第3章 习题课 轨迹问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学轨迹方程求法，系统梳理定义法（利用椭圆定义）、代入法（相关点坐标代换）、直接法（几何条件列方程）核心方法。从回顾圆和椭圆定义切入，通过问题引导结合例题解析，辅以跟踪训练构建学习支架。 资料以生活轨迹情境（太阳、流星轨迹）培养数学眼光，通过动圆内切转化椭圆定义等例题推理发展数学思维，规范解题步骤提升数学语言。课中辅助教师教学，课后练习助学生查漏补缺，强化知识应用。

习题课　轨迹问题 学习目标　1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程(重点). 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：太阳一天中移动的轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹. 一、定义法求轨迹方程 问题　回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？ 提示　圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数. 例1　一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2+4x+y2-32=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解　将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62，可知该圆的圆心坐标为B(-2，0)，半径为6，如图. 设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与定圆内切，设切点为C， ∴定圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即|BC|-|CM|=|BM|， 而|BC|=6， ∴|BM|+|CM|=6， 又|CM|=|AM|， ∴|BM|+|AM|=6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆. ∴a=3，c=2， b==， ∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1. 反思感悟　定义法求椭圆动点的轨迹方程的关键 (1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a. 跟踪训练1　已知点A，B是圆F：+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程. 解　如图所示，由题意知， |PA|=|PB|，|PF|+|PB|=2， 所以|PA|+|PF|=2>1=|AF|， 所以动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 所以a=1，c=，则b2=， 所以动点P的轨迹方程为x2+=1. 二、代入法(相关点法)求轨迹方程 例2　(课本例2)　如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.) 解　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，由点M是线段PD的中点，得x=x0，y=. 因为点P(x0，y0)在圆x2+y2=4上， 所以+=4.① 把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4， 即+y2=1. 所以点M的轨迹是椭圆. 例2　设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=.求点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)， =(x-x0，y)，=(0，y0)， 由=得x0=x，y0=y. 因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以+=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. 反思感悟　代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点为P(x，y)，已知曲线上动点Q(x0，y0). (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程. (4)化简：化简方程得所求方程. 跟踪训练2　已知F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　) A.+=1(y≠0) B.+y2=1(y≠0) C.+3y2=1(y≠0) D.x2+y2=1(y≠0) 答案　C 解析　依题意知F1(-1，0)，F2(1，0)， 设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)， 则由三角形重心坐标公式可得 即 代入+=1， 得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0). 三、直接法求轨迹方程 例3　(课本例3)　如图，设A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-求点M的轨迹方程. 解　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(-5，0)， 所以直线AM的斜率kAM=(x≠-5). 同理，直线BM的斜率kBM=(x≠5). 由已知，有×=-(x≠±5)， 化简，得点M的轨迹方程为 +=1(x≠±5). 点M的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的椭圆. 例3　(课本例6)　动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比是常数求动点M的轨迹. 解　如图，设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合P=. 由此得=. 将上式两边平方，并化简， 得9x2+25y2=225，即+=1. 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 例3　在平面直角坐标系Oxy中，已知点M(4，0)，N(1，0)，动点P满足·=6||.求点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，则=(-3，0)，=(x-4，y)，=(x-1，y)， ∵·=6||， ∴-3(x-4)=6. ∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2， 即3x2+4y2=12， ∴点P的轨迹方程为+=1. 反思感悟　设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 跟踪训练3　已知△ABC的顶点A(-4，0)，B(4，0)，且tan Atan B=.记点C的轨迹为曲线E，则E的方程为　　　　.  答案　+=1(x≠±4) 解析　设C(x，y)，则tan Atan B=·=(x≠±4)，整理得+=1， 故E的方程为+=1(x≠±4). 1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)代入法(相关点法)求轨迹方程. (3)直接法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点. 1.在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，|AB|+|AC|=6，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠±2) C.+=1(x≠±3) D.+=1(x≠±2) 答案　A 解析　在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，|AB|+|AC|=6>|BC|=4， 则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a=3，c=2，b=， 所以顶点A的轨迹方程是+=1(x≠±3). 2.已知两定点A(2，0)，B(-2，0)，动点P(x，y)满足·=，则点P的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　C 解析　由题意知，=(2-x，-y)， =(-2-x，-y)，∴·=(2-x，-y)·(-2-x，-y)=x2+y2-4=，即+=1. 3.已知A(2，1)，B(2，-1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足=m+n，其中m，n∈R，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是(　　) A.x2+=1 B.+y2=1 C.x2-=1 D.-y2=1 答案　B 解析　由题意得(x，y)=(2m+2n，m-n)，∴x=2m+2n，y=m-n，∴m=，n=， ∵m2+n2=，∴+=， 即动点P的轨迹方程是+y2=1. 4.一张圆形纸片的半径为8，圆心O到定点A的距离为6，在圆周上任取一点P，将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直线l，直线l与直线OP的交点为Q.将此操作多次重复，则点Q的轨迹是(　　) A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆 答案　D 解析　由题意可得|QP|=|QA|，因为圆O的半径为8，且|OA|=6，所以|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=8>|AO|=6，所以点Q的轨迹为椭圆. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分；多选题每小题6分，共6分 1.平面内一点M到两定点F1(0，-3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　平面内一点M到两定点F1(0，-3)，F2(0，3)的距离之和为10>6， 所以点M的轨迹满足椭圆的定义， 且a=5，c=3，则b=4， 椭圆的焦点在y轴上， 所以点M的轨迹方程为+=1. 2.已知△ABC的周长为12，B(0，-2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A.+=1(x≠0) B.+=1(y≠0) C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0) 答案　A 解析　∵△ABC的周长为12， 顶点B(0，-2)，C(0，2)， ∴|BC|=4，|AB|+|AC|=12-4=8， ∴点A到两个定点B，C的距离之和等于定值， 又8>4，∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不包含y轴上的两个点)， 且a=4，c=2， ∴b2=12，∴点A的轨迹方程为+=1(x≠0). 3.已知P是椭圆+=1上的动点，过P作y轴的垂线，垂足为A，若动点B满足=3，则动点B的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　B 解析　设P(x1，y1)，B(x，y)，则A(0，y1)， =(x-x1，y-y1)，=(-x1，0)， 因为=3， 所以(x-x1，y-y1)=3(-x1，0)， 可得 又点P在椭圆+=1上， 则+=1，代入得+=1. 4.已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　C 解析　依题意有|AP|=|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|=|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2， ∴点P的轨迹是以F1(-1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆. ∵2a=2，2c=2，∴a=，b=， 故所求点P的轨迹方程是+=1. 5.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　D 解析　设A(x1，0)，B(0，y2)，M(x，y)， 则x+x1=0，y+0=2y2， 即x1=-x，y2=， 由题意可得+=4， 即(-x)2+=4，即+=1. 6.动圆M与圆M1：(x+1)2+y2=1外切，与圆M2：(x-1)2+y2=25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 答案　B 解析　设动圆M的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆M与圆M1：(x+1)2+y2=1外切， 与圆M2：(x-1)2+y2=25内切， ∴|MM1|+|MM2|=1+R+5-R=6， ∵|MM1|+|MM2|>|M1M2|=2， ∴该动圆圆心M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 且2a=6，c=1，∴a=3，b2=8， ∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1. 7.(5分)在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(-2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-，则动点P的轨迹方程为　　　　.  答案　+=1(x≠±2) 解析　设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)， 依题意，有·=-， 化简并整理，得+=1(x≠±2). ∴动点P的轨迹方程是+=1(x≠±2). 8.(5分)已知点P为椭圆+=1上的任意一点，O为坐标原点，M满足=，则点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  答案　+=1 解析　设点M(x，y)，由=得点P(2x，2y)，而点P为椭圆+=1上的任意一点，于是得+=1，整理得+=1，所以点M的轨迹方程是+=1. 9.(10分)如图所示，Rt△ABC的顶点A(-2，0)，直角顶点B(0，-2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程；(3分) (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3分) (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.(4分) 解　(1)∵kAB=-，AB⊥BC，∴kCB=. ∴边BC所在直线的方程为y=x-2， 即x-y-4=0. (2)∵边BC所在直线的方程为x-y-4=0， 令y=0，得C(4，0)，∴圆心M(1，0). 又∵|AM|=3，∴圆M的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1，0)，M(1，0)，且圆N过点P(-1，0)， ∴|PN|是该圆的半径. 又∵动圆N与圆M内切， ∴|MN|=3-|PN|，即|MN|+|PN|=3>2. ∴点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且2a=3. ∴a=，c=1，b===. ∴圆心N的轨迹方程为x2+y2=1. 10.(12分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，且经过点A(2，3). (1)求椭圆C的标准方程；(6分) (2)若P是椭圆C上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.(6分) 解　(1)依题意，设椭圆C的左焦点为F'(-2，0)， 从而有 解得 又a2=b2+c2，∴b2=12， 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， ∵Q为PF的中点， ∴⇒ 又P是+=1上的动点， ∴+=1， 即Q点的轨迹方程是+=1. 11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　D 解析　圆(x+1)2+y2=25的圆心为C(-1，0)，半径为5，设点M(x，y)， ∵AQ的垂直平分线交CQ于点M， ∴|MA|=|MQ|， ∴|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=|QC|=5>|AC|=2， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=， 故M的轨迹方程为+=1. 12.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，=+，则点M的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　A 解析　设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由=+， 可得(x，y)=(x0，0)+(0，y0)， 则解得 因为|AB|=5，所以+=25， 即+=1. 13.已知在△ABC中，点A(-2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA=2，则点C的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1(x≠±2) C.-=1 D.+=1(x≠±2) 答案　B 解析　设C(x，y)，则kCA=，kCB=， 由tan∠CAB·tan∠CBA=2， 得×=2，即+=1， 当x=±2时，C与A或B重合，不符合题意. 所以点C的轨迹方程为+=1(x≠±2). 14.已知A(-2，0)，B(2，0)是x轴上两定点，C(0，m)，D是y轴上两动点，则直线AC与BD的交点P的轨迹方程为(　　) A.-y2=1(x≠±2) B.+y2=1(x≠±2) C.x2-=1(x≠±2) D.x2+=1(x≠±2) 答案　B 解析　设点P(x，y)，由题意可知m≠0，x≠±2， kAP=kAC，即=， ① kBP=kBD，即==-， ② ①×②得=-(x≠±2)， 整理可得x2+4y2=4(x≠±2)， 即+y2=1(x≠±2)， 所以点P的轨迹方程为+y2=1(x≠±2). 15.(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 答案　AB 解析　如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r. 若点A与点B不重合，由于两圆相内切， 则|AC|=R-r，由于r=|BC|， ∴|AC|=R-|BC|，即|CA|+|CB|=R， ∴动点C到两个定点A，B的距离之和为常数R. ∵B为圆内的定点，∴|AB|<R， ∴动点C的轨迹为椭圆. 若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以C为圆心，为半径且过点A的圆. 16.(12分)已知圆F1：(x+3)2+y2=1，圆F2经过三点A(3，9)，B(12，0)，D(-6，0). (1)求圆F2的方程，并判断两圆位置关系；(5分) (2)若动圆P与圆F1、圆F2均相切，求动圆圆心P的轨迹C的方程.(7分) 解　(1)设圆F2的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 因为圆F2经过三点A(3，9)，B(12，0)，D(-6，0)， 可得 解得 所以所求圆F2的方程为x2+y2-6x-72=0， 即(x-3)2+y2=81. 圆F1的圆心为F1(-3，0)，半径r=1，圆F2的圆心为F2(3，0)，半径R=9， 所以圆心距|F1F2|=6<8=R-r，故两圆内含. (2)由(1)知圆F1与圆F2内含， 若动圆P与圆F1外切，与圆F2内切， 设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为r'， 由题意有|PF2|=9-r'，|PF1|=1+r'， 则|PF1|+|PF2|=10>6=|F1F2|， 则动圆圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，且满足a=5，c=3，则b==4， 故轨迹C的方程为+=1； 若动圆P与两圆均内切，则|PF2|=9-r'，|PF1|=r'-1， 故|PF1|+|PF2|=8>6=|F1F2|， 则动圆圆心P的轨迹为F1，F2为焦点的椭圆，且满足a=4，c=3，则b==， 故轨迹C的方程为+=1， 综上，轨迹C的方程为+=1或+=1. 学科网（北京）股份有限公司 $