圆锥曲线综合问题讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

徐州三中高二上数学复习 第04讲：圆锥曲线的综合问题 【知识回顾】 知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 知识点二:圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 知识点三：抛物线的重要结论 1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【典题归纳】 题型一：椭圆中的弦长、 中点弦问题 1．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可; （2）利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）， ， 所以椭圆的标准方程为. （2）斜率为的直线过椭圆的右焦点 所以直线方程为：，联立椭圆的方程得： ，化简得： 设，则， 故. 2．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆的通径公式以及离心率求出椭圆的方程即可； （2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，利用三角形面积公式用表示出，由可求得，即可求直线的方程. 【详解】（1）由已知得，设过且垂直于轴的直线与椭圆交于点, 则点的横坐标为，将其代入得，解得， 即，所以， 因为椭圆的离心率，所以． 因为，所以．故椭圆的方程为． （2）由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设， 联立方程组消去并整理得， 其中， 所以，， 所以 ， 因为点到直线的距离，且是线段的中点， 所以点到直线的距离为， 所以． 由，解得或（舍去）， 所以，故直线的方程为， 即或．    【点睛】如果直线过轴上一点，则直线方程可以设为，当时直线与轴垂直，但是不包含与轴平行的情况，此种情况需要单独说明. 3．已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半． (1)求的方程； (2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度； (3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，的值，即求出，的值，可得椭圆的方程； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，可得的大小； （3）设，的坐标代入椭圆的方程，作差整理可得直线的斜率，代入点斜式方程求出直线的方程． 【详解】（1）由题意可得，可得，， 所以椭圆的的方程为：； （2）设，， 联立，整理可得，可得，， 所以；      （3）设，，由题意可得，， 将，的坐标代入可得：， 作差整理可得：， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即    题型二：椭圆中定点、定值、定直线问题 4．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可； （2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，求出点S、T的坐标，写出直线 方程即可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上， 所以设椭圆方程为 ，焦距为， 所以周长为 ，即 ， ， 因为左焦点，所以，， 所以 ， 所以椭圆E的标准方程为 . （2） 由题意知， , ，直线斜率均存在， 所以直线，与椭圆方程联立得 ， 对恒成立， 则 ，即 ，则 ， 同理 ， ， 所以 ， 所以直线 方程为： ， 所以直线过定点，定点坐标为 . 5．已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值1 【分析】（1）根据点D取上、下顶点时，的面积取到最大值为2，再结合离心率求出，即可得解； （2）设，，，由点在椭圆上可求出，进而可求得，再分直线EF的斜率是否存在，当直线EF的斜率存在，设，联立方程，利用韦达定理求出两根之和和两根之积，再结合的值求出的关系，进而可得出结论. 【详解】（1）当l的斜率为0时，点D取上、下顶点时， 的面积取到最大值为2，即， 又，解得，， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设，，， 则①，②， 得，即， 当时，， 即，所以， 若直线EF的斜率不存在，则E，F两点关于x轴对称， 不妨设，，， 与椭圆方程联立得或， ， 若直线EF的斜率存在，设， 与联立得， 设，， ，，， 由， 得， 将，代入整理得， 由，得， 所以 ， 点O到直线EF的距离， 则， 当时，直线AD的斜率不存在，由椭圆的对称性可知直线BD的斜率为0， 此时点E为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的左、右顶点，， 同理，当时，， 综上，的面积为定值1. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 6．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)求线段长的最小值； (3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆定义可求得的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）计算得出，设直线的方程为，直线的方程为，其中，计算出点、的纵坐标，利用基本不等式可求得的最小值； （3）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，将这两条直线的方程联立，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：双曲线的焦距为， 所以，椭圆的焦点分别为、， 由椭圆定义可得，，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）解：设点，则且，易知点、， ， 设直线的方程为，直线的方程为，其中， 设点、，则，可得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故线段长的最小值为. （3）解：易知点，当直线与轴重合时，、为椭圆长轴的顶点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程可得， 解得， 因此，点在直线上. 题型三：双曲线中的弦长、 中点弦问题 7．已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案； （2）联立直线PQ方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由题，不妨设点，，的方程为． 因为在上，则，即有， 则分别与，连线的斜率之积为， 所以的方程为．    （2）由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立方程组消去，得， 令，，则， 因为直线分别交的左、右支于M，N两点， 则，， 则，的面积， 则， 解得或（舍去），则，所以的方程为．    【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值. 8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点,计算，即可得出答案． （2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案． 【详解】（1）设双曲线的方程为, 代入,,得,解得, 所以双曲线的方程为． （2）由,得, 设,,,, 则中点坐标为,, 由韦达定理可得, 所以, 所以中点坐标为, 因为点在圆上， 所以,解得． 题型四：双曲线中定点、定值、定直线问题 9．设双曲线的焦距为6，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式运算求解，即可得结果； （2）根据题意求直线的交点结合韦达定理分析证明. 【详解】（1）因为焦距为6，所以， 将点代入的方程，得， 又因为，解得， 所以双曲线方程为. （2）如图所示：    是直线上一点 的横坐标为， 设直线的方程为，则， 联立方程组得， 设， 则，且， 则， 直线的方程为，① 又直线的方程为，②， 由①②消去得， 在中， 两式相除，得，则， 则， ， 故为线段的中点. 10．椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4 (1)求椭圆的标准方程； (2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】(1)根据双曲线的方程确定的坐标，从而得出椭圆的焦距，再根据椭圆的定义可得椭圆的长轴为4，进而确定椭圆的方程. (2)设点M的坐标，用点M,三点的坐标表示，再根据点M满足双曲线的方程，求解出的值. 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标分别为 从而椭圆的焦距，得 又椭圆上一点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以椭圆的长轴，即 从而得 故椭圆的方程为： （2）设点，则 因为点M在双曲线上，所以，代入上式得 故的乘积为定值1. 11．已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程： (2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】(1)：或： (2)证明见解析，定直线 【分析】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式； （2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线，的方程，代入列出等式，代入韦达定理求解出即可, 【详解】（1）由题知，得， 或，得或， 所以双曲线的方程为：或：． （2）由（1）知，当时，：， 设，， 联立直线与双曲线得：， ，方程的两根为，，则，． ，，则：，：， 因为直线，相交于点， 故，， 消去，整理得：， ， 因此， 故点在定直线上． . 题型五：抛物线中的弦长、 中点弦问题 12．已知抛物线过点（）． (1)求C的方程； (2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程； （2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案. 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴． 又∵，∴， 上故的方程为． （2）设，， 由（1）知，抛物线的焦点为， ∵直线的斜率为，且过点， ∴直线的方程为，     联立得，则．     ∴， 故线段的长度为． 13．已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程； （2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程． 【详解】（1）由题可得，代入抛物线方程得，， ∴， ∴的面积， ∴, ∴所求抛物线的标准方程为； （2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：， 设，由，在抛物线上得：, 两式相减化简得：， 又∵，，代入上式解得：. 故所求直线的方程为：. 即. 题型六：抛物线中定点、定值、定直线问题 14．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解. （2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得， 故抛物线的方程为. （2）   设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. 15．已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.    (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值. 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为，M的坐标为或. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，. 由，得；由，得. 所以，故是定值1. 16．已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 题型七：圆锥曲线的最值问题 17．已知椭圆：经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点及离心率，直接计算即可； （2）设直线的方程为，根据求出直线过定点，根据三角形面积公式及韦达定理表示出，求出最大值即可． 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知， 设直线的方程为， 由得，， 因为，所以，即， 所以，即， 设，， 所以，， 因为， 所以，即， 所以， 所以，即，解得或（舍）， 所以直线的方程为，即直线l恒过定点， 令，， 则， 当时，最大值为． 18．椭圆上顶点为B，左焦点为F，中心为O.已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时，有，且. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设T的横坐标为t，当时，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由代入可求出，再由，用两点间的距离公式可求出，再由，即可得出答案. （2）设直线BT的方程为，与联立，由韦达定理可求出，设直线PT的方程为，令，可求出，表示出，即可求出，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）设，因为当T与F重合时，有，且， 所以， ， 由，知 所以，即， ， 由知，所以，即， 则，故椭圆C的标准方程为.    （2）设直线BT的方程为，与联立，可得 且，有，即， 设直线PT的方程为，令，可得， 由， 由题意知：，则，， 而， 当，即时取等，且， 故面积的最大值为.    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$