第3章 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及应用，以手电筒聚光现象导入，类比椭圆、双曲线的研究方法，通过问题引导学生自主探究范围、对称性等性质，搭建知识学习支架。 其亮点在于结合数学眼光观察生活实例，通过表格对比不同标准方程性质培养数学语言表达，例题与跟踪训练注重数形结合发展数学思维。分层练习设计帮助学生巩固应用，教师可借助系统资源提升教学效率。

第1课时 抛物线的简单几何性质 第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< 1.掌握抛物线的几何性质(重点). 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(难点). 学习目标 一只很小的灯泡发出的光会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这主要应用了抛物线的几何性质. 导 语 一、抛物线的简单几何性质 二、抛物线的简单几何性质的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 抛物线的简单几何性质 一 提示　应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图形进行研究. 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 问题 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 轴 轴 轴 轴 x x y y 知识梳理 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦点坐标 F_______ F_________ F________ F__________ 准线方程 x=___ x=___ y=___ y=___ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) - - (1)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (3)所有抛物线的离心率均为1. 注 意 点 <<< 9 (课本例3)　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程. 例 1 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0). 因为点M在抛物线上，所以(-2)2=2p×2，解得p=2. 因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x. 解 10 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 例 1 11 椭圆的方程可化为+=1， 其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即=3，∴p=6， ∴抛物线的标准方程及其准线方程为y2=12x，x=-3或y2=-12x，x=3. 解 12 掌握抛物线的性质需注意把握三个要点 (1)开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于标准方程中一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 反 思 感 悟 13 边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过点A，B的抛物线方程是 A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 跟踪训练 1 √ 14 设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)， 则有=±a，解得a=±， 所以抛物线方程为y2=±x. 解析 15 二 抛物线的简单几何性质的应用 (1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　　.  例 2 4p 17 如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=2px1，=2px2. 又|OA|=|OB|， 所以+=+， 即-+2px1-2px2=0， 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0，x2>0，2p>0， 所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|， 解析 18 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx=30°， 所以y1=x1，与=2px1联立， 解得y1=2p. 所以|AB|=2y1=4p， 即这个三角形的边长为4p. 解析 19 (2)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO= 120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　.  4 20 由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x=-1. 如图，不妨设A(x0，y0)在x轴上方， 过点A作AH⊥x轴于点H， 在Rt△AFH中，|FH|=x0-1， 由∠AFO=120°得∠AFH=60°， 故y0=|AH|=(x0-1)， 所以点A的坐标为(x0，(x0-1))，将点A的坐标代入抛物线方程可得3-10x0+3=0， 解析 21 解得x0=3或x0=(舍)， 所以点A的坐标为(3，2)， 故S△AKF=×(3+1)×2=4. 解析 22 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 反 思 感 悟 23 (1)(多选)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·=0，则p的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 跟踪训练 2 √ √ 24 由题意可得，以MF为直径的圆过点A(0，2)， 设点M(x，y)，以MF为直径的圆为圆D，由抛物线定义知|MF|=x+=5，可得x=5-. 因为圆心D是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为=， 由已知可得圆的半径也为， 解析 25 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则点M纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程整理得p2-10p+16=0， 解得p=2或p=8. 解析 26 (2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|， 且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为　　　　. x= 27 如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，-y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB，∴kAF·kOB=-1， 即·=-1. ∴=x0， 又=2px0，∴x0=2p+=. ∴直线AB的方程为x=. 解析 28 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质. (2)抛物线的简单几何性质的应用. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.对抛物线y=4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 √ 1 2 3 4 由抛物线y=4x2， 得抛物线的标准方程为x2=y，2p=， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 解析 1 2 3 4 2.已知点P(6，y0)在抛物线y2=2px上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于 A.2 B.1 C.4 D.8 √ 由抛物线定义可知，点P到焦点F的距离即为点P到抛物线准线x=-的距离， 即6+=8，解得p=4，又焦点F到抛物线准线的距离为p，所以所求距离为4. 解析 1 2 3 4 3.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 A. B. C. D. √ 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|=|PO|，又F，所以x0==，所以y0=±. 解析 1 2 3 4 4.已知抛物线y2=2px(p>0)，直线x=m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1+y2=　　　.  因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称，x=m与x轴垂直，故y1=-y2， 即y1+y2=0. 解析 0 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B A AB B - 6 题号 11 12 13 14 　15 答案 B B D 6 　C 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|=3，所以y0+=3， 因为|AM|= +=17， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =8=2py0得， 8=2p 解得p=2或p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 则其准线方程为x=-. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|+|BF|=8， ∴x1++x2+=8， 即x1+x2=8-p. ∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，∴|QA|=|QB|， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = =2px1=2px2， ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|=|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|=|OF|=3，所以M(3，0). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故设A(3，m)， 代入y2=8x得m2=24， 所以m=2m=-2 所以A(3，2B(3，-2 所以|OA|=|OB|= 所以△OAB的周长为2+4. 基础巩固 1.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. √ 由题意知，线段AB所在的直线方程为x=1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1-=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在同一坐标系中，方程+=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由a>b>0，则方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，方程ax+by2=0可化为y2=-x，由于-<0，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线. 解析 3.已知点(x，y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.0 √ 因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0， 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2， 所以当x=0时，z最小，最小值为3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1， ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2， 则P(3，±2)， ∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4， ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)点M(1，1)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为2，则a的值可 以为 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-， 因为点M(1，1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2， 所以=2，解得a=或a=-. 解析 6.已知抛物线C：y2=2px过点A(1，2)，F为抛物线C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则 A.C的准线方程为x=-2 B.△AFO的面积为1 C.不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2 D.存在点P，使得△POF为等边三角形 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意抛物线C：y2=2px过点A(1，2)，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，所以准线方程为x=-1，A错误； 可以计算S△AFO=×1×2=1，B正确； 解析 当P的坐标为(1，2)时，点P到C的焦点的距离为2，C错误； 若△POF为等边三角形，则点P的横坐标为，当x=时，纵坐标为±，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，故使△POF为等边三角形的点P不存在，D错误. 7.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点 为F，则直线AF的斜率为　　　.  ∵点A(-2，3)在抛物线C的准线上， ∴=2，∴p=4.∴抛物线的方程为y2=8x， 则焦点F的坐标为(2，0).又A(-2，3)， 根据斜率公式得kAF==-. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 8.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|=　　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，|OF|=2， ∵M为FN的中点， ∴|MM'|=1， ∴M到准线的距离d=|MM'|+=3，∴|MF|=3，∴|FN|=6. 解析 9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|=3，所以y0+=3， 因为|AM|=+=17， 所以=8，代入方程=2py0得， 8=2p，解得p=2或p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 则其准线方程为x=-. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|+|BF|=8， ∴x1++x2+=8，即x1+x2=8-p. ∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上， ∴|QA|=|QB|，即=， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又=2px1，=2px2， ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x. 解 11.设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若·=-4，则点A的坐标是 A.(2，±2) B.(1，±2) C.(1，2) D.(2，2) √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知F(1，0)，设A， 则==， 由·=-4得y0=±2， ∴点A的坐标为(1，±2). 解析 12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△OMF的面积为4，则抛物线的方程为 A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)， 则由|MF|=4|OF|得x1+=4×， 即x1=p，则=3p2， 则|y1|=p，则S△OMF=××p=4， 解得p=4，即抛物线的方程为y2=8x. 解析 13.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是 A.[8，10] B.(5，8) C.(10，12) D.(8，10) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点A作准线x=-1的垂线，垂足为E， 则△FAB的周长为++=++4=+4=xB+5， 由 可得 故3<xB<5，故△FAB的周长的取值范围为(8，10). 解析 14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　　.   答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线的焦点坐标为F， 准线方程为y=-. 将y=--=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形， 则tan ===， 解得p2=36，p=6. 解析 15.定义平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的距离d(P，Q)= +，称为P，Q之间的曼哈顿距离.若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则A，B之间的曼哈顿距离的最小值为 A. B. C. D. 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，设A，B(b，b2+2b)， 所以d(A，B)=|a-b|+， 如图所示，过A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点P， 延长BP交直线y=x-2于点M，则M， 则|PM|≤|PA|，所以d(A，B)=|PA|+|PB|≥|PM|+|PB|=|BM|， 所以d(A，B)≥==， 所以d(A，B)的最小值为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为 (0，0)，(2，0)，x=-2， x轴，x≥0. 解 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，|OA|=|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|=|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|=|OF|=3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入y2=8x得m2=24， 所以m=2或m=-2， 所以A(3，2)，B(3，-2)， 所以|OA|=|OB|=， 所以△OAB的周长为2+4. 解 第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< $