高中数学单元测试——第三章　圆锥曲线的方程（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学圆锥曲线方程单元复习较易版测试，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础巩固与情境应用题，培养抽象能力、推理能力及模型意识，适配单元基础复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点准线、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，如第6题抛物线拱桥体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线焦点弦、卡西尼卵形线|跨情境创新，第11题卡西尼卵形线培养数学思维| |填空题|3/15|双曲线参数、圆与抛物线距离、椭圆点共线|空间观念应用，第13题圆与抛物线距离最小值训练直观想象| |解答题|5/77|标准方程求解、焦点弦中点、轨迹定点证明|分层设计，第18题椭圆定值证明提升推理能力与模型意识|

高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题可知即求p的值. 【详解】解：由题得， 故焦点到准线的距离为2， 故选：A． 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据弦长结合抛物线的对称性，得出点的坐标，代入抛物线方程即可得到答案. 【详解】由垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且 根据抛物线关于轴对称，则， 将点坐标代入抛物线方程可得：，解得 故选：A 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用焦点相同这个条件得到相同，结合椭圆经过定点条件，构造方程组求解即可. 【详解】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 7．（本题5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积. 【详解】由题意得，，渐近线方程为，， ，故渐近线方程为， 连接，则由对称性得， 又，所以， 故，， 由于，故， 设点关于的对称点， 则，解得， 则， 由得，解得， 故，，， 故的面积为. 故选：D 8．（本题5分）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆的圆心，， 设， 则， 故答案为： 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，，代入点坐标，即可求得答案； （2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或， 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：； 若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：， 故所求抛物线方程为或. （2）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为. 由题意，得，解得，，， 所以焦点在轴上的双曲线的方程为. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义以及中点横坐标计算可得，可求出抛物线的标准方程； （2）联立抛物线和直线方程，再由韦达定理求出直线斜率可得直线方程. 【详解】（1）设,， 线段的中点的横坐标为，， 由抛物线定义可得，解得， 抛物线的标准方程为． （2）由（1）可知抛物线的焦点为， 当直线的斜率不存在时，可知，不合题意， 故可设直线的方程为，， 由得, 由可得， 直线的方程为. 17．（本题15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由如下： 假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）略 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】(1) (2)证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. （2）略 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章　圆锥曲线的方程（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 7．（本题5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 8．（本题5分）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 10．（本题6分）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 三、填空题 12．（本题5分）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为__________. 13．（本题5分）点在圆上，点在抛物线上，则线段长度的最小值为_____. 14．（本题5分）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）回答下列各题. （1）求经过点的抛物线的标准方程. （2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程. 16．（本题15分）设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段的中点的横坐标为2，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线经过焦点，求直线的方程. 17．（本题15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $