第3章 习题课 圆锥曲线中的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线综合问题，系统梳理范围与最值、定值与定点、探索性三大核心题型，通过椭圆、双曲线、抛物线实例构建从方程性质到综合应用的学习支架。 资料以例题解析为核心，归纳几何法与代数法等解题策略，培养数学思维的推理能力和数学眼光的创新意识。课中辅助教师高效授课，课后通过跟踪训练与课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

习题课　圆锥曲线中的综合问题 学习目标　1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用(重点).2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题(难点). 一、范围与最值问题 例1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (1)求椭圆的方程； (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 解　(1)由题意，得解得 ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)当直线l的斜率为0时，AP的斜率k=0. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1， 联立方程组 得(m2+4)y2+2my-3=0. Δ>0显然成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 则y1+y2=-， ∴y0=-， 则x0=my0+1=-+1=， 而点A的坐标为(-2，0)， ∴直线AP的斜率k==. ①当m=0时，k=0. ②当m≠0时，|k|==. ∵=|2m|+≥4， 当且仅当|2m|=时，等号成立. ∴0<≤， 从而-≤k≤且k≠0. 综上所述，斜率k的取值范围是. 反思感悟　圆锥曲线中最值与范围的求法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 解　(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)， 可得c=2，又离心率为， ∴a=，b2=a2-c2=6-4=2， ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题可知kPF==m， ∴kAB=-， 故直线AB的方程为y=-(x-2)， 即x=-my+2， 由可得(3+m2)y2-4my-2=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=， ∴|y1-y2|= ==， ∴△OAB的面积 S=×|OF|×|y1-y2|=， 令t=>1， ∴S==≤=， 当且仅当=t，即t=，m=1时取等号， ∴△OAB面积的最大值为. 二、定值与定点问题 例2　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值. (1)解　∵虚轴长为4，∴2b=4，即b=2， ∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线， ∴=2，∴a=1， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)证明　由题意知，A(-1，0)，B(1，0)， 由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x=ny+2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 得(4n2-1)y2+16ny+12=0， ∴y1+y2=-， y1y2=， ∴ny1y2=-(y1+y2)， ∵直线MA的斜率k1=， 直线NB的斜率k2=， ∴=== ==-，为定值. 反思感悟　(1)定值问题的基本思路 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在推理、计算的过程中消去变量，从而得到定值. (2)定点问题的基本思路 ①把方程中的变量x，y看作常数，将方程一端化为零，这个方程要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是要求的定点. ②由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0，m). ③从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2. (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明：直线l过定点. (1)解　设M(x0，2)，则 解得∴抛物线C：y2=2x，M(2，2). (2)证明　由题意知，直线l的斜率不为零， 可设l：x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2-2my-2n=0， ∴Δ=4m2+8n>0，即m2+2n>0， ∴y1+y2=2m，y1y2=-2n. kMA===， 同理kMB=，又MA⊥MB， ∴kMA·kMB= ===-1， 则n=2m+4(此时m2+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4>0成立)， ∴直线l：x=my+2m+4=m(y+2)+4， 当y=-2时，x=4，∴直线l恒过定点(4，-2). 三、探索性问题 例3　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于原点O，椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解　(1)由题意知，圆心在直线y=-x上， 设圆心坐标是(-p，p)(p>0)， 则圆的方程为(x+p)2+(y-p)2=8， 由于点O(0，0)在圆上，∴p2+p2=8，解得p=2， ∴圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a=10，a=5， ∴椭圆右焦点为F(4，0). 假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|=|OF|， 则有且m2+n2≠0， 解得 故圆C上存在满足条件的点Q. 反思感悟　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 跟踪训练3　已知直线x+y+=0与椭圆E：+y2=1有且只有一个公共点. (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　(1)联立 消去y得(1+a2)x2+2a2x+2a2=0， ∵直线x+y+=0与椭圆E：+y2=1有且只有一个公共点， ∴Δ=(2a2)2-8a2(1+a2)=0， 解得a2=2， 即椭圆E的方程为+y2=1. (2)假设存在实数λ， 使椭圆E上存在不同两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称， 设lPQ：x+2y+t=0， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 消去x得6y2+4ty+t2-2=0， 则Δ=16t2-24(t2-2)>0， 解得-<t<， 由根与系数的关系得y1+y2=-， ∴x1+x2=-2(y1+y2)-2t=-， ∴2×--λ =-+-λ=--λ=0， ∴λ=-∈， ∴存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称， 且λ的取值范围是. 1.知识清单： (1)范围与最值问题. (2)定点与定值问题. (3)探索性问题. 2.方法归纳：定义法、函数法、整体代换法. 3.常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确. 1.已知点P是椭圆C：+=1上一点，M，N分别是圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4上的点，那么|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.15 B.16 C.17 D.18 答案　C 解析　如图，椭圆C：+=1中的a=10，b=8，所以c=6， 圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M，N为如图所示的位置时， |PM|+|PN|的最小值为2a-(2+1)=17. 2.直线l与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=，则l在x轴上的截距(　　) A.为定值-3 B.为定值3 C.为定值-1 D.不是定值 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则·=，∴=， ∴y1y2=6，设直线l：x=my+b，代入抛物线方程可化为y2-2my-2b=0， ∴y1y2=-2b，∴-2b=6，∴b=-3， ∴l在x轴上的截距为-3. 3.已知A为椭圆+y2=1的上顶点，P为椭圆上一点，则|PA|的最大值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　B 解析　由题意可知A(0，1)，设P(x，y)， 由+y2=1可得x2=7-7y2，-1≤y≤1， 则|PA|= = =， 因为-1≤y≤1， 可知当y=-时， |PA|的最大值为=. 4.已知圆O：x2+y2=4与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|=2，则p=　　　　.  答案　2 解析　由抛物线y2=2px(p>0)的准线为l：x=-， 圆x2+y2=4的圆心为O(0，0)，半径r=2， 则圆心O到准线l的距离d=， 则|AB|=2=2=2， 解得p=2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共55分 1.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为(　　) A.b2 B.ab C.ac D.bc 答案　D 解析　由椭圆的对称性知， A，B两点关于原点O对称， 因此S△AFB=2S△OFB=c·|yB|， 故当|yB|=b时， △AFB面积最大，最大面积为bc. 2.已知P为抛物线y2=4x上一点，Q为圆(x-6)2+y2=1上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.-1 B.2- C.2-1 D.21-4 答案　C 解析　设点P的坐标为， 圆(x-6)2+y2=1的圆心坐标为A(6，0)， ∴|PA|2=+m2 =(m2-16)2+20≥20， ∴|PA|≥2， ∵Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点， ∴|PQ|的最小值为2-1. 3.已知F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|·|的最大值是(　　) A.4 B.5 C.2 D.1 答案　C 解析　由椭圆+y2=1，则a=2，b=1， 即c==， 所以F1(-，0)，F2(，0)， 设P(x，y)，则=(--x，-y)， =(-x，-y)， ·=x2-3+y2， 由点P在椭圆上，则y2=1-(-2≤x≤2)， 所以·=x2-2∈[-2，1]， 所以|·|的最大值为2. 4.在抛物线y2=4x上有不同的两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点(　　) A.(0，2) B.(0，4) C.(-4，0) D.(-2，0) 答案　B 解析　设直线AB的方程为x=ty+b(b≠0)， 并代入抛物线方程，消去x得y2-4ty-4b=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=4t，y1y2=-4b， ∴kOA+kOB=+= = ==-=1， ∴b=-4t，所以直线AB的方程为x=ty-4t=t(y-4)，过定点(0，4). 5.已知椭圆 C：+=1的左、右顶点分别为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是(　　) A.[-2，-1] B. C. D. 答案　D 解析　由题意得A(-2，0)，B(2，0)， 设P(x0，y0)，则+=1， 其中x0≠±2， 所以kPA·kPB=·====- ，又因为直线PA斜率的取值范围是[1，2]，所以直线PB斜率的取值范围是. 6.若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　C 解析　联立两个方程，得5x2+8tx+4t2-4=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-t，x1x2=(t2-1)， ∴|AB|= ==， 而Δ=(8t)2-4×5×(4t2-4)>0，解得0≤t2<5. ∴取t2=0得|AB|max=. 7.(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则+的最小值是　　　　.  答案　 解析　由题意得=，b=1，解得a=2，c=， 于是|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以+ = =≥(5+2)=， 当且仅当|PF2|=2|PF1|，即|PF2|=，|PF1|=时等号成立. 8.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=2(其中O为坐标原点)，则△AOB与△AOF面积之和的最小值是　　　　.  答案　3 解析　如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0， 则=(m2，m)，=(n2，n)，·=m2n2+mn=2， 解得mn=1(舍)或mn=-2. ∴lAB：(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2)， 即(m+n)(y-n)=x-n2， 令y=0，解得x=-mn=2， ∴设AB与x轴交于点C，则C(2，0). S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2m+×2·(-n)=m-n，S△AOF=×m=m， 则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3，当且仅当m=，即m=时等号成立.故△AOB与△AOF面积之和的最小值为3. 9.(10分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，离心率为2， (1)求双曲线C的标准方程；(3分) (2)已知B(0，)，直线l：y=kx+m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|=|BN|，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)∵a=1，=2， ∴c=2，b2=3， ∴双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 线段MN的中点Q(x0，y0)， 联立得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0， 依题意 即 ① 由根与系数的关系可得x1+x2=， x1·x2=-， 则x0==，y0=kx0+m=， ∵|BM|=|BN|，∴BQ⊥MN， ∴kBQ===-， ∴3-k2=m， ② 又k2=3-m>0， ③ 由①②③得m<-或0<m<. 10.(12分)已知△AOB的顶点O为抛物线y2=2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点；(5分) (2)求△AOB面积的最小值.(7分) (1)证明　设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0)， 则直线OB的方程为y=-x. 由得A， 由得B(2k2，-2k). ∴AB所在直线方程为(y+2k)=(x-2k2)， 化简得x-y-2=0， ∴直线过定点P(2，0). (2)解　由于直线AB过定点P(2，0)， ∴可设直线AB的方程为x=my+2， A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得y2-2my-4=0. 则Δ=(2m)2-4×(-4)=4m2+16>0， ∴y1+y2=2m，y1y2=-4， ∴|y1-y2|===. ∴S△AOB=|y1|·|OP|+|y2|·|OP| =·|OP|·|y1-y2|=|y1-y2|=≥4(当且仅当m=0时取“=”). ∴当m=0时，△AOB面积的最小值为4. 11.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则双曲线C的焦距的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 答案　B 解析　∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)， ∴双曲线的渐近线方程是y=±x， ∵直线x=a与双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点， 不妨设D在第一象限，E在第四象限， 联立解得故D(a，b)， 联立解得故E(a，-b)， ∴|ED|=2b，∴S△ODE=a×2b=ab=8. ∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)， ∴其焦距为2c=2≥2=2=8， 当且仅当a=b=2时取等号， ∴双曲线C的焦距的最小值为8. 12.已知P为双曲线C：x2-=1右支上的一个动点，若点P到直线y=2x+5的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，1] B.(-∞，2] C.(-∞，] D.(-∞，5] 答案　C 解析　双曲线C的渐近线方程为y=±2x， 直线y=2x+5与其中一条渐近线y=2x平行， 二者之间的距离d==， 由题意知点P到直线y=2x+5的距离大于， 所以m≤，即实数m的取值范围为(-∞，]. 13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E：+=1的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MN过定点(　　) A.(4，0) B.(-4，0) C.(-1，0) D.(1，0) 答案　A 解析　由椭圆E的方程知，其焦点坐标为(±1，0)，又抛物线C的焦点F(p>0)，∴=1，解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x，由题意知，直线MN斜率不为0，可设直线MN的方程为x=my+t，由得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t>0，即m2+t>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4t，∴x1x2==t2，∵OM⊥ON，∴·=x1x2+y1y2=t2-4t=0，解得t=0或t=4，又M，N与坐标原点O不重合，∴t=4，∴直线MN的方程为x=my+4，∴当y=0时，x=4，∴直线MN恒过定点(4，0). 14.已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，则|FA|·|FB|的最小值为(　　) A.36 B.24 C.18 D.9 答案　A 解析　由题意F(3，0)，设直线l的方程为x=my+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消x得y2-12my-36=0， Δ=144m2+144>0恒成立， 则y1+y2=12m，y1y2=-36， |FA|·|FB|=(x1+3)(x2+3) =(my1+6)(my2+6) =m2y1y2+6m(y1+y2)+36 =-36m2+72m2+36=36m2+36， 当m=0时，|FA|·|FB|取得最小值36. 15.曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法错误的是(　　) A.曲线C关于y=x对称 B.m+n的最大值为2 C.该椭圆的离心率为 D.n的最大值为2 答案　C 解析　由方程可以看出其关于y=x，y=-x对称，A正确； 由题意知m2+n2-mn=6，m2+n2≥，mn≤，m2+n2-mn=6≥，m+n≤2，B正确： 联立方程解得顶点坐标为和，所以椭圆的长轴长为2a=2=4⇒a=2；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为2b=2=4⇒b=2，所以c===2，所以该椭圆的离心率为e===，C错误； m2+n2-mn=6可看作关于m的一元二次方程，Δ=n2-4(n2-6)≥0，解得-2≤n≤2，D正确. 16.(13分)已知O为坐标原点，点在椭圆C：+=1(a>b>0)上，直线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为-. (1)求C的方程；(6分) (2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由.(7分) 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kAB==1，kOM===-， ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，则 两式相减得+=0， 整理得=·=-， ∴kAB·kOM=-， 即-=-，则a2=2b2， 又∵点在椭圆C：+=1上， 则+=1， 联立解得a2=4，b2=2， ∴椭圆C的方程为+=1. (2)不存在，理由如下： 假设存在P，Q两点关于l：y=x+1对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON. ∵PQ⊥l，则kAB·kPQ=-1，即kPQ=-1. 由(1)可得kON·kPQ=-， 则kON=，即直线ON：y=x， 联立方程解得 即N(-2，-1). ∵+=>1， 则N(-2，-1)在椭圆C外， ∴假设不成立，不存在P，Q两点关于l对称. 学科网（北京）股份有限公司 $