第四章 数列 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列单元卷，覆盖等差、等比数列核心知识，通过基础与综合题梯度设计适配单元复习，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差公差、等比前n项和等|基础巩固，考查概念理解| |多选题|3|等差与等比综合、前n项和最值|多角度辨析，提升思维严谨性| |填空题|3|等差性质、递推数列|灵活应用，强化知识迁移| |解答题|5|等比证明、错位相减求和等|综合应用，培养推理与运算能力|

高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 一、单选题 1．在等差数列中，，，则其公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 3．已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（    ） A．3 B． C． D． 4．已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 6．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 7．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为，，，则（   ） A．1 B．5 C．11 D．31 二、多选题 9．已知在首项为1，公差为的等差数列中，是等比数列的前三项，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．是公差为3的等差数列 D． 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（    ） A． B． C．时，的最小值为 D．最小时， 11．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 三、填空题 12．已知等差数列满足，则___________． 13．已知数列满足，，则__________． 14．在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 四、解答题 15．在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 17．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．已知是递增的等差数列，是方程的根. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 19．已知数列的首项，且满足，为数列的前n项和. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式并求满足的最小正整数n. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C C D C ABD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据等差数列性质可得公差. 【详解】，即， 所以，解得. 故选：B 2．B 【分析】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【详解】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 3．B 【分析】利用作差，即可结合等比数列的性质求解. 【详解】由，可得， 故，即，故公比. 故选：B 4．D 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 5．C 【分析】利用基本量法可求的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为，，是公比为2的等比数列， 所以，由前者得到，代入后者可得， 故， 故选：C. 6．C 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 7．D 【分析】通过构造法可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 8．C 【分析】设等比数列的公比为（），由，前项和，列式求出，再代入等比数列求和公式即得. 【详解】设等比数列的公比为（），已知，前项和， 则，整理得：， 因式分解得，结合，得， 因此，. 9．ABD 【分析】由已知求出等差数列的公差，然后分别计算分析可判断每个选项的正误． 【详解】因为，即，又，所以， 整理得，又因为，解得，故A正确； 由得，所以，所以，故B正确； 所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故C错误； ，即的公比为4，故，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】由等差数列求和公式与等差数列项的性质，易判断，即可判断A，B两项，计算化简，结合，知使时，的最小值为11；分析可得，当时，，当时，，故得最小时，有，排除D. 【详解】对于A，由，则， 又，则，故A错误； 对于B，由A已得，则，故B正确； 对于C，由上分析，当时，，当时，， 又，又， 所以时，的最小值为，故C正确； 对于D，当最小时，，故D错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】对于ABD选项，设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确； C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：ACD. 12． 【分析】假设等差数列的首项与公差，根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列的首项为，公差为， 因为，所以， 化简得，即. 故答案为：. 13．/ 【分析】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【详解】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 14．2 【详解】设，数列是等差数列，公差为d，则，， ，得，则，则，． 15．(1) 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，. 所以. 所以 . 16．(1) 由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）由题设可得，进而求证即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得和的值，结合等差数列的基本量运算，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合乘公比错位法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由和是， 又由是递增的等差数列，可得， 设的公差为，则，可得. 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，记数列的前项和为， 则， 所以， 两式相减，得 ， 所以，即数列的前项和为. 19．(1) 已知 ，首项 对等式变形得： ，即 ， 因此 是首项为1、公比为3的等比数列. (2)； 【分析】（1）利用递推公式结合等比数列的定义即可证明； （2）首先求出，然后根据分组求和求出，最后逐一验证即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知： ，整理得：， 则，代入不等式得： ，显然单调递增， 当时，，不满足； 当时，，满足. 因此满足条件的最小正整数. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $