解． 【详解】由图可知，该长方体长、宽、高为4、3、1， 故左视图长为3，宽为1， 故面积为 故答案为：3． 10．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 三、解答题 11．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 12．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体由_____个小立方块搭成； (2)图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) 从左面、上面两个方向看到的形状图如下： (3)3 【分析】本题主要考查了三视图，解题的关键是掌握三视图． （1）根据几何体查看小立方块个数即可； （2）根据三视图画出图形即可； （3）根据三视图进行求解即可． 【详解】（1）解：该几何体由6个小立方块搭成， 故答案为：6； （2）略 （3）解：保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加3个相同的小立方块， 故答案为：3． 13．由相同（棱长为1）的小正方体搭成的几何体如图． (1)请在如图的方格中画出该几何体的三视图； (2)图中几何体的体积为_________； (3)若再添加个小正方体，使新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，则的最大值为_________． 【答案】(1) 如图所示该几何体的三视图为所求： (2)5 (3)2 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题关键． （1）主视图有3列，每列小正方形的数目分别为2，1，1；左视图有2列，每列小正方形的数目分别为2，1；俯视图有3列，每列小正方形的数目分别为1，2，1；据此画出图形即可； （2）由题图可知，该几何体由5个小正方体搭成，据此计算即可． （3）根据新得到的几何体的左视图和俯视图保持不变，添加小正方体即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题图可知，几何体的体积为， 故答案为：5； （3）解：可以在①和②的位置上各添加一个小正方体，这个几何体的左视图和俯视图都不变， 即最多添加2个， 故答案为：2． 14．已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 【答案】(1) 如图所示： (2)1 【分析】本题考查几何体的三视图； （1）直接利用俯视图中所标数字进而得出主视图以及左视图； （2）直接利用主视图、左视图、俯视图得出还能增加小立方块的个数． 【详解】（1）解：从正面看，左边有3个小正方形，中间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中间有3个，右边有2个． （2）解：∵在空白处添加会改变从上面看到的形状，在前面的正方体上添加会改变从正面看到的形状，从左边的正方体上添加会改变从左面看到的形状， ∴只能在最中间的一个小正方体上添加，并不能超过前面和左面的高度， ∴还能增加1个小立方块，如图所示： 故答案为：1． 15．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $