第1章 再练一课(范围：§1.4)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用这一核心知识点，系统梳理利用方向向量、法向量解决线面平行、线面角、二面角及点到平面距离等问题，构建从空间向量概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握向量工具的运用。 资料以正方体、正四棱锥等模型为载体，通过建立空间直角坐标系进行向量运算，培养学生的空间观念与几何直观（数学眼光），提升逻辑推理和运算能力（数学思维）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

再练一课(范围：§1.4) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若直线l∥α，且l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为则m等于(　　) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 答案　C 解析　由题意知(2，m，1)·=0， 即2+m+2=0， 所以m=-8. 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， MB1(1，1，1)， =(-1，0，0)= = 设平面A1D1M的法向量为m=(x，y，z)， 则⇒ 令y=1，可得z=2，所以m=(0，1，2)， 设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ， sin θ===. 3.在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　 如图所示，不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为易得其高为取底面正方形的中心为原点O，以过点O且与AD平行的直线为x轴，以过点O且与AB平行的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，D(-1，-1，0)， P(0，0)，则MN 所以== 设DM与AN所成的角为θ， 则cos θ=|cos〈|==. 4.在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，∠PBC=45°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，P(0，4，4)， ∴=(0，4，4)， =(4，0，0)=(0，0，-4). 设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)， 则即 令y=则z=-1，∴m=(0-1)， ∴点C到平面PAB的距离为=. 方法二　∵PC⊥底面ABC， ∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC=C， PC，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA， ∵AC=AB=4，∴BC=4 ∴PC=4PB=8， 在Rt△PAB中，PA==4 令点C到平面PAB的距离为d， ∵VP-ABC=VC-PAB， ∴××4×4×4=××4×4×d， ∴d=. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则A1(0，0，1)，E D(0，1，0)， ∴=(0，1，-1)=. 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1，y，z)， ∴即解得 ∴n1=(1，2，2). ∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0，0，1)， ∴|cos〈n1，n2〉|== 即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为. 6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段BP长度的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1). 设P(a，b，1)，M(0，1，t)(0≤t≤1)，则=(a-1，b，1)=(-1，-1，1)=(0，-1，1-t)， 因为AP⊥平面MBD1，BD1⊂平面MBD1，MD1⊂平面MBD1，所以AP⊥BD1，AP⊥MD1， 即解得 所以=(t，1-t，1)，所以=+=(0，-1，0)+(t，1-t，1)=(t，-t，1)， 所以||==因为0≤t≤1，可得||=在上单调递增， 故线段BP长度的取值范围是. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列结论中，正确的是(　　) A.若两条不重合的直线l1，l2的一个方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1∥l2 B.若直线l的一个方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的一个法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥α C.若两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥β D.若直线l的一个方向向量是a=(0，3，0)，平面α的一个法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，由题意知，b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确；对于B，若直线l的一个方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的一个法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为u·v=0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u=-a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. 8.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，下列结论正确的是(　　) A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.直线AB与平面BCD所成的角为 D.AB与CD所成的角为 答案　ABD 解析　如图所示，以BD的中点O为坐标原点，分别以OD，OA，OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为 则D(1，0，0)，B(-1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)， 所以=(0，-1，1)=(2，0，0)·=0， 故AC⊥BD，A正确； 又||=||=||= 所以△ACD为等边三角形，B正确； =(-1，-1，0)=(0，1，0)， 易知为平面BCD的一个法向量， 设直线AB与平面BCD所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈|= == 所以直线AB与平面BCD所成的角为C错误； 又=(1，0，-1)， 所以|cos〈|= == 所以AB与CD所成的角为D正确. 9.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　BC 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A(3，0，0)， B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 设P(0，t，0)(0<t<3)， 所以=(-3，t，0)=(-3，0，3)， =(0，3，0)， 设n=(x，y，z)为平面AD1P的法向量， 则 令y=3，可得n=(t，3，t)， 则点B到平面AD1P的距离 d== 因为0<t<3，所以2t2+9∈(9，27)， 所以d∈(3). 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1上靠近D1的三等分点，F为线段BB1上靠近B的三等分点，则直线FC1到平面AB1E的距离为　　　　　. 答案　 解析　如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，E(0，0，2)， F(3，3，1)，C1(0，3，3)， B1(3，3，3)， 所以=(-3，0，2)=(-3，0，2)，所以=AE∥FC1， 而AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E， 故FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离. 又=(-3，0，2)=(0，3，3)， 设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)， 故即 取z=3，则n=(2，-3，3)， 又=(3，3，-1)，故点F到平面AB1E的距离d===. 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是线段AB上一点，当平面PEC与平面DEC夹角的大小为时，AE=　　　　. 答案　2- 解析　设AE=a(0≤a≤2)， 以D为坐标原点， 以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)， 可得=(1，a，-1)=(0，2，-1)， 设平面PEC的法向量为m=(x，y，z)， 则 令y=1，得x=2-a，z=2，所以m=(2-a，1，2)， 又平面DEC的一个法向量为=(0，0，1)， 则|cos〈m|=== 解得a=2-或a=2+(舍去)， 所以AE=2-. 12.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，PA=2，点M在线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为　　　. 答案　 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)， P(0，0，2)，C(1，2，0)， 设=λM(x，y，z)，λ∈[0，1]， 则(x，y，z-2)=λ(1，2，-2)， ∴即M(λ，2λ，2-2λ)， ∴=(λ，2λ，2-2λ)， 直线AB的单位方向向量为u=(1，0，0)， ∴M到AB的距离为 == =2 ∴当λ=时，上式取最小值. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点. (1)求证：CF∥平面A1DE；(6分) (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.(6分) (1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A1(2，0，2)，E(1，2，0)， D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)， 则=(2，0，2)=(1，2，0)=(0，-2，1)， 设平面A1DE的法向量为n=(a，b，c)， 则取n=(-2，1，2)， ∴·n=(0，-2，1)·(-2，1，2)=0， 又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE. (2)解　=(0，2，0)是平面A1DA的法向量， ∴|cos〈n|== 即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为. 14.(12分)如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分别为CE，AB的中点. (1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(6分) (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.(6分) 解　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC， 平面ABDE∩平面ABC=AB， DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系. ∵AC=BC=4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， ∴=(-4，4，0)=(4，0，4). ∴|cos〈|== ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴=(0，4，2)=(-2，4，0)=(-2，2，2). 设平面ODM的法向量为n=(x，y，z)， 则由可得 令x=2，则y=1，z=1， ∴n=(2，1，1). 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈n|== ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 15.(13分)如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. (1)求证：D1E⊥A1D；(5分) (2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由.(8分) (1)证明　∵AE⊥平面AA1D1D， A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D. ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AD=AA1=1，∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1=A，AE，AD1⊂平面AED1， ∴A1D⊥平面AED1. ∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D. (2)解　以D为坐标原点， DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 假设在棱AB上存在点E(1，t，0)(0≤t≤2)， 使得AD1与平面D1EC所成的角为 A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)=(-1，0，1)， =(0，-2，1)=(1，t-2，0)， 设平面D1EC的法向量为n=(x，y，z)， 则 取y=1，得n=(2-t，1，2)， ∴sin== 整理得t2+4t-9=0， 解得t=-2或t=-2-(舍去)， ∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为此时AE=-2. 学科网（北京）股份有限公司 $