第3章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆性质的研究方法，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何特征，结合焦点在x轴和y轴的标准方程对比，构建从定义到性质应用的学习支架。 资料以问题引导探究，用表格清晰呈现不同焦点位置的性质差异，培养学生用数学眼光观察规律的能力。例题融入实际情境（如冷却塔）和分层训练，助力学生用数学思维分析问题，提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习目标　1.掌握双曲线的简单几何性质(重点).2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程(难点). 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质. 一、双曲线的简单几何性质 问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线-=1(a>0，b>0)的几何性质. 提示　1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程-=1可得=1+≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R. 所以x≤-a，或x≥a；y∈R. 2.对称性 双曲线-=1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线-=1(a>0，b>0)与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 顶点是A1(-a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 方程为x2-y2=m(m≠0). 4.渐近线 双曲线-=1(a>0，b>0)在第一象限内的方程为y=(x>0)， 它与y=x的位置关系：在y=x的下方. 它与y=x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图所示. (1)双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e=. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到===，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≤-a或x≥a；y∈R x∈R；y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=，e∈(1，+∞)，其中c= a，b，c间的关系 c2=a2+b2(c>a>0，c>b>0) 注意点： (1)B1(0，-b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2-y2=m(m≠0). 例1　(课本例3)　求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解　把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程-=1. 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3； c===5， 焦点坐标是(0，-5)，(0，5)； 离心率e==；渐近线方程为y=±x. 例1　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解　将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1， 即-=1， 所以a=3，b=2，c=. 因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 实轴长2a=6，虚轴长2b=4， 离心率e==， 渐近线方程为y=±x=±x. 延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程. 解　把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a=， 虚半轴长b=，顶点坐标为(-，0)，(，0)， c=， 焦点坐标为(，0)，(-，0)， 离心率e===， 所以渐近线方程为y=±x， 即y=±x. 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练1　(多选)已知双曲线-=1，对于∀k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是(　　) A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 答案　AC 解析　∵双曲线-=1，∀k∈R且k≠0， ∴a2=2k2，b2=k2，c2=3k2， 焦距为2c=2|k|，离心率e===， 顶点坐标(±|k|，0)，渐近线方程为y=±x， 即y=±x. ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标. 二、由双曲线的简单几何性质求标准方程 例2　(课本例4)　双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图).它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m). 解　根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径CC'，BB'都平行于x轴，且|CC'|=13×2，|BB'|=25×2. 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y-55). 因为直径AA'是实轴，所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，所以 由方程②，得y=(负值舍去).代入方程①， 得-=1. 化简得19b2+275b-18 150=0.③ 解方程③，得b≈25(负值舍去). 因此所求双曲线的方程为-=1. 例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)； (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 解　(1)设所求双曲线方程为 -=1(a>0，b>0). ∵e=， ∴e2===1+=， ∴=. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y=±x. 当焦点在x轴上时， 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则=. ① ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则=. ③ ∵点A(2，-3)在双曲线上，∴-=1. ④ 联立③④，解得a2=8，b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)， ∵A(2，-3)在双曲线上， ∴-(-3)2=λ，即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等. 解　(1)设所求双曲线的标准方程为 -=1(a>0，b>0)， 由题意知2b=8， e==， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2， 得a2=9， 故双曲线的标准方程为-=1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=， 故所求双曲线的标准方程为-y2=1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去). 综上可知， 所求双曲线的标准方程为-y2=1. 三、求双曲线的离心率 例3　已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线-=1(a>0，b>0)， 可得其一条渐近线的方程为y=x， 即bx-ay=0， 又由圆C：x2+y2-10y+21=0， 可得圆心为C(0，5)， 半径r=2， 则圆心到渐近线的距离为d==，则=2， 可得e==. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e=得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解. 跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q=90°，求双曲线的离心率. 解　设F1(c，0)， 将x=c代入双曲线的方程得-=1， 那么y=±. 由|PF2|=|QF2|， ∠PF2Q=90°， 知|PF1|=|F1F2|， 所以=2c， 所以b2=2ac， 所以c2-2ac-a2=0， 所以-2×-1=0， 即e2-2e-1=0， 所以e=1+或e=1-(舍去)， 所以双曲线的离心率为1+. 1.知识清单： (1)双曲线的简单几何性质. (2)由双曲线的简单几何性质求标准方程. (3)求双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由已知得左焦点的坐标为(-5，0)， 右顶点的坐标为(3，0)， 所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2. (多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32，则(　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1， 可得a=4， b=2，c=6， 所以双曲线的实轴长为8， 虚轴长为4， 焦距为12， 离心率为. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 答案　A 解析　由直线3x-4y+12=0，令y=0，得x=-4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)， ∴c=4，a2=b2=c2=×16=8， 即双曲线方程为x2-y2=8. 4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为　　　　.  答案　y=±x 解析　∵=， ∴==， ∴=，∴=，∴=. 又∵双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x， ∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2+5=9，解得a=2，e==. 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　D 解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1. 3.若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案　B 解析　∵e=， ∴=，即=3， ∴b2=2a2，∴双曲线方程为-=1， ∴渐近线方程为y=±x. 4.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　C 解析　由双曲线的几何性质可得，双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x，又因为渐近线方程为3x±2y=0，即y=±x，故a=2. 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为-=1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y=±x，可得c=5，焦点在x轴上，所以=，因为c=5，所以b=4，a=3，所以C的方程为-=1，A正确；离心率为e=，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确； |PF|的最小值为c-a=2，D正确. 6.已知双曲线C：x2-2y2=λ(λ≠0)，则其离心率为(　　) A. B. C. D.或 答案　D 解析　当λ>0时，原方程化为-=1， 此时a2=λ，b2=，c2=a2+b2=， 由e2==，可得e=； 当λ<0时，原方程化为-=1， 此时a2=-，b2=-λ，c2=a2+b2=-， e2==3，可得e=. ∴其离心率为或. 7.(5分)已知双曲线C：-=1的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2的值为　　　　.  答案　 解析　由题意得，e==， 点M的横坐标为c， 将x=c代入双曲线C的方程， 得-=1，所以y=±， 又y>0，所以M， 所以tan∠MF1F2======. 8.(5分)若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　　.  答案　-=1 解析　椭圆4x2+y2=64可变形为+=1， a2=64，c2=64-16=48， ∴焦点为(0，4)，(0，-4)，离心率e=， 则双曲线的焦点在y轴上， c'=4，e'==， 从而a'=6，b'2=12， 故所求双曲线的方程为-=1. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(4分) (2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6.(6分) 解　(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6， 于是有b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)， 即-=1(λ≠0)，由题意得a=3. 当λ>0时，=9，λ=36， 双曲线方程为-=1； 当λ<0时，=9，λ=-81， 双曲线方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为 -=1或-=1. 10.(12分)设双曲线-=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解　直线l的方程为+=1， 即bx+ay-ab=0. 于是有=c， 所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4. 又b2=c2-a2，所以16a2(c2-a2)=3c4， 两边同时除以a4，得3e4-16e2+16=0， 解得e2=4或e2=. 又b>a，所以e2==1+>2，则e=2. 于是双曲线的离心率为2. 11.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　因为圆C：x2+y2+6x+5=0的圆心为C(-3，0)，半径r=2，所以c=3， 又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0， 由题意知=2， 整理得到a2=b2， 又a2+b2=9，所以b2=4，a2=5， 则双曲线的方程为-=1. 12.已知P为双曲线-x2=1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 答案　C 解析　设点P(x0，y0)，则有-=1， 所以-4=4. 易知双曲线-x2=1的渐近线方程为2x±y=0， 所以|PA|·|PB|=·==. 13.已知F1，F2分别为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，连接AF2并延长交E于点C，若|BF2|=|AC|，∠F1BF2=，则双曲线E的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案　A 解析　结合双曲线的对称性可知，∠F1AF2=， |AF1|=|AC|， 所以△ACF1为等边三角形，则|AF1|=|CF1|，AC⊥F1F2. 由双曲线的定义，得|AF1|-|AF2|=2a， 所以|AF1|=4a，|AF2|=2a， 则==tan =，则e==. 14.(5分)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知=，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　.  答案　y=±2x 解析　依题意，=，|PF2|-|PF1|=2a， 则|PF2|=4a，|PF1|=2a， 双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0， 则点F2(c，0)到渐近线的距离d==b， 则cos∠PF2F1=， 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2||PF2|cos∠PF2F1=|PF1|2， 得(2c)2+(4a)2-2·2c·4a·=(2a)2， 整理得c2+3a2-4ab=0， 即4a2-4ab+b2=0，解得b=2a， 所以双曲线的渐近线方程为y=±2x. 15.(5分)已知椭圆M：+=1(a>b>0)，双曲线N：-=1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　　.  答案　-1　2 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况. 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆M的左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图. 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆M的半焦距为2，2a=|PQ|+|PF|=2+2， a=+1，椭圆M的离心率为=-1. 双曲线N的一条渐近线斜率为=tan 60°=， e2==1+=4， 所以双曲线N的离心率为2. 16.(12分)已知F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解　因为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|， 所以==+4a+|PF2|≥8a，当且仅当=|PF2|， 即|PF2|=2a时取等号， 所以|PF1|=2a+|PF2|=4a， 因为|PF1|-|PF2|=2a<2c， |PF1|+|PF2|=6a≥2c⇒e=≤3， 所以e的取值范围为(1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $