第3章 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用

学习目标　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点).3.掌握点差法在中点弦问题的运用.

 

导语

传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.

一、实际生活中的椭圆问题

例1　(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　)

A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2

C.< D.>

答案　BD

解析　由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1+c1>a2+c2，所以A错误；

在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1-c1=|PF|，

在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2-c2=|PF|，

所以a1-c1=a2-c2，所以B正确；

所以a1+c2=a2+c1，两边同时平方，得++2a1c2=++2a2c1，

所以-+2a1c2=-+2a2c1，

即+2a1c2=+2a2c1，由图可得，>，

所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确.

反思感悟　解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)

(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.

(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.

(3)用解得的结果说明原来的实际问题.

跟踪训练1　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　米. 

答案　32

解析　设椭圆方程为+=1(a>0)，

当点(4，4.5)在椭圆上时，+=1，

解得a=16，

∵车辆高度不超过4.5米，

∴a≥16，d=2a≥32，故拱宽至少为32米.

二、直线与椭圆的位置关系

问题1　类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？

提示　直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式Δ判断.

知识梳理

直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法：

联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：

 

注意点：

设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.

问题2　直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？

提示　不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等.

例2　(课本例7)　如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：+=1.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？