30.1 直线与圆 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直线与圆核心内容，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与圆位置关系判断、切线性质基础|单选1-3直接应用d与r关系，填空11结合正方形与圆的切线计算| |中档|切线长定理、内切圆半径计算、动态位置关系|单选4-7综合切线性质与勾股定理，填空13含参数的半径取值分析| |拔高|跨知识整合（函数与圆）、实际应用（筒车模型）|解答19结合旋转与解直角三角形，解答20新定义问题融合二次函数与圆的位置关系|

30.1 直线与圆 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 4．如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F且，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．14 D．16 6．如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为___________（结果保留π）（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 7．如图，P是外一点，是的切线，，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 8．已知的半径为3，且上一点到直线的距离为6，关于直线和的位置关系，甲同学认为是相离，乙同学认为是相切．下列判断正确的是（    ） A．甲同学说法完整，就只能是相离 B．乙同学说法完整，不可能相离 C．甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整 D．甲、乙同学说法都不完整，合在一起也不完整 9．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 10．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 二、填空题 11．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：若正方形的边长为10丈，的半径为2丈，则点到的最短距离为______丈． 12．如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________． 13．如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    14．小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为________． 15．如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 17．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 18．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    19．如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间． (1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 20．在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”． (1)已知，在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是 ； (2)已知点P为的“图象关联点”，且， ①判断与的位置关系，并证明； ②直接写出抛物线的顶点坐标． (3)已知，当的“图象关联点”P在外且在四边形内运动时，直接写出抛物线中a的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C C A D C B B 1．【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据“若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离”即可得到结论． 【详解】解：∵的半径等于，圆心O到直线l的距离为，， ∴直线l与相交． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可． 【详解】解：根据题意得，与直线无公共点， 则直线与相离， 因此圆心到直线的距离大于， 选项中只有， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和，求出的度数，再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴， 又、分别切于A、B两点， ∴ ， 根据四边形内角和定理可得： ， 故选：C 5．【答案】C 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∴的周长； 故选C． 6．【答案】A 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的内切三角形，切线的性质，勾股定理等，根据面积法求出半径r是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可． 【详解】解：如图， 点在上，已知的半径是3，点到直线的距离是6， 与直线的位置关系可能是相切或相离． 甲、乙同学说法都不完整，合在一起才完整． 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 10．【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 11．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、切线的性质定理 【分析】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，勾股定理等．如图，先根据正方形的性质得出在同一直线上，得到的长是点到的最短距离，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 设与正方形的边的切点为点，连接， ∴， 由正方形的性质知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在同一直线上， 设与的交点，的长是点到的最短距离， 则（丈），， ∴（丈），（丈）， ∴（丈）， 故答案为：． 12．【答案】或 【知识点】证明某直线是圆的切线 【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可． 【详解】解：若添加BD=CD，理由如下： 如图，连接OD， ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线； 若添加AB=AC，理由如下： 如图，连接AD， ∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∴点D是BC的中点， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键． 13．【答案】或 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的应用、正切的概念辨析 【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．连接，先利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出长，可确定点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆，过点作于点，利用直线到圆上一点的距离可知，当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点；当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点，再计算最大值和最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∵在绕点的旋转过程中，， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆， 过点作于点， 利用直线到圆上一点的距离可知， 当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点； 当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点到的距离的取值范围， ∵的面积， ∴， 故答案为：． 16．【答案】(1) 解：如图所示，以为圆心，的长为半径的圆即为所求， 点坐标为 (2)相交 【知识点】确定圆心(尺规作图)、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）略 （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 17．【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、应用切线长定理求证 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】略 18．【答案】，或. 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 19．【答案】(1)此时盛水简P距离水面的高度 (2)从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据时间和速度求出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒P距离水面的高度； （2）先确定当P在直线上时，此时P是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可． 【详解】（1）解：连接，过点P作，，垂足为D、H，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，筒车每秒转， 盛水简P浮出水面2.5秒后，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：此时盛水简P距离水面的高度； （2）解：如图，因为点P在上，且与相切，所以当P在直线上时，此时P是切点， 连接，所以， 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴需要的时间为（秒）， 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上． 20．【答案】(1)H (2) ①与的位置关系是：相切.   ∵为的直径， ∴为的中点. ∵， . ∴. 连接， ∵P为的“图象关联点”， ∴点P为抛物线的顶点. ∴ 点P在抛物线的对称轴上. ∴是的垂直平分线. ∴ 过点M作于N. ∵ ∴ ∴与相切 ②抛物线的顶点坐标是或 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明． （1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可； （2）连接，过点M作于N，证明即可得到结论，由题意可得，，求出，即可得到顶点坐标； （3）求出点Р纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点且顶点为P， 则顶点P的横坐标为， ∵在点E，F，G，H中，的横坐标为， ∴在点E，F，G，H中，的“图象关联点”是H； 故答案为：H； （2）①略 ②当抛物线开口向上时， ∵与相切 ∴， ∵，， ∴， ∴ 即点P的坐标为， 同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为或； （3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知的半径为1.5， 已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形内时， 顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2， 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； 当抛物线顶点坐标为时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，； ∴a的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $