第3章 培优课 椭圆和双曲线中的常用2级结论（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦椭圆和双曲线常用二级结论，系统梳理焦点三角形面积公式、e²-1相关斜率乘积结论及切线方程，构建从推导到应用的递进学习支架，助力学生掌握结论本质与解题技巧。 资料以推导过程为核心，通过例题、跟踪训练及课时对点练，培养学生数学思维的严谨性与推理能力，提升用数学眼光发现问题、用数学语言规范表达的能力。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

培优课　椭圆和双曲线中的常用二级结论 椭圆和双曲线中有大量二级结论，在选择题、填空题中使用二级结论，既可以提升准确率，又可以节约解答时间，本节课介绍几个常用的二级结论. 一、焦点三角形中的面积公式 1.设P是椭圆+=1(a>b>0)上异于左、右顶点的任意一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2=θ，则=b2tan . 证明：设|PF1|=m，|PF2|=n， 则 解得mn=. 所以=mnsin θ=b2·=b2·=b2tan. 2.设P是双曲线-=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且∠F1PF2=θ，则=.(证明略) 例1　已知F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为　　　　　　.  答案　8 解析　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，则=2=2×4tan=8. 反思感悟　椭圆和双曲线中的焦点三角形面积公式不一样，不要记错，要掌握推导过程. 跟踪训练1　设F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=120°，则点P到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设点P到x轴的距离为h，由双曲线-=1得a=，b=2，c=，|F1F2|=2=|F1F2|×h=，即=×2×h=，故h=. 二、e2-1的应用 1.若直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A，B两点，M为AB中点，且直线AB与OM的斜率都存在，则kAB·kOM=-=e2-1. 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则x0=，y0=， 由于A，B是椭圆+=1上的点， 则 所以+=0， 因为直线AB和OM的斜率都存在， 所以x1+x2≠0，x1-x2≠0， 所以+··=0， 即kAB·kOM=-=e2-1. 2.若A，B是椭圆+=1(a>b>0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于A，B的一点，且直线PA与PB的斜率都存在，则kPA·kPB=-=e2-1. 证明：设A(x1，y1)，P(x2，y2)， 则B(-x1，-y1). 因为A，P都是椭圆+=1上的点， 所以 所以+=0， 由于P是异于A，B的一点，且直线PA与PB的斜率都存在， 则x1+x2≠0，x1-x2≠0， 所以+··=0， 即kPA·kPB=-=e2-1. 3.若直线l与双曲线-=1(a>0，b>0)交于A，B两点，M为AB中点，且直线AB与OM的斜率都存在，则kAB·kOM==e2-1. 4.若A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于A，B的一点，且直线PA与PB的斜率都存在，则kPA·kPB==e2-1. 以上公式都可以用点差法来证明. 例2　(1)椭圆C：+=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知，kPB=-kAQ， 故kAP·kAQ=kAP·(-kPB)=， 又kAP·kPB=e2-1，故1-e2=， 所以椭圆C的离心率e=. (2)已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)，直线l：9x+y-13=0经过点P，且与双曲线E交于A，B两点，若P恰好是弦AB的中点，则双曲线E的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x 答案　B 解析　因为P是弦AB的中点，则kOP·kAB=，而kOP=-，kAB=-9，故=-×(-9)=3，=，所以双曲线E的渐近线方程为y=±x. 反思感悟　当椭圆和双曲线的焦点在y轴上时，两组直线的斜率之积分别变为-和，此时不再等于e2-1，而是等于. 跟踪训练2　已知椭圆C：+=1(b2<6)上存在两点M，N关于直线x-y-1=0对称，且线段MN中点的纵坐标为-，则b2的值是(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　设MN的中点为D，则点D在直线x-y-1=0上，所以x0+-1=0， 解得x0=-，则kOD==4， 因为M，N关于直线x-y-1=0对称， 所以kMN=-1， 所以kMN·kOD=-1×4=-4， 又kMN·kOD=-，则b2=. 三、切线方程 1.若P(x0，y0)是椭圆+=1(a>b>0)上一点，则椭圆在点P处的切线方程为+=1. 证明：当过椭圆上一点P(x0，y0)的切线的斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，将其代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，化简并整理得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 因为切线与椭圆相切， 所以Δ=(2a2km)2-4(a2k2+b2)(a2m2-a2b2)=0， 化简得a2k2-m2+b2=0， 所以x0==. 将x0=代入y0=kx0+m，得y0=， 于是k=-=-·=-. 从而切线方程为y=-x+， 化简并整理，得+=1； 当过椭圆上一点P(x0，y0)的切线的斜率不存在时，切线方程为x=±a，满足上式. 综上，过椭圆+=1上一点P(x0，y0)的切线方程为+=1. 2.若P(x0，y0)是双曲线-=1(a>0，b>0)上一点，则双曲线在点P处的切线方程为-=1.(证明略) 例3　过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l.则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x+y-2=0 B.x-y-3=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 答案　A 解析　过椭圆+=1上的点A(3，-1)作椭圆的切线l的方程为+=1，即x-y-4=0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为-1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y+1=-(x-3)，即x+y-2=0. 反思感悟　若P(x0，y0)是椭圆+=1(a>b>0)外一点，过点P作椭圆的切线，切点为A和B，则直线AB的方程为+=1，双曲线中也有类似结论. 跟踪训练3　过点P(3，3)作双曲线C：x2-y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为　　　　　　　.  答案　3x-3y-1=0 解析　由题意得，直线AB的方程为3x-3y=1，即3x-3y-1=0. 课时对点练 [分值：73分] 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知双曲线x2-y2=2，点F1，F2分别为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为(　　) A.2 B.2 C. D.2 答案　D 解析　双曲线焦点三角形的面积===2. 2.已知P是椭圆+=1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若=，则△F1PF2的面积为(　　) A.3 B.2 C. D. 答案　A 解析　设∠F1PF2=θ， 则cos θ==， ∴θ=60°， ∴=b2tan=9tan 30°=3. 3.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　设∠F1PF2=θ，由题意知θ=， ==4，则b2=4，又e==， 结合c2=a2+b2，得a=1. 4.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　D 解析　设AB的中点为P，则P(1，-1)，则由kAB·kOP=-，即-=kPF·kOP=×=-，即a2=2b2，结合a2=b2+c2及c=3，得a2=18，b2=9，故椭圆E的方程为+=1. 5.设直线y=kx与双曲线C：-=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1·k2等于(　　) A.3 B.1 C.2 D. 答案　B 解析　由题意可知点A，B关于原点对称，则k1·k2=e2-1，又由e=，则k1·k2=1. 6.如图，A，B分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知kAQ·kBQ=e2-1， 又 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4(e2-1)=-1， 故e=. 7.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线l：x+2y-4=0与椭圆C：+y2=1相切于点P，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，由光学性质可知∠F1PA=∠F2PB(如图)，则∠F1PF2的平分线所在直线的方程为(　　) A.4x-2y-3=0 B.2x-2y-=0 C.4x-2y+3=0 D.2x+2y-3=0 答案　A 解析　设点P的坐标为(x0，y0)， 则直线l的方程为+y0y=1， 又因为直线l的方程为x+2y-4=0， 则解得 由于∠F1PF2的平分线与直线l垂直，则所求的直线方程为y-=2(x-1)， 即4x-2y-3=0. 8.已知双曲线C：x2-=1(b>0)，在双曲线C上任意一点P(xp，yp)(xp>2，yp>0)处作双曲线C的切线，分别交C在第一、四象限的渐近线于A，B两点.当S△OPA=4时，该双曲线的离心率为(　　) A. B.8 C.3 D. 答案　A 解析　设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D， 根据题意，点P在双曲线第一象限的图象上，在点P(xp，yp)处的切线方程为xpx-=1，且-=1， 令y=0，得x=，所以点D， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，渐近线方程为y=±bx， 联立解得 所以点A， 同理可得B， 又=xp， =yp， 所以点P是线段AB的中点， 所以S△OAB=2S△OPA=8， 所以×|OD|×|y1-y2|=8， 即×=8，解得b=8. 又a2=1，所以c2=1+64=65，即c=， 所以e==. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知F1，F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且 ∠F1PF2=θ.若<θ<，则P点的纵坐标可以是(　　) A.- B.- C. D. 答案　BC 解析　由于<θ<， 则=tan∈， 设点P的纵坐标为yP，|F1F2|=2， 则=×2|yP|=|yP|∈， 即|yP|∈，故B，C正确. 10.若直线l与单位圆(圆心在原点)和双曲线-=1均相切，则直线l的方程可以是(　　) A.x+y+2=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y+2=0 答案　AB 解析　设(x1，y1)，(x2，y2)分别为圆和双曲线上的切点，则直线l的方程为x1x+y1y=1， 也可以写为-=1，故 因为-=1，所以4-8=1， 又+=1，解得 则或 或或 故直线l的方程可以是x+y-2=0或x-y-2=0或x+y+2=0或x-y+2=0， 故A，B正确；C，D错误. 11.已知双曲线E过点(-2，3)，且与双曲线-=1共渐近线，直线l与双曲线E交于A，B两点，分别过点A，B且与双曲线E相切的两条直线交于点P，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线E的标准方程是-=1 B.若AB的中点为(1，4)，则直线l的方程为9x-16y+55=0 C.若点A的坐标为(x1，y1)，则直线AP的方程为9x1x-4y1y+36=0 D.若点P在直线3x-4y+6=0上运动，则直线l恒过点(3，6) 答案　ABC 解析　因为双曲线E与双曲线-=1共渐近线， 所以可设双曲线E的方程为-=λ， 又双曲线E过点(-2，3)， 所以-=λ，即λ=-1， 所以双曲线E的标准方程是-=1，故A正确； 设AB的中点为D，则kABkOD=4kAB=， 即kAB=， 故直线l的方程为y-4=(x-1)，即9x-16y+55=0，经检验符合题意，故B正确； 若点A的坐标为(x1，y1)，则直线AP的方程为-=1，即9x1x-4y1y+36=0，故C正确； 由点P在直线3x-4y+6=0上运动，可设P， 因此直线l的方程为9ax-(3a+6)y+36=0， 即(9x-3y)a+(36-6y)=0， 令解得 所以直线l恒过点(2，6)，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.设椭圆C：+=1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　　　　　　.  答案　x+2y-4=0 解析　由于点P在椭圆+=1上，故切线方程为+=1，即x+2y-4=0. 13.设F1，F2为双曲线-=1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的内切圆的半径为　　　　　　　.  答案　- 解析　设|PF1|=m，|PF2|=n， 则=mn·sin 60°=mn， 又因为==3， 所以mn=3，即mn=12. 又|m-n|=2， 故m+n===6， 所以△F1PF2的周长为m+n+|F1F2|=6+6， 设△F1PF2内切圆的半径为r， 则(6+6)r=3，所以r=-. 14.点F1，F2分别为椭圆Γ：+y2=1的左、右焦点，直线l与椭圆Γ相切，且F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为点M，N， 则|F1M|·|F2N|=　　　　　　.  答案　1 解析　设切点为(x0，y0)，-≤x0≤， 则直线l的方程为+y0y=1， 即x0x+2y0y-2=0， 由题意知F1(-1，0)，F2(1，0)， 故|F1M|·|F2N|=·=， 又因为+=1，且-≤x0≤， 所以|F1M|·|F2N|==1. 学科网（北京）股份有限公司 $