第二章 直线和圆的方程 章末模拟测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学直线和圆的方程单元卷，以文化情境与真题导向设计，覆盖直线倾斜角、圆的方程等核心知识，适配单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|倾斜角、直线垂直、交点象限|第4题以中式园林洞门为情境，体现文化传承| |多项选择|3/18|直线与线段关系、圆的弦长|第10题动直线过定点，考查逻辑推理| |填空题|3/15|平行直线、圆的弦长|第14题改编天津高考题，关联真题趋势| |解答题|5/77|中线、高、面积，圆与直线位置关系|第19题探究定点与斜率定值，培养运算能力与推理意识|

第二章　直线和圆的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x-y-3=0的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为(　　) A.-2 B.- C.1 D.1或-2 3.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A.[) B.[) C.() D.() 4.“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的洞门.如图,某园林中的圆弧形洞门高为2.5 m,地面宽为1 m,则该洞门的半径为(　　) A.1.1 m B.1.2 m C.1.3 m D.1.5 m 5.直线l过点P(1,2),且点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程是(　　) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0 D.3x+2y-7=0或x+4y-6=0 6.若第一象限内的点(m,n)关于直线x+y-2=0对称的点在直线2x+y+3=0上,则的最小值是(　　) A.25 B. C.17 D. 7.直线3x+4y=0与圆M:(x-2)2+(y-1)2=16交于A,B两点,则△MAB的面积为(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 8.若直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(,4) C.[-2,-)∪(,2] D.(,2] 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则下列说法正确的有(　　) A.直线x-y=0与线段AB有公共点 B.直线AB的倾斜角大于135° C.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2 D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0 10.已知动直线l:kx-y-k+1=0与圆C:x2+y2-4y=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l过定点(1,1) B.圆C的圆心坐标为(0,-2) C.直线l与圆C的相交弦的弦长的最小值为2 D.直线l与圆C的相交弦的弦长的最大值为4 11.若关于x的方程x+-b=0有唯一实数解,则b的取值可能是(　　) A. B.1 C.- D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知A(0,-1),点B在直线x-y+2=0上,若直线AB平行于直线x+2y-3=0,则点B的坐标为　　　　　.  13.已知直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,则k=　　　　　.  14.(2025天津,12)已知直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点.若|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0).求: (1)BC边上的中线所在直线的方程; (2)BC边上的高所在直线的方程; (3)△ABC的面积. 16.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 17.(15分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0. (1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值; (2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为2且过点(2,1),求直线l的方程. 18.(17分)已知点A(-2,0),B(0,-1),P(1,0),Q是圆M:x2+y2-4x-6y+8=0上的动点. (1)求△QAB面积的最小值; (2)求线段PQ的中点N的轨迹方程. 19.(17分)已知直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0与圆C:x2-2x+y2=0交于M,N两点. (1)求出直线l恒过的定点的坐标. (2)求直线l的斜率的取值范围. (3)若O为坐标原点,直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 参考答案 1.A　直线x-y-3=0可化为y=x-, 设其倾斜角为α,0≤α<π, 则斜率k=tan α=,即α=.故选A. 2.B　∵直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直, ∴a×2+2×(2a+2)=0, 解得a=-.故选B. 3.C　由可得 因为两直线的交点位于第一象限, 所以解得k>1. 设直线l的倾斜角为α,则k=tan α>1. 又0≤α<π,所以<α<,所以直线l的倾斜角的取值范围是(). 故选C. 4.C　如图,设圆的半径为r,由题意可知,DF=,EF=2.5,在Rt△OFD中,OF=,r+OF=2.5,所以=2.5-r,解得r=1.3.故选C. 5.C　由题意可知,直线l的斜率存在,故设直线l:y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0, 则,则k-1=3k+7或k-1+3k+7=0,解得k=-4或k=-,故直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 故选C. 6.B　设(m,n)关于直线x+y-2=0对称的点为(x1,y1),x1≠m, 依据题意可得 解得 对称点在直线2x+y+3=0上,代入可得2n+m=9. 因为点(m,n)在第一象限,所以m>0,n>0. =()()=≥2,当且仅当且m>0,n>0,2n+m=9,即m=,n=时,等号成立.故选B. 7.A　圆M:(x-2)2+(y-1)2=16的圆心为M(2,1),半径为4,由题意得圆心M到直线3x+4y=0的距离d==2,则|AB|=2×=4,所以△MAB的面积为|AB|·d=×4×2=4.故选A. 8.D　由曲线C:=x-1,可得(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1), 又由直线l:kx-y-2=0可化为y=kx-2,直线l恒过定点P(0,-2), 作出曲线C与直线l的图象,如图所示,结合图象,可得A(1,0),所以直线PA的斜率kPA=2,当直线l与曲线C相切时,可得=1,解得k=,所以实数k的取值范围为(,2].故选D. 9.BD　由于点A(1,2),B(-3,4)均在直线x-y=0的同侧,则直线x-y=0与线段AB没有公共点,故A错误;由于直线AB的斜率k==->-1,故直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;由于直线BC的斜率为=-4,则边BC上的中垂线的斜率为,BC的中点为(-,2),故中垂线所在直线的方程为y-2=(x+),故C错误;由于边BC上的高所在直线的斜率为,则其方程为y-2=(x-1),即x-4y+7=0,故D正确. 10.ACD　对于A,直线l:kx-y-k+1=0,即k(x-1)-y+1=0,令即直线l过定点(1,1),故A正确;对于B,圆C:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心坐标为C(0,2),故B错误;对于C,因为12+(1-2)2=2<4,所以直线l所过定点(1,1)在圆的内部,所以相交弦的弦长的最小值为2=2,故C正确;对于D,直线l与圆C的相交弦的弦长的最大值为圆C的直径4,故D正确.故选ACD. 11.AD　由题意可知关于x的方程=-x+b有唯一实数解,即曲线y=(以原点为圆心的单位圆的上半部分,包括与坐标轴相交的部分)与直线y=-x+b有唯一公共点. 当直线y=-x+b经过点(1,0)时,b=1; 当直线y=-x+b经过点(-1,0)时,b=-1; 若直线y=-x+b与曲线y=相切,则=1,得b=(负值舍去). 数形结合可知,b的取值范围是[-1,1)∪{}. 故选AD. 12.(-2,0)　因为直线AB平行于直线x+2y-3=0,所以设直线AB的方程为x+2y+m=0(m≠-3). 又点A(0,-1)在直线AB上, 所以0+2×(-1)+m=0,解得m=2, 所以直线AB的方程为x+2y+2=0, 联立两直线方程解得故点B的坐标为(-2,0). 13.或0　由(x-1)2+(y-1)2=4可知圆心为C(1,1),半径为2. 设直线与圆交于A,B两点, ∵直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,∴∠ACB=120°, ∴圆心到直线的距离为半径的一半,∴=1,解得k=0或k=. 14.2　由题意知,A(-6,0),B(0,6),则|AB|=6. 又|AB|=3|CD|,∴|CD|=2. 该圆圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离d=,∴r2=d2+(|CD|)2=2+2=4,∴r=2. 15.解(1)∵A(1,3),B(3,1),C(-1,0), ∴线段BC的中点坐标为(1,), 易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在, ∴BC边上的中线所在的直线方程为x=1. (2)∵kBC=, ∴BC边上的高所在直线的斜率k=-4, ∴BC边上的高所在直线的方程为y-3=-4(x-1),即4x+y-7=0. (3)直线BC的方程为,即x-4y+1=0,则点A到直线BC的距离d=. 又|BC|=, ∴S△ABC==5. 16.解(1)设Q(x,y),易知x≠1,3,由题意得kMN=3,kPN=-2. 因为PQ⊥MN,所以kPQ·kMN=-1,即×3=-1. ① 因为PN∥MQ,所以kPN=kMQ,即=-2. ② 由①②,得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)如图,设Q(x,0),x≠2,因为∠NQP=∠NPQ, 所以kNQ=-kNP. 又kNQ=,kNP=-2, 所以=2,即x=1,所以Q(1,0). 又M(1,-1),所以MQ⊥x轴, 故直线MQ的倾斜角为90°. 17.解 (1)圆C1:x2+y2=1,则圆心C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则圆心C2(3,0),半径r2=. ∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2, 即3=1+,解得m=5. (2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2. 由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1. 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心C2(3,0)到直线l的距离d==1, 解得k=0,得直线方程为y=1. 综上,直线l的方程为x=2或y=1. 18.解(1)如图,由题意知,|AB|=,直线AB的方程为x+2y+2=0. 圆M的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5,则圆心为M(2,3),半径为r=,所以圆心M到直线AB的距离为d==2. 设点Q到直线AB的距离为d', 则d'min=d-r=, 所以△QAB面积的最小值为|AB|·d'min=. (2)设N(x,y),Q(x0,y0),由题意知x=,y=,则x0=2x-1,y0=2y,又点Q在圆M上, 所以(2x-1)2+(2y)2-4(2x-1)-6×2y+8=0,整理得x2+y2-3x-3y+=0, 所以点N的轨迹方程为x2+y2-3x-3y+=0,即(x-)2+(y-)2=. 19.解(1)由直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0,得m(x-2y+4)+(2x+y-2)=0, 联立解得 ∴直线l恒过定点(0,2). (2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=0,与圆相切,不符合题意,故直线l的斜率存在,由(1)可知,直线l的方程可设为y-2=k(x-0),即kx-y+2=0. 由圆C:x2-2x+y2=0,知圆心C(1,0),半径r=1. ∵直线l与圆C交于M,N两点, ∴圆心C到直线l的距离d<r,即<1,解得k<-, 即直线l的斜率的取值范围为(-∞,-). (3)k1+k2是定值,定值为1. 由(2)可知,直线l的斜率存在,设直线l方程为y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 得(1+k2)x2+(2kb-2)x+b2=0, x1+x2=-,x1x2=, k1+k2= = = =2k+b· =2k+b· =2k+-2k=. 由(1)可知,b=2,则k1+k2=1, ∴k1+k2是定值,定值为1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $