第3章 再练1课(范围：§3.1)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦椭圆的标准方程、离心率、焦点及几何性质等核心知识点，系统梳理从定义与标准方程的基础应用，到离心率计算、焦点三角形问题，再到直线与椭圆位置关系的综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料题目设计梯度分明，基础题巩固概念辨析如椭圆方程的充要条件判断，综合题融合几何直观与代数运算如通过焦点三角形角度分析结合直线与椭圆联立求弦长，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

再练一课(范围：§3.1) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知椭圆M的焦点为(0，-)和(0，)，点P(1，0)在椭圆上，则椭圆M的标准方程为(　　) A.+y2=1 B.+x2=1 C.+x2=1 D.+y2=1 答案　C 解析　设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，由题意可得c=，b=1，则a=2，所以椭圆M的标准方程为+x2=1. 2.“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　“方程ax2=1-by2即方程ax2+by2=1，表示椭圆”的充要条件是“a>0，b>0，a≠b”，显然“0<a<1，0<b<1”是“a>b，b>0，a≠b”的既不充分也不必要条件，故“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件. 3.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，得2c=2b，所以b=c， 所以a2=b2+c2=2c2， 所以e2=，又0<e<1， 所以e=. 4.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意得=， 所以c=2b，所以a==b， 所以e===. 5.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P.若点A到直线BF2的距离为，△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　B 解析　由题意，得A(-a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，则直线BF2的方程为bx+cy-bc=0， 所以点A到直线BF2的距离d==(a+c)=，① 由△PF1F2的周长为16，得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16， 即a+c=8，② 联立①②，解得b=a.③ 因为c2=a2-b2，所以c=a.④ 联立②④，解得a=6，c=2，所以b=4， 故椭圆E的标准方程为+=1. 6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，且|DE|=6，则△ADE的周长是(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 答案　C 解析　椭圆的离心率e==， 所以a=2c，b==c， 如图，|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c， 所以△AF1F2为正三角形， 又因为直线DE过F1且垂直于AF2， 所以∠DF1F2=30°， 直线DE的方程为y=(x+c)， 设D点坐标为(x1，y1)， E点坐标为(x2，y2)， 将直线方程与椭圆方程+=1联立， 得13x2+8cx-32c2=0， 显然Δ>0， 则x1+x2=-， x1x2=-， 所以|DE|=×==6， 解得c=，a=， 由图可知，直线DE垂直平分AF2， 所以△ADE的周长等于△F2DE的周长， =4a=13. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(　　) A.若a=b，则满足∠F1PF2=90°的点P有两个 B.若a<b，则满足∠F1PF2=90°的点P有四个 C.△PF1F2的面积的最大值为 D.△PF1F2的周长小于4a 答案　ACD 解析　记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2=∠F1B2F2.选项A中，∠F1B1F2=∠F1B2F2=90°，故正确；选项B中，∠F1B1F2=∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，故错误；选项C中，≤·2c·b=bc≤=，当且仅当b=c时取等号，故正确；选项D中，△PF1F2的周长=2c+2a<4a，故正确. 8.设椭圆的方程为+=1，斜率为k的直线l不经过坐标原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.kAB·kOM=-1 B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x+y-3=0 C.若直线l的方程为y=x+1，则点M的坐标为 D.若直线l的方程为y=x+2，则|AB|= 答案　BD 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减，得+=0， 即·=-2，即kAB·kOM=-2. 对于A，kAB·kOM=-2≠-1，所以A不正确； 对于B，由kAB·kOM=-2，M(1，1)，得kAB=-2， 所以直线l的方程为y-1=-2(x-1)， 即2x+y-3=0，所以B正确； 对于C，若直线l的方程为y=x+1，M，则kAB·kOM=1×4=4≠-2，所以C不正确； 对于D，由得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，所以|AB|==，所以D正确. 9.设椭圆的方程为+=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B两点，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是(　　) A.存在点P，使得∠F1PF2=90° B.线段PF1长度的取值范围为(2，8) C.|PF1|·|PF2|的最大值为25 D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为 答案　BC 解析　由+=1， 得A(-5，0)，B(5，0)，F1(-3，0)，F2(3，0)， 设P(x0，y0)，有=16， 对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2=90°， 即·=0， 于是(x0+3)(x0-3)+=-9+16- =+7=0，显然无解，A错误； 对于B，|AF1|<|PF1|<|BF1|，即2<|PF1|<8，B正确； 对于C，|PF1|+|PF2|=10， |PF1|·|PF2|≤=52=25， 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号， 因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确； 对于D，直线PA，PB的斜率之积为 kPA·kPB=·= ==-，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示椭圆，则m的取值范围是　　　　.  答案　(1，2)∪(2，3) 解析　易知m≠1且m≠3，方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)， 即+=1表示椭圆， 可得解得1<m<3且m≠2， 即m的取值范围是(1，2)∪(2，3). 11.在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为，则椭圆C的方程为　　　　.  答案　+y2=1 解析　由题意知=， 可得a2=4b2. 椭圆C的方程可化简为x2+4y2=a2. 将y=x代入可得x=±， 因此×=，解得a=2. 因此b=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. 12.已知椭圆+=1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得 解得|PF1|=，|PF2|=， 由题意可得 解得≥， 又0<<1，所以≤<1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 四、解答题(共37分) 13.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(-4，0)的(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(6分) (2)经过点A(，-2)和点B(-2，1).(6分) 解　(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意得a=5，c=4， ∴b2=a2-c2=9， ∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，且m≠n)， 则解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 14.(12分)已知直线l：2x+5y-10=0过椭圆C的右焦点和上顶点. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)若点P在椭圆C上，且|PF1|-|PF2|=2，求△PF1F2的外接圆的方程.(7分) 解　(1)因为直线l：2x+5y-10=0过点(5，0)和(0，2)， 可得b=2且c=5，则a==7， 所以所求椭圆的方程为+=1. (2)若点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=14， 因为|PF1|-|PF2|=2， 可得|PF1|=8，|PF2|=6， 又因为c=5，可得|F1F2|=2c=10， 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 即△PF1F2是直角三角形， 所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)， 半径r=c=5， 所以△PF1F2外接圆方程为x2+y2=25. 15.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1. (1)求椭圆方程及其离心率；(5分) (2)已知点P是椭圆上一动点(不与椭圆顶点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的2倍，求直线A2P的方程.(8分) 解　(1)如图， 由题意得 解得 所以b==， 所以椭圆的方程为+=1， 离心率为e==. (2)由题意得，直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为+=1可得A2(2，0)， 设直线A2P的方程为y=k(x-2)， 联立方程组 消去y整理得， (3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，Δ>0， 由根与系数的关系得·xP=， 所以xP=， 所以P，Q(0，-2k). 所以=×4×|yQ|，=×1×|yP|， =×4×|yP|， 所以=+=2+，所以2|yQ|=3|yP|， 即2|-2k|=3，解得k=±， 所以直线A2P的方程为y=±(x-2). 学科网（北京）股份有限公司 $