第3章 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率等核心知识点，通过类比直线与圆的方程研究方法导入，以问题引导观察椭圆特征，用表格梳理焦点在x轴和y轴的性质差异，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于问题驱动与分层训练，通过“扁平程度刻画”等问题培养数学眼光，用方程法、正弦定理等发展数学思维，以表格和规范步骤强化数学语言。例如延伸探究2结合余弦定理求离心率范围，助力学生逻辑推理，教师可利用随堂演练和课时对点练提升教学效率。

第1课时 椭圆的简单几何性质 第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质 <<< 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题(重点). 学习目标 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 导 语 一、椭圆的简单几何性质 二、由椭圆的几何性质求标准方程 课时对点练 三、求椭圆的离心率 随堂演练 内容索引 椭圆的简单几何性质 一 提示　范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b). 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题1 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 ___________________ ___________________ 顶点 ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 短轴长等于 ，长轴长等于____ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|=2 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 2b 2a x轴、y轴 原点 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c. 注 意 点 <<< 9 提示　题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e==减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e= =增大，椭圆越扁平. 扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 问题2 10 椭圆的离心率：e= ∈(0，1). 知识梳理 (1)e=. (2)离心率的范围为(0，1). (3)e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 注 意 点 <<< 12 　(课本例4)　求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 例 1 把原方程化成标准方程，得+=1， 于是a=5，b=4，c==3. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e==两个焦点坐标分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4). 解 13 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1)+=1； 例 1 由椭圆方程知，a=，b=，c==1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2， 顶点坐标为(-，0)，(，0)，(0，-)，(0，)，焦点坐标为(-1，0)， (1，0). 解 14 (2)4x2+y2=16. 椭圆方程可变形为+=1， 所以a=4，b=2，c==2， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为(-2，0)，(2，0)，(0，-4)，(0，4)，焦点坐标为(0，-2)，(0，2). 解 15 用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反 思 感 悟 16 　已知椭圆C1：+=1. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 跟踪训练 1 由椭圆C1：+=1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(-6，0)，离心率e=. 解 17 (2)设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 18 椭圆C2：+=1. 几何性质如下： ①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10； ②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点； ③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，-10)，短轴端点为(-8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，-6)，焦距为12； ⑤离心率：e=. 解 19 二 由椭圆的几何性质求标准方程 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； 例 2 21 依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b， 所以c=b=3， 所以a2=b2+c2=18， 故所求椭圆的标准方程为+=1. 解 22 (2)过点(3，0)，离心率e=. 23 当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意，得a=3， 因为e=，所以c=，从而b2=a2-c2=3，所以椭圆的标准方程为+=1； 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意，得b=3， 解 24 因为e=， 所以=， 把b=3代入，得a2=27， 所以椭圆的标准方程为+=1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. 解 25 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 反 思 感 悟 26 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一 个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为　　　　　.  跟踪训练 2 可设椭圆方程为+=1(a>b>0)， 由题意，得解得 所以椭圆的标准方程为+=1. 解析 +=1 27 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个 顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA=，则椭圆的标准方程是 　　　　 　. 因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA=， 所以点A是短轴的端点. 所以|OF|=c，|AF|=a=3， 所以=，所以c=2，b2=32-22=5， 所以椭圆的标准方程是+=1或+=1. 解析 +=1或+=1 28 求椭圆的离心率 三 设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为　　　.  例 3 30 方法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故离心率e=====. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y=±，所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=·(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去). 解析 31 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1 =75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率. 延伸探究 1 32 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°， ∴∠F1PF2=60°， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则m+n=2a， 则在△PF1F2中，有==， ∴=， ∴e====. 解 33 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 延伸探究 2 34 设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a， ∴mn≤=a2， 当且仅当m=n时取等号. 由余弦定理知cos∠F1PF2== ==-1≥-1， 当且仅当m=n时取等号，即P为短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大. 解 35 椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角， 只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角， 则c>b，∴c2>b2. 又b2=a2-c2， ∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=>， ∴e>，又0<e<1， ∴椭圆C的离心率的取值范围为. 解 36 求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e=求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 反 思 感 悟 37 椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作与x轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 38 设椭圆的方程为+=1(a>b>0)， 则由椭圆的定义，可得|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a. 由△MF2N的周长为20，可得4a=20，即a=5. 令x=-c，代入椭圆的方程， 可得y=±， 则|MN|==，解得b2=9， 所以c==4， 所以椭圆的离心率e==. 解析 39 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法). 3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与a的关系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ 1 2 3 4 由题意知c=3，=， 则a=6， ∴b2=a2-c2=27， ∴椭圆的方程为+=1. 解析 1 2 3 4 2.(多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ √ 1 2 3 4 由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1， 所以a=，b=，c= ， 所以长轴长2a=1， 焦距2c=， 离心率e==. 解析 1 2 3 4 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中， |OF2|=c，|BF2|=a， ∠OF2B=60°， ∴cos 60°==， 即椭圆的离心率e=. 解析 1 2 3 4 4.若椭圆C：+=1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为　　　. 2 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2-1-m=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1， 由于+=1表示的是椭圆， 则m>1，∴m=2， 则椭圆方程为+=1， ∴a=，2a=2. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A A D CD (2，4] 题号 8 11 12 13 14 15 答案 +=1 AC C A +=1 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|， == =整理得a2=3c2. 故离心率e==. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|，即b=c. 所以a=c，e==. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y=2 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x=y=-. +=1+=1， +=1，解得a2=3， 又c2=1，所以b2=2， +=1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由|AF1|=3|F1B|， |AB|=4，得|AF1|=3，|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16， |AF1|+|AF2|=2a=8， 故|AF2|=8-3=5. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设|F1B|=k，k>0， 则|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2a-3k)(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而a+k>0，故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a，所以椭圆E的离心率e==. 基础巩固 1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A. B.2 C. D.4 √ 由题意，椭圆x2+my2=1的标准形式为+x2=1. 因为长轴长是短轴长的2倍， 所以=2，所以m=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.曲线+=1与+=1(0<k<9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 曲线+=1的焦距为2c=8，而曲线+=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 解析 3.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a等于 A. B. C. D. √ 由e2=e1，得=3， 因此=3×， 而a>1，所以a=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上，则此椭圆的焦点坐标是 A.(±，0) B.(0，±) C.(±，0) D.(0，±) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在x+2y=2中，由y=0得x=2，由x=0得y=1，则该直线交x轴于点(2，0)， 交y轴于点(0，1)， 依题意得a=2，b=1，则c==， 显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0). 解析 5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=2|AB|，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知|PA|=2|AB|，设|AB|=x， 则|PA|=2x， 当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点， 则短半轴长b=2x， 当P在右顶点时，B恰好在O点， 则长半轴长a=3x， 故离心率为==. 解析 6.(多选)为使椭圆+=1的离心率为，正数m的值可以是 A.1 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当0<m<2时，焦点在x轴上， 此时a2=2，b2=m， 所以c2=a2-b2=2-m， 所以e2===， 解得m=，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m，b2=2，所以c2=a2-b2=m-2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以e2===， 解得m=，符合题意. 故正数m的值可以是. 解析 7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为 　　　　.  ∵e=，b=1，0<e≤， ∴≤，则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2，4] 8.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方 程为　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆E的离心率为e==， 设椭圆F的标准方程为+=1(a>b>0)， 则a==2， ∴椭圆F的半焦距c=1，b2=a2-c2=3， 即椭圆F的标准方程为+=1. 解析 9.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点E的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|= 2|F2B|，求椭圆的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|， 得==， 从而=， 整理得a2=3c2. 故离心率e==. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|， 即b=c. 所以a=c，e==. 解 (2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由=2， 解得x=，y=-. 代入+=1，得+=1，即+=1， 解得a2=3， 又c2=1，所以b2=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解 11.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以2b=2c，即b=c， 对于A，a2=6，b2=3，则c2=a2-b2=3，所以b=c，所以A正确； 对于B，a2=12，b2=8，则c2=a2-b2=4，所以b≠c，所以B错误； 对于C，a2=10，b2=5，则c2=a2-b2=5，所以b=c，所以C正确； 对于D，a2=5，b2=3，则c2=a2-b2=2，所以b≠c，所以D错误. 解析 12.椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|= 5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=5|PF2|， 则|PF1|=，|PF2|=， ∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1， ∴椭圆离心率的取值范围是. 解析 13.椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=(x+c)与椭圆C的一个交点M在x轴上方，满足∠F1MF2=∠MF2F1，则该椭圆的离心率为 A.-1 B. C.-2 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线y=(x+c)过定点F1(-c，0)，斜率k=，所以∠MF1F2=30°， 由解得 又因为|F1F2|=2c，可得|MF2|=c，|MF1|=c， 结合椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=c+c，整理得e===-1. 解析 14.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭圆C1：+y2=1的离心率相同， 且C1，C2在第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方程为　　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆C1中，a=，c==1， 故椭圆C1的离心率为=， 在+y2=1中，令x=1，得y=±， 故C1，C2在第一象限内公共点的坐标为， 设C2：+=1(a1>b1>0)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将+=1， 又===， 故C2的方程为+=1. 解析 15.关于椭圆mx2+ny2=1，有如下四个论断：①焦点在x轴上；②过点(2，1)；③过点()；④短轴长为2.若有且仅有三个论断是正确的，则椭圆的长轴长为 A.2 B.3 C.2 D.6 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若②③正确，则4m+n=1，3m+3n=1，解得m=，n=， 此时椭圆的焦点不在x轴上，短轴长为3，此时①④均不正确，不符合题意，因此①④正确， 故可设椭圆方程为+=1，a2>3， 显然不过点()，故过点(2，1)， 从而+=1，解得a2=6， 故椭圆的长轴长为2. 解析 16.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4， 得|AF1|=3，|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16， |AF1|+|AF2|=2a=8，故|AF2|=8-3=5. 解 (2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设|F1B|=k，k>0，则|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0， 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 解 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a，所以椭圆E的离心率e==. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三章　3.1.2　椭圆的简单几何性质 <<< $