3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦椭圆标准方程及性质的应用，系统梳理直线与椭圆的位置关系（联立方程用判别式判断）、弦长计算（根与系数关系和弦长公式）、中点弦问题（点差法与方程思想），构建从基础判断到综合应用的学习支架。 该资料以问题驱动引导逻辑推理，如类比直线与圆的位置关系推导判断方法，通过例题训练强化数学运算，如例2结合根与系数求弦长。提能点深化思想方法，课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升解决复杂问题能力。

第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用 课标要求 1.会判断直线与椭圆的位置关系（逻辑推理、数学运算）. 2.体会设而不求的数学方法，求弦长及中点弦等有关问题（数学运算）. 知识点一｜直线与椭圆的位置关系 问题1　（1）如何判断P（x0，y0）与椭圆＋＝1的位置关系？ 提示：将点P（x0，y0）代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小. 若＋＞1，P在椭圆外； 若＋＝1，P在椭圆上； 若＋＜1，P在椭圆内. （2）类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？ 提示：直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ判断. 【知识梳理】 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程， 位置关系 公共点个数 组成的方程组的解 判定方法（利用判别式Δ） 相交 　2　个 　两　解 Δ　＞　0 相切 　1　个 　一　解 Δ　＝　0 相离 　0　个 　无　解 Δ　＜　0 　　提醒：设直线方程时，注意斜率不存在的情况. 【例1】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）相交； 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　① 方程①的根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. 当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不相等的实数根，这时直线l与椭圆C相交. （2）相切； 解：当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根，这时直线l与椭圆C相切. （3）相离. 解：当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C相离. 【规律方法】 　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 训练1　（1）直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　A　） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析：法一　直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交. 法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＝640＞0，所以直线与椭圆相交. （2）〔多选〕无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1交点情况有（　BC　） A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.无法确定 解析：因为y＝kx＋2过定点（0，2），且椭圆＋＝1的上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C. 知识点二｜直线与椭圆中的弦长问题 问题2　当直线与椭圆相交时，如何求截得的弦长？试推导一下. 提示：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则｜AB｜＝， 所以｜AB｜＝ ＝ ＝， 或｜AB｜＝ ＝ ＝. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 【知识梳理】 弦长公式：当直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2）时，｜AB｜＝ ＝　　或｜AB｜＝　　. 　　提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【例2】已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； 解：由题意得解得c＝，a＝，b＝＝＝1，∴椭圆M的方程为＋y2＝1. （2）若直线过椭圆的上顶点，且k＝1，求｜AB｜的值. 解：∵k＝1，椭圆上顶点为（0，1），∴直线l的方程为y＝x＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立得2x2＋3x＝0.又直线l与椭圆M有两个不同的交点，∴Δ＝9＞0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0， ∴｜AB｜＝·｜x1－x2｜ ＝· ＝×＝. 【规律方法】 　求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长； （2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式求弦长. 训练2　（1）过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则｜AB｜＝（　C　） A.4　　　B.2 C.1　　D.4 解析：因为椭圆＋y2＝1，可得a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以椭圆的右焦点的坐标为F（，0），将x＝代入椭圆的方程，求得y＝±，所以｜AB｜＝1.故选C. （2）已知直线y＝x＋2交椭圆＋＝1于A，B两点，若｜AB｜＝3，则实数m的值为12. 解析：由椭圆＋＝1，得顶点为（0，2），而直线y＝x＋2也过（0，2），所以A（0，2）为直线与椭圆的一个交点，设B（xB，yB），则｜AB｜＝＝｜xB－xA｜＝｜xB｜＝3，解得xB＝±3，所以B（－3，－1）或B（3，5）（舍去），把B（－3，－1）代入椭圆方程得＋＝1，故m＝12. 提能点｜直线与椭圆中的中点弦问题 问题3　直线l与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设AB中点为P（x0，y0），你能求出kAB·kOP的值吗？ 提示：将点A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，则 ①－②得＋ ＝0，因为x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOP＝－. 【例3】已知P（1，1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，若此弦被P点平分，求此弦所在的直线方程. 解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k（x－1），弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. 由 消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0， ∴x1＋x2＝， 又∵x1＋x2＝2，∴＝2， 解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意. 故此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1）， 即x＋2y－3＝0. 法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则＋＝1，　① ＋＝1，　② ①－②得＋ ＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0， 又x1－x2≠0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意. ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 【规律方法】 　解决椭圆“中点弦”问题的方法 训练3　已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x－4y＝0上，则此椭圆的离心率为. 解析：联立解得所以直线y＝－x＋1与直线x－4y＝0的交点坐标为（，），即线段AB的中点为（，），设y＝－x＋1与＋＝1（a＞b＞0）的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），所以＝，＝，则x1＋x2＝，y1＋y2＝，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入到椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，得两式相减得＝－，又kAB＝＝－1，且＝，所以－＝×（－1）＝－，即a2＝4b2，所以a2＝4（a2－c2），所以3a2＝4c2，所以e＝＝. 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析：A　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离. 2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是（　　） A.（，－） B.（－，） C.（，－） D.（－，） 解析：A　由消去y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0，所以弦的中点的横坐标是x＝×＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，所以弦的中点坐标是（，－）.故选A. 3.已知椭圆M：＋y2＝1，直线l与椭圆M相交于A，B两点，点D（1，）是弦AB的中点，则直线l的斜率k＝－. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与椭圆M相交于A，B两点，所以有两式作差得－＝－，整理得kAB＝＝－×，因为点D（1，）是弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以kAB＝－. 4.已知直线y＝kx＋1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，则实数b的取值范围为[1，2）. 解析：由题意，知直线y＝kx＋1（k∈R）恒过定点M（0，1），要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，则只需点M（0，1）在椭圆上或椭圆内，则b≥1.又b2＜4，所以1≤b＜2. 课堂小结 1.理清单 （1）点与椭圆及直线与椭圆的位置关系； （2）直线与椭圆交点弦长的求法； （3）直线与椭圆的中点弦问题. 2.应体会 （1）判断直线与椭圆的位置关系时，要注意分类讨论思想的应用； （2）求直线与椭圆相交所得弦长、中点弦等问题时要注意根与系数的关系法、点差法的应用. 3.避易错 （1）直线与椭圆的交点弦问题，易忽视直线斜率不存在的情形； （2）在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ＞0； （3）利用点差法解决问题时，要注意直线的斜率不能为0，并检验直线与椭圆是否相交. 1.点P（4cos α，2sin α）（α∈R）与椭圆C：＋＝1的位置关系是（　　） A.点P在椭圆C上 B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 解析：D　把P（4cos α，2sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，得＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4＞1，因此点P在椭圆C外. 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　　） A. B.－ C.± D.± 解析：C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1（0＜b＜4）相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C（－1，2），则△CF1F2的面积为（　　） A.2 B.4 C.2 D.4 解析：B　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则所以＝－，即＝，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，所以＝×2c×2＝4. 4.（2025·龙岩月考）过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为（　　） A. B. C. D. 解析：B　椭圆x2＋2y2＝4化为标准方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝，所以左焦点为（－，0），易求直线AB的方程为y＝（x＋）.由消去y并整理得7x2＋12x＋8＝0，Δ＝（12）2－4×7×8＝64＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝2×＝. 5.（2025·泰安质检）已知过圆锥曲线＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为（　　） A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0 C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0 解析：B　过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，则与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－2＝0. 6.〔多选〕已知椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0相交于两个不同的点A，B，M为线段AB的中点，则（　　） A.－＜m＜ B.m＜－或m＞ C.弦长｜AB｜的最大值为 D.M一定在直线x＋4y＝0上 解析：AD　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0的方程，得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由判别式Δ＝（8m）2－4×5×4（m2－1）＞0，得m2＜5，即－＜m＜，选项A正确，选项B错误；又x1＋x2＝－，x1x2＝（m2－1），所以｜AB｜＝·＝·，当m＝0时，弦长｜AB｜取最大值，｜AB｜＝，选项C错误；由直线l：y＝x＋m，线段AB中点M的坐标为（，＋m），即M（－，），所以点M的坐标满足直线方程x＋4y＝0，选项D正确，故选A、D. 7.〔多选〕（2025·宁波质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（　　） A.椭圆的焦距为 B.椭圆方程为＋y2＝1 C.弦长｜AB｜＝ D.S△OAB＝ 解析：BC　如图，因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，解得a＝2.因为直线y＝x－过右焦点F2，所以c＝，椭圆的焦距为2，故A错误.b2＝a2－c2＝4－3＝1，椭圆方程为＋y2＝1，故B正确.设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，｜AB｜＝＝＝＝＝，故C正确.原点到直线y＝x－的距离d＝＝，所以S△OAB＝×d×｜AB｜＝××＝，故D错误.故选B、C. 8.（2025·福州月考）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为　　. 答案： 解析：∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，易知直线AF1的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程可得3x2＋4bx＝0，解得x＝0或x＝－b，则B（－b，－b），又F2（b，0），∴＝＝. 9.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是. 解析：由消去y，得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x0，y0），则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝.由题意知＝，∴＝. 10.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（2，）. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点M（2，1）且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度. 解：（1）由题意知，e＝，所以a＝c，b＝c，设椭圆E的方程为＋＝1.将点P（2，）代入得：b2＝8，a2＝16，所以椭圆E的方程为＋＝1. （2）由（1）知，椭圆E的右焦点为（2，0），上顶点为（0，2）， 所以直线m斜率为k＝＝－1，因为直线l与直线m平行， 所以直线l的斜率为－1，所以直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0， 联立可得3x2－12x＋2＝0，Δ＝120＞0，x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以｜AB｜＝＝×＝. 11.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为（　　） A.x＋4y＝0 B.x＋4y＝0（－＜x＜） C.4x＋y＝0 D.4x＋y＝0（－＜x＜） 解析：B　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＋（－）2＜1，解得－＜x＜.∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－＜x＜）. 12.〔多选〕设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.kAB·kOM＝－1 B.若点M坐标为（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 解析：BD　设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（，），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选B、D. 13.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是（0，］. 解析：由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最小，所以b≤｜PA｜min＝，所以ab≤2b2，解得0＜e≤. 14.如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A，B两点. （1）当直线l倾斜角为135°时，求直线l的方程； （2）求证：△AOB的面积为定值. 解：（1）因为直线l倾斜角为135°，直线l的方程为y＝－x＋b，因为椭圆C1：＋y2＝1， 直线l与椭圆C1只有一个公共点，联立方程得3y2－2by＋b2－2＝0， 所以Δ＝4b2－12（b2－2）＝0，所以b＝±，所以直线l的方程为x＋y＋＝0或x＋y－＝0. （2）证明：因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，当斜率存在时，设直线l为y＝kx＋b，由得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－2＝0，所以Δ＝16k2b2－4（2k2＋1）（2b2－2）＝0，所以2k2－b2＋1＝0， 又因为直线与椭圆C2交于A，B两点得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－4＝0， 所以 因为直线l与y轴交于点（0，b），所以S△AOB＝｜b｜×｜x1－x2｜＝｜b｜·＝｜b｜· ＝｜b｜＝｜b｜·＝. 当直线l的斜率不存在时，l：x＝±.代入椭圆C2的方程得，y＝±1，所以S△AOB＝××2＝. 综上所述，△AOB的面积为定值. 15.（2025·杭州质检）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为（，－）. （1）求椭圆的方程； （2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标. 解：（1）依题意知A（a，0），B（0，－b）， 因为△AOB为直角三角形， 所以过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，所以＝，－＝－， 即a＝，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1. （2）由（1）知B（0，－1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0， 设直线BN的方程为y＝kx－1（k＜0），则直线BM的方程为y＝－x－1， 由消去y得（1＋3k2）·x2－6kx＝0，解得xN＝，yN＝kxN－1， 所以｜BN｜＝＝＝｜xN｜， 所以｜BN｜＝·，在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k， 即M（－k，0），所以｜BM｜＝，在Rt△MBN中，因为∠BMN＝60°， 所以｜BN｜＝｜BM｜，即·＝·，整理得3k2－2｜k｜＋1＝0， 解得｜k｜＝，因为k＜0，所以k＝－，所以点M的坐标为（，0）. 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $