第三十章直线与圆的位置关系同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕直线与圆的位置关系，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合实践的进阶，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|切线性质、圆的基本概念|选择3辨析直径与弦关系，填空11直接应用切线判定，强化概念理解| |中档层|切线长定理、内接四边形性质|解答16结合切线长定理证角关系，填空14用切线长求周长，培养逻辑推理| |提升层|动态几何、实际应用|选择8筒车模型、15菱形与圆相切动态问题，解答18综合相似与切线证明，发展应用意识|

· 第三十章直线与圆的位置关系同步练习 · 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．2 3．下列关于圆的说法中，正确的是（    ） A. 直径是弦，但弦不一定是直径 B. 半圆是弧，优弧也是半圆 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 4．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　） A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD 6．下列说法正确的是(　 　) A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交 C．若直线与圆不相切，则它与圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则这点是切点 7．如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若☉O的半径为1，则弦BC的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8 m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 9．自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图.已知后轮☉O与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，已知AC⊥BC，车轮半径为40 cm，则的长度为（　　） A. 40π cm B. 30π cm C. 20π cm D. 10π cm 10．如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BC是☉O的直径，D为劣弧AC的中点，过点D作☉O的切线DE交BA的延长线于点E，连接BD. 若BE＝4AE＝4，则☉O的半径为（　　） A. 5 B. C. 2 D. 1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，⊙O的半径为4 cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移 cm时与⊙O相切． 12．如图，与O相切于A点，，则的大小是 13．如图，在中，，，点是的内心，则的度数为 ．    14．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm． 15．如图所示，已知A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以、A为顶点作菱形，使、点都在第一象限内，且，又以为圆心，为半径的圆恰好与所在直线相切，则 ． 三．解答题（本大题共3小题，共55分） 16．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点． 求证：∠ABO=∠APB． 17．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D．求证：AT平分∠BAC； 18．如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. （1）求证：PD是☉O的切线； （2）若AB＝6，AC＝8，求CP的长. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A A D D B C B 11．4 【分析】直线l与 ⊙O相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径，因而直线l沿射线OA方向平移4cm时与 ⊙O相切． 【详解】∵直线到圆心的距离等于圆的半径，直线l与⊙O相切， ∴直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切. 故答案为4. 【点睛】本题考查切线的性质. 12． 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：∵与O相切于A点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】由点是的内心，可得分别为，的角平分线，由，，可得，，由三角形的内角和可求出答案． 【详解】解：点是的内心， ，分别为，的角平分线， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．5 【详解】如图，设DC与⊙O的切点为E， ∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B， ∴PA=PB， 同理，可得：DE=DA，CE=CB， 则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）， ∴PA=PB=5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是熟练掌握切线性质． 15． 【分析】求出，根据四边形是菱形，得出，当与相切，即与x轴相切时，则切点为O，此时，过P作，得出 ，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动， ∴经过t秒后， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 当与相切，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时，过P作， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，熟练掌握基本性质． 16．证明见解析 【分析】连结OP、OA，设OP交AB于C，由切线长定理可得PA=PB，PO平分∠APB，∠BOP+∠BPO=90°，再根据OA=OB与线段垂直平分线的判定可得OP与AB垂直，从而可得∠ABO+∠BOP=90°，问题得证． 【详解】连结OP、OA，设OP交AB于点C， ∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°，∠BPO=∠APO=∠APB，PA＝PB， ∴∠BOP+∠BPO=90°， ∵OA=OB， ∴PO⊥AB， ∴∠OCB=90°， ∴∠ABO+∠BOP=90°， ∴∠ABO=∠BPO， ∴∠ABO=∠APB． 【点睛】本题主要考查了圆的切线长定理，解决问题的关键是熟练掌握切线长定理，线段垂直平分线的判定，直角三角形两锐角互余． 17．证明见解析. 【分析】连接OT，根据直线与圆的关系，得到OT⊥PQ，再结合题意，得到OT∥AC，最后根据角的转化关系进行作答. 【详解】解：连接OT， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OT⊥PQ， ∵AC⊥PQ， ∴OT∥AC， ∴∠OTA＝∠TAC， ∵OA＝OT， ∴∠OAT＝∠OTA. ∴∠OAT＝∠TAC， ∴AT平分∠BAC. 18． （1）证明：如图，连接OD， ∵☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上， ∴BC是☉O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵∠BAC的平分线交☉O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝90°. ∵PD∥BC交AC的延长线于点P， ∴∠ODP＝∠BOD＝90°. ∵OD是☉O的半径，且PD⊥OD， ∴PD是☉O的切线. （2）解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝ ＝＝10， ∴OD＝OB＝OC＝ BC＝5. ∵OD垂直平分BC， ∴DC＝BD＝ ＝ ＝5 . ∵∠DCP＋∠ACD＝180°，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∴∠DCP＝∠ABD. ∵∠CDP＝∠BCD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠CDP＝∠BAD， ∴△CDP∽△BAD， ∴ ＝ ， ∴CP＝ ＝ ＝ ， 即CP的长是 . 答案第4页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $