3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用

课标要求

知识点一｜直线与椭圆的位置关系

问题1　（1）如何判断P（x0，y0）与椭圆＋＝1的位置关系？

提示：将点P（x0，y0）代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小.

若＋＞1，P在椭圆外；

若＋＝1，P在椭圆上；

若＋＜1，P在椭圆内.

（2）类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？

提示：直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ判断.

【知识梳理】

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系的判断方法：

联立消去y得到一个关于x的一元二次方程，

　　提醒：设直线方程时，注意斜率不存在的情况.

【例1】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

（1）相交；

解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　①

方程①的根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.

当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不相等的实数根，这时直线l与椭圆C相交.

（2）相切；

解：当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根，这时直线l与椭圆C相切.

（3）相离.

解：当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C相离.

【规律方法】

　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.

训练1　（1）直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　A　）

A.相交 B.相切

C.相离 D.无法判断

解析：法一　直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.

法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＝640＞0，所以直线与椭圆相交.

（2）〔多选〕无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1交点情况有（　BC　）

A.没有公共点 B.一个公共点

C.两个公共点 D.无法确定

解析：因为y＝kx＋2过定点（0，2），且椭圆＋＝1的上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C.

知识点二｜直线与椭圆中的弦长问题

问题2　当直线与椭圆相交时，如何求截得的弦长？试推导一下.

提示：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则｜AB｜＝，

所以｜AB｜＝

＝

＝，

或｜AB｜＝

＝

＝.

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.

【知识梳理】

弦长公式：当直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2）时，｜AB｜＝

＝　　或｜AB｜＝　　.

　　提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

【例2】已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.

（1）求椭圆M的方程；

解：由题意得解得c＝，a＝，b＝＝＝1，∴椭圆M的方程为＋y2＝1.