圆锥曲线重难点三：直线与抛物线的位置关系（8个题型归纳）暑假预习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与抛物线的位置关系这一核心知识点，从相离、相切、相交三种基础关系及判别式应用入手，逐步延伸到切线方程、弦长计算、中点弦（点差法）、面积问题等，构建从基础判断到综合应用的学习支架，系统梳理相关公式与方法。 该资料通过8类题型分类讲解，每题型含公式结论、方法技巧及经典例题，引导学生用数学眼光发现问题，通过分类讨论斜率、韦达定理应用等培养数学思维，课中助教师高效授课，课后通过检测与练习帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点三：直线与抛物线的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：__相离____、___相切___和__相交____． 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． ①时，直线与抛物线只有__一个____交点； ②时， ⇔直线与抛物线__相交____⇔有__两个____公共点． ⇔直线与抛物线__相切____⇔只有___一个___公共点． ⇔直线与抛物线__相离____⇔___没有___公共点． 2．设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则______或=______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和抛物线的位置关系】 【练方法】 公式结论 联立直线与抛物线 消元得到一元二次方程 判别式 1.直线与抛物线有两个不同交点 2.直线与抛物线相切 3.直线与抛物线无交点 直线斜率不存在时单独代入验证 方法技巧 1.联立方程消元前分类讨论直线斜率存在.斜率不存在两种情况 2.消元后先判断二次项系数是否为0．系数为0时直线与抛物线仅有一个交点但不属于切线 3.计算判别式前整理方程为标准一元二次形式 4.不能仅凭交点个数直接判定相切．务必区分平行对称轴直线与切线 （24-25高三上·广东·阶段检测）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．经典例题1例题 (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． （23-24高二下·上海·阶段检测）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 （23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为．小试牛刀2 (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． （25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：与抛物线切线相关计算】 【练方法】 公式结论 抛物线 1.切点处切线方程： 2.斜率为的切线方程： 3.过抛物线外一点可作两条切线．切点弦直线方程： 方法技巧 1.已知切点优先使用切点式切线方程．简化计算 2.已知斜率设切线方程．联立抛物线利用求解截距参数 3.过抛物线外点求切点弦．直接套用切点弦公式无需求切点坐标 4.切线相关角度问题可结合导数求解切线法线斜率 （25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求：经典例题1例题 (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． （2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高二下·四川德阳·期末）已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点．小试牛刀2 (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． （2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：求抛物线的弦长】 【练方法】 公式结论 设直线与抛物线交点. 1.斜率存在： 2.斜率不存在： 3.焦点弦专用： 4.使用作为变量： 方法技巧 1.联立直线与抛物线．利用韦达定理直接获取.．不必单独求解两点坐标 2.直线过焦点优先使用焦点弦公式简化运算 3.直线平行轴时单独计算．不能直接套用含弦长公式 4.弦长计算优先保留整体韦达形式．减少开方运算误差 （2026·天津武清·模拟预测）抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________．经典例题1例题 （2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   )小试牛刀1 A．16 B．8 C．12 D．4 （2026·福建泉州·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限相交于，两点，若，则__________．小试牛刀2 （25-26高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________小试牛刀3 【题型4：由抛物线弦长求参数】 【练方法】 公式结论 将韦达结论代入弦长公式 建立含参数的方程．解方程求得参数取值 方法技巧 1.联立方程写出韦达定理表达式．全部使用参数表示 2.代入弦长等式整理为整式方程求解 3.求出参数后带回检验．保证直线与抛物线存在交点 4.斜率不确定时分类讨论斜率存在.斜率不存在两种情形 （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．经典例题1例题 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． （2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D．2 （2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ）小试牛刀2 A．2 B． C． D．4 （25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ）小试牛刀3 A． B．2 C． D．1 【题型5：与抛物线有关的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 设.在抛物线上．中点 两式相减 弦斜率 方法技巧 1.已知中点求弦斜率优先使用点差法．运算速度优于联立方程 2.求出直线方程后必须联立验证．检验中点弦真实存在 3.中点纵坐标时．弦垂直轴．单独分析 4.点差法只适合解决中点.斜率相关问题．无法求解弦长 （25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________.经典例题1例题 （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. （25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ）小试牛刀3 A．20 B．16 C．12 D．8 【题型6：与抛物线中点弦有关的综合问题】 【练方法】 公式结论 中点弦核心关系式 结合中点坐标公式， 搭配直线方程.弦长公式.距离公式联合求解 方法技巧 1.先用点差法建立中点坐标与直线斜率关系式 2.结合题干约束条件（弦长.定点.垂直关系）列方程组 3.全部解出参数后联立方程检验．剔除不存在的虚弦 4.存在垂直条件时使用斜率乘积建立等式 （25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.经典例题1例题 (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. （25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·江西·一模）在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为___________．小试牛刀3 【题型7：求抛物线有关的三角形四边形面积】 【练方法】 公式结论 1.三角形 2.以弦AB为底边：（为定点到直线$AB$距离） 点到直线距离 3.焦点弦构成三角形可结合焦半径长度计算面积 方法技巧 1.优先选择弦作底边．利用韦达求出弦长．再计算点到直线距离 2.顶点为坐标原点的三角形优先使用坐标面积公式 3.四边形拆分为两个三角形分别计算面积再求和 4.尽量使用韦达整体代换．避免求解交点坐标 （25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且．经典例题1例题 (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． （2026·福建泉州·模拟预测）已知点，以为直径的圆与轴相切，设点的轨迹为．小试牛刀1 (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，分别记，的面积为，，若，求的方程． （2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【题型8：与抛物线有关的三角形四边形面积最值范围问题】 【练方法】 公式结论 面积表达式化简为单变量函数或 借助二次函数性质.导数.基本不等式求解最值 方法技巧 1.联立方程结合韦达定理．写出面积关于斜率/截距的函数表达式 2.根据直线与抛物线相交条件．确定自变量取值范围 3.在定义域内求解函数最大值.最小值 4.焦点弦面积最值优先使用焦点弦结论简化函数形式 5.取得最值后验证对应直线满足相交条件 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1．经典例题1例题 (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． （25-26高二下·上海宝山·期末）已知抛物线，焦点为．小试牛刀1 (1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； (2)已知、为上两点，且．求面积的最小值； (3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． （25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2．小试牛刀2 (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． （25-26高二下·山东青岛·期中）已知抛物线 上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C都在抛物线上，且点A，C在y轴右侧、点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足，直线BC交轴于点N.记，，的面积分别为，，.小试牛刀3 (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求的取值范围. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 4．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 5．（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·云南昆明·期中）设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（   ） A．中点的横坐标是 B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 三、填空题 8．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 四、解答题 9．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 10．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 11．（2026·辽宁·三模）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，． (1)若，直线的斜率为1，求的值； (2)求四边形面积的最小值及此时直线的斜率． 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求弦长度的最小值，并说明取等条件． 13．（25-26高二下·甘肃·期末）已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 14．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 15．（2026·辽宁沈阳·三模）过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求PQ中点的轨迹的方程； (3)证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 16．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点三：直线与抛物线的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：__相离____、___相切___和__相交____． 设直线与抛物线相交于，两点，将代入，消去并化简，得． ①时，直线与抛物线只有__一个____交点； ②时， ⇔直线与抛物线__相交____⇔有__两个____公共点． ⇔直线与抛物线__相切____⇔只有___一个___公共点． ⇔直线与抛物线__相离____⇔___没有___公共点． 2．设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则______或=______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和抛物线的位置关系】 【练方法】 公式结论 联立直线与抛物线 消元得到一元二次方程 判别式 1.直线与抛物线有两个不同交点 2.直线与抛物线相切 3.直线与抛物线无交点 直线斜率不存在时单独代入验证 方法技巧 1.联立方程消元前分类讨论直线斜率存在.斜率不存在两种情况 2.消元后先判断二次项系数是否为0．系数为0时直线与抛物线仅有一个交点但不属于切线 3.计算判别式前整理方程为标准一元二次形式 4.不能仅凭交点个数直接判定相切．务必区分平行对称轴直线与切线 （24-25高三上·广东·阶段检测）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．经典例题1例题 (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2) 当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． （23-24高二下·上海·阶段检测）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D （23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为．小试牛刀2 (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【答案】(1) (2)证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 【分析】（1）根据题意，转化点到点的距离等于点到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）由点在上，可得，联立方程组，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长确定圆心到直线的距离范围，再结合各选项中曲线的性质，判断直线与曲线是否一定有公共点即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则（其中为弦长）， 因为弦长不小于，所以，即， 两边同时平方可得，移项可得，即. 选项A： 抛物线的焦点为，准线方程为， 当直线为时，圆心到直线的距离， 满足，但直线与抛物线无公共点，A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为， 当直线为时，直线与圆无公共点，B错误； 选项C：当直线为时，到圆心的距离，满足弦长条件， 将代入双曲线方程，得，， 则方程无实数解，所以直线与双曲线没有公共点，C错误. 选项D：椭圆，原点在椭圆内部，该椭圆上的点到中心距离的范围为 则直线一定过椭圆内部或椭圆上的点， 所以直线与椭圆一定有公共点，D正确. 故选：D. 【题型2：与抛物线切线相关计算】 【练方法】 公式结论 抛物线 1.切点处切线方程： 2.斜率为的切线方程： 3.过抛物线外一点可作两条切线．切点弦直线方程： 方法技巧 1.已知切点优先使用切点式切线方程．简化计算 2.已知斜率设切线方程．联立抛物线利用求解截距参数 3.过抛物线外点求切点弦．直接套用切点弦公式无需求切点坐标 4.切线相关角度问题可结合导数求解切线法线斜率 （25-26高二下·上海黄浦·期末）若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求：经典例题1例题 (1)动点P的轨迹方程： (2)过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】(1) (2) 和 【分析】（1）利用抛物线的定义：平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，可直接求出轨迹方程； （2）过定点与抛物线只有一个公共点的直线，包括抛物线的切线和与抛物线对称轴平行的直线两类，需分情况讨论斜率是否存在. 【详解】（1）根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. （2）设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . （2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． （24-25高二下·四川德阳·期末）已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点．小试牛刀2 (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 【答案】(1) 抛物线标准方程为，椭圆标准方程为 (2) 的面积为 【分析】（1）通过已知点求出抛物线方程，结合共焦点的条件求出椭圆方程； （2）求过切线与抛物线方程联立求出切线的斜率进而求出切线方程，接着联立切线方程和椭圆方程求出交点坐标，从而求出三角形的面积. 【详解】（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2） ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. （2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 【题型3：求抛物线的弦长】 【练方法】 公式结论 设直线与抛物线交点. 1.斜率存在： 2.斜率不存在： 3.焦点弦专用： 4.使用作为变量： 方法技巧 1.联立直线与抛物线．利用韦达定理直接获取.．不必单独求解两点坐标 2.直线过焦点优先使用焦点弦公式简化运算 3.直线平行轴时单独计算．不能直接套用含弦长公式 4.弦长计算优先保留整体韦达形式．减少开方运算误差 （2026·天津武清·模拟预测）抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据通径最短的已知条件求出，再求出直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出弦长. 【详解】解：由通径是抛物线中最短的弦，则，所以，焦点为， 因此，圆的方程为，圆心，半径.    因为倾斜角为，则斜率， 所以过焦点的直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. （2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   )小试牛刀1 A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. （2026·福建泉州·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限相交于，两点，若，则__________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】设，直线方程，联立方程利用韦达定理结合，解得，利用弦长公式得到. 【详解】 设，直线方程， 联立，得， 由韦达定理得（*）， 因为，且， 则，代入（*），解得， 所以. （25-26高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________小试牛刀3 【答案】 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点，    如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 【题型4：由抛物线弦长求参数】 【练方法】 公式结论 将韦达结论代入弦长公式 建立含参数的方程．解方程求得参数取值 方法技巧 1.联立方程写出韦达定理表达式．全部使用参数表示 2.代入弦长等式整理为整式方程求解 3.求出参数后带回检验．保证直线与抛物线存在交点 4.斜率不确定时分类讨论斜率存在.斜率不存在两种情形 （25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．经典例题1例题 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. （2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为 ，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. （2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ）小试牛刀2 A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式计算即得. 【详解】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. （25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ）小试牛刀3 A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设过点的直线方程,并且联立抛物线，利用韦达定理和中点坐标公式可得的关系式，再结合弦长即可求出的值. 【详解】设过焦点 的直线为 ，联立抛物线 得 ， 设，由韦达定理得： ， 所以中点纵坐标为 ，即 ； 、两点代入直线可得，， 则两式相加可得， 所以弦长， 所以； 又因为，即，代入可得， 化简为 ，解得 . 【题型5：与抛物线有关的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 设.在抛物线上．中点 两式相减 弦斜率 方法技巧 1.已知中点求弦斜率优先使用点差法．运算速度优于联立方程 2.求出直线方程后必须联立验证．检验中点弦真实存在 3.中点纵坐标时．弦垂直轴．单独分析 4.点差法只适合解决中点.斜率相关问题．无法求解弦长 （25-26高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用中点在直线上，解得斜率，设点，代入抛物线方程并作差，结合中点坐标、斜率公式，即可得解. 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. （25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. （25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ）小试牛刀3 A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理及中点横坐标求得，再由弦长公式求. 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 【题型6：与抛物线中点弦有关的综合问题】 【练方法】 公式结论 中点弦核心关系式 结合中点坐标公式， 搭配直线方程.弦长公式.距离公式联合求解 方法技巧 1.先用点差法建立中点坐标与直线斜率关系式 2.结合题干约束条件（弦长.定点.垂直关系）列方程组 3.全部解出参数后联立方程检验．剔除不存在的虚弦 4.存在垂直条件时使用斜率乘积建立等式 （25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.经典例题1例题 (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 【答案】(1)，； (2)3. 【分析】（1）利用给定的准线方程求出即可求解. （2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出，再利用点差法求出斜率. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，则，解得， 抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得， 所以抛物线C的方程为，. （2）设，由点为的重心，得， 解得，由点在抛物线上，得， 两式相减，得，即， 所以直线l的斜率. （25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得，   所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 【分析】（1）根据条件，求出圆心和半径，结合抛物线标准方程，可求出p值，即可得答案. （2）方法一：设，，利用点差法，求出直线l的斜率k，进而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，得关于y的一元二次方程，检验判别式，方程无解，所以不成立；方法二：设l方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理，求出m、n的值，检验与矛盾，故无解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. （2025·江西·一模）在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段的中点的坐标，利用点差法求出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得结果. 【详解】由点的坐标为且轴得，即，抛物线方程为， 设、，则相减可得， 所在直线斜率， 记中点为，又由为的重心，可知，    设点，则，可得，解得，即点， 所以，， 所以，所在直线方程为，即， 联立方程，得，， 由韦达定理可得，，得， 故：的面积为. 故答案为：. 【题型7：求抛物线有关的三角形四边形面积】 【练方法】 公式结论 1.三角形 2.以弦$AB$为底边：（为定点到直线$AB$距离） 点到直线距离 3.焦点弦构成三角形可结合焦半径长度计算面积 方法技巧 1.优先选择弦作底边．利用韦达求出弦长．再计算点到直线距离 2.顶点为坐标原点的三角形优先使用坐标面积公式 3.四边形拆分为两个三角形分别计算面积再求和 4.尽量使用韦达整体代换．避免求解交点坐标 （25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且．经典例题1例题 (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【答案】(1); (2); 【分析】(1)由点P在抛物线上及，结合抛物线定义求p，得到方程； (2)联立直线AB:与抛物线方程，结合韦达定理与，可解得的值，再利用弦长公式和点到直线的距离求解. 【详解】（1）    因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，，， 易知过点F的直线斜率不为0，设其方程为， 将代入，得到， 设，，则，， ， ， ，， 因为P在以为直径的圆上， 所以， 即， 化简得：，解得：或. 当时，直线为，此时 但与重合，舍去. 当时，直线为，此时，， 则, 点到直线的距离：， 所以的面积为. （2026·福建泉州·模拟预测）已知点，以为直径的圆与轴相切，设点的轨迹为．小试牛刀1 (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，分别记，的面积为，，若，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合以为直径的圆与轴相切的几何条件，借助梯形中位线性质推导点到焦点的距离与到直线的距离相等，利用抛物线的定义即可求得曲线的标准方程. （2）先将两个三角形的面积比转化为焦半径的比值，结合抛物线的焦半径公式得到关于、两点横坐标的关系式；再联立过定点的直线与抛物线方程，利用韦达定理代入关系式求解直线斜率，最终得到直线的方程. 【详解】（1）设的中点为，分别过点，作轴于，轴于，点到直线的距离为， 因为以为直径的圆与轴相切，所以，   又，   所以，故， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故的方程为．   （2）设，， 因为，，所以，即，   整理得，得，即． 当的斜率不存在时，显然不合题意；   当的斜率存在时，设的方程，   由消去，得， 整理，得，   从而，且，，   由，得， 整理，得，解得，   经检验，当时，，符合题意，   所以的方程为即． （2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. （25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）先求直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：设， 若直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以， 故的方程为； （2）解：直线过点，倾斜角为，则直线方程为， 联立抛物线得：， 设，，由韦达定理得：， ， ， 点到直线的距离， ． 【题型8：与抛物线有关的三角形四边形面积最值范围问题】 【练方法】 公式结论 面积表达式化简为单变量函数或 借助二次函数性质.导数.基本不等式求解最值 方法技巧 1.联立方程结合韦达定理．写出面积关于斜率/截距的函数表达式 2.根据直线与抛物线相交条件．确定自变量取值范围 3.在定义域内求解函数最大值.最小值 4.焦点弦面积最值优先使用焦点弦结论简化函数形式 5.取得最值后验证对应直线满足相交条件 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1．经典例题1例题 (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或；（ii）32 【分析】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    （25-26高二下·上海宝山·期末）已知抛物线，焦点为．小试牛刀1 (1)若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； (2)已知、为上两点，且．求面积的最小值； (3)抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）运用抛物线的定义求解； （2）思路一：设的直线并联立抛物线方程；思路二：直接设两点，再结合题目条件求解. （3）算出点，设、两点坐标和直线方程再联立抛物线方程，结合题目条件求解. 【详解】（1）由题知焦点．准线方程为， 根据抛物线的定义知， 由已知，所以． （2）思路一：显然，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，与联立，得，所以，化简得． 设，，则，． 因为， 所以， 即， 于是． 将，代入，化简得． 由，得，所以． 由，得，解得或． 由得．所以的面积 ， 于是，当时，有最小值为． 故面积的最小值为． 思路二：设，，则， 所以．① 因为．所以．② 当时，不等式②化简得，所以时不等式②成立； 当时，不等式②化简得，解得或． 综上，的取值集合是． 由得，所以的面积 将①代入，得， 所以，当时，有最小值为． 故面积的最小值为． （3）如图，由已知得，，设，，直线的方程为，与联立，得． 则，，，解得或． 因为，所以，即． 于是 ，当且仅当， 即或时等号成立． 故的最小值为．    （25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2．小试牛刀2 (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解； （2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点； （ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值. 【详解】（1）已知焦点（）到直线的距离为2， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则， 解得，故抛物线的方程为： ； （2） （i）设切点，抛物线，求导得切线斜率， 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为, 所以，， 因为都满足方程， 所以直线的方程为：， 当时，，故对任意的，直线恒过定点； （ii）将与联立，消去得：， 判别式， 则弦长， 点到直线的距离： 因此的面积： ， 由，当时，取得最小值. 故面积的最小值为. （25-26高二下·山东青岛·期中）已知抛物线 上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C都在抛物线上，且点A，C在y轴右侧、点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足，直线BC交轴于点N.记，，的面积分别为，，.小试牛刀3 (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由抛物线 上一点到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程； （2）设点，，由面积公式可知，由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示 ，令，由，得，将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案. 【详解】（1）由题意得，，得，即抛物线方程为, 抛物线的准线方程为. （2）设点，， ， 因为点G为的重心，且在y轴上， 所以，且， 则， 由相似三角形可知， 所以 令， 因为，所以，故，， 则，故. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 2．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，，若线段中点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出．再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差．最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解． 【详解】 由抛物线定义可得的准线为， 则，， 由，得， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以，，得， 由两点距离公式，得， 代入，得 ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 4．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 二、多选题 5．（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 6．（25-26高三下·云南昆明·期中）设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（   ） A．中点的横坐标是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意设直线的方程为，代入抛物线方程，求出韦达定理，利用弦长公式列方程求得，根据抛物线定义，直线与圆的位置关系判断方法以及三角形面积公式逐一分析计算即可判断. 【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率为，又经过抛物线的焦点，故直线的方程可设为， 将其代入消去，整理得， 设，则， 于是，，， 由，解得， 则，， 对于A，中点的横坐标是，故A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得， 则 ，故B正确； 对于C，由A项可知到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切于点，则轴，于是， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 7．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．抛物线的方程为 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【分析】根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【详解】解：由焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则，， 若是线段AB的中点，则， 所以，即， 又直线经过焦点，所以直线的方程为，故C正确； 由，得，则， 所以，故D正确． 三、填空题 8．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 【答案】8 【分析】先由准线上的点确定抛物线参数，利用点到直线距离求出直线斜率，联立方程结合韦达定理与焦点弦长公式求解弦长. 【详解】由抛物线的准线方程为， 点在准线上，得，解得. 因此，抛物线方程为，焦点. 当直线斜率不存在时， 直线方程为，点到直线的距离为， 与题设距离矛盾，故直线斜率存在. 设直线的方程为，整理为， 由点到直线的距离公式得，化简得，即， 两边平方后整理得，解得. 联立，消去得，， 设，，由韦达定理得， 由抛物线焦点弦长公式得. 四、解答题 9．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【答案】(1)证明：直线不垂直于轴，设直线AB方程为， 由消去x并化简得， 则，因此， 所以为定值. (2)． 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理计算得证. （2）由（1）求出，结合已知求出直线与的关系，再利用弦长公式列式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 设直线的方程为，同理， 由，得，则， 又， 同理，则． 当时，，， 且当且仅当时取等号，当时，，， 所以的最小值为. 10．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点， ，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 11．（2026·辽宁·三模）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，． (1)若，直线的斜率为1，求的值； (2)求四边形面积的最小值及此时直线的斜率． 【答案】(1)8 (2)，． 【分析】（1）求出抛物线方程和焦点坐标，得出直线的方程，直曲联立，借助韦达定理即可求出的值； （2）写出直线的方程，直曲联立得出的表达式，利用两直线垂直求出直线的斜率与的表达式，写出四边形的面积表达式，借助基本不等式即可求出四边形面积的最小值及此时直线的斜率. 【详解】（1）由题意，在抛物线中， 当时，，焦点， ∵直线的斜率为1， ∴直线的方程为， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由题意， 在抛物线中，焦点， ，，，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴直线的斜率为， 同理可得，， ∴四边形的面积： ， 当且仅当即时，等号成立， ∴四边形面积的最小值是，此时直线的斜率． 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求弦长度的最小值，并说明取等条件． 【答案】(1) (2)，当直线方程为时取等． 【分析】先分析直线斜率存在时，假设直线：，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得到点横、纵坐标的关系，再验证当直线斜率不存在时也符合即可. 利用小问（1），结合弦长公式可得直线斜率存在时，再与直线斜率不存在时比较，即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点， 当直线斜率存在时，设过焦点的直线为． 代入抛物线方程，得． 整理为． 方程的判别式， 设交点，的横坐标分别为，，则． 所以中点的横坐标，即，， 又因为在直线上，所以． 于是，， 因此点满足，， 当垂直于轴时，l：，此时交点为，， 中点为，也满足． 故的轨迹方程为． （2）当l：时，由（1）可知，． 所以，即． 由于， 故 当直线l斜率不存在时，即时，交点为，，此时． 因此弦长度的最小值为4，当且仅当直线l方程为时取得． 13．（25-26高二下·甘肃·期末）已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 14．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线 与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线 与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 15．（2026·辽宁沈阳·三模）过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求PQ中点的轨迹的方程； (3)证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式，求得； （2）设直线斜率为，求出、坐标，用中点公式消参，得到轨迹方程； （3）构造无穷多组整数点，再用反证法结合数论知识，证明无整点到原点距离为整数. 【详解】（1）设则的方程为， 则由得，则， 由抛物线焦点弦长公式得. （2）抛物线的焦点为，设的直线方程为. 由得. 由，得， 而，故的斜率为，的方程为. 代入得. 设动点R的坐标为，则， 因此，故中点R的轨迹L的方程为. （3）由的方程，是不等于的质数，故， 又由于和4的最大公约数为1，且是质数，可得. 设（为任意非零整数），代入得， 显然均为整数，且有无穷多个，故上有无穷多个整点. 假设L上有一个整点到原点的距离为整数，不妨设，则: ，因为p是奇质数，于是， 从②可推出，再由①可推出. 令，则有， 由③，④得，于是， 即， 于是，得， 故，有，但L上的点满足，矛盾. 因此，L上任意点到原点的距离不为整数. 16．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值，． 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）设出A点坐标和直线方程，求出B点坐标，再根据重心性质，列方程求解即可； （3）列出表达式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则，抛物线方程为． （2）设，重心，令，，则．                                             由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以． 又由于，，重心在轴上，故， 得，．- ，故，故 （3）由（2）设 ，，． 所以，直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故．从而 令，则，．- 当时，取得最小值，此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $