第2章 2.4.2 圆的1般方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，以圆的标准方程为基础展开，系统辨析方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的条件（D²+E²-4F>0），构建从方程形式到图形特征的认知支架，涵盖方程互化、待定系数法求方程及轨迹问题等内容。 通过问题链引导学生用数学眼光观察方程与图形关系，结合例题与跟踪训练培养数学思维（如配方、推理），轨迹问题强化数学语言表达（如代入法建模）。课中助力教师引导探究，课后课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.4.2　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(重点) 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的辨析 问题1　如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？ 提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 问题2　当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？ 提示　①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点. ②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 知识梳理 1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 例1　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m， 故圆心坐标为(-m，1)，半径r=. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1　(1)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　D 解析　由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. (2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为　　　　.  答案　9π 解析　圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心， ∴-+1+1=0，解得k=4， 圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为=3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　(课本例4)　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解　设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0.① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，半径r==5. 例2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为 x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0， 易知M的一个坐标为(2，2)， 即a=2， 又点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2+22-8a-2×2+12=0， 即a2-8a+12=0，解得a=6， 综上，a=2或6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程. 跟踪训练2　已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程. 解　圆心C， ∵圆心在直线x+y-1=0上， ∴---1=0， 即D+E=-2. ① 又∵半径长r==， ∴D2+E2=20. ② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴-<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 三、圆的轨迹问题 问题3　轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 例3　(课本例5)　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x=y=. 于是有x0=2x-4，y0=2y-3.① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程， 即(x0+1)2+=4.② 把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4， 整理，得+=1. 这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆. 例3　点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解　(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式， 得点P的坐标为(2x-2，2y). ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-2)2+(2y)2=4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为 (x-1)2+y2=1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0. 延伸探究1　在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 解　设T(x，y).因为点T是弦的中点， 所以OT⊥BT. 当斜率存在时， 有kOT·kBT=-1. 即·=-1， 整理得x2+y2-x-y=0. 当x=0或1时， 点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 延伸探究2　若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程. 解　设点E(x，y)，P(x0，y0). ∵B(1，1)，∴ 整理得x0=2x-1，y0=2y-1， ∵点P在圆x2+y2=4上， ∴(2x-1)2+(2y-1)2=4， 整理得， 点E的轨迹方程为x2+y2-x-y-=0. 反思感悟　求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 跟踪训练3　已知圆C经过(2，6)，(5，3)，(2，0)三点. (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点B(2，3)，且点M满足=2，求点M的轨迹方程. 解　(1)设圆C的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意得 解得 则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)设M(x，y)，A(xA，yA)， 则=(x-xA，y-yA)， =(2-x，3-y)， 由=2， 得 解得 由点A在圆C上， 得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y-6)+4=0， 即x2+y2-4x-6y+12=0， 故点M的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0. 1.知识清单： (1)圆的一般方程. (2)求动点的轨迹方程. 2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0， 所以m>-. 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 答案　A 解析　圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)， ∴-=-2，-=3， ∴D=4，E=-6. 3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 答案　ABC 解析　x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5， 即圆心的坐标为(2，0). A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形， 而点(2，0)是圆心，故正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形， 直线y=0过圆心，故正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形， 直线x+3y-2=0过圆心，故正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形， 直线x-y+2=0不过圆心，故不正确. 4.已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为　　　　　　　.  答案　x2+y2=4 解析　设M(x，y)，则|MA|=， |MB|=. 故==， 两边平方并化简得x2+y2=4. 所以点M的轨迹方程为x2+y2=4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　) A.8π B.4π C.2π D.π 答案　C 解析　原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2， ∴半径r=， ∴圆的面积为S=πr2=2π. 2.(多选)下列结论正确的是(　　) A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆 D.若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0 答案　ABD 解析　A，B显然正确；C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0，所以表示点(1，-2)；D正确. 3.若点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A.(-2，+∞) B. C. D.(-2，2) 答案　C 解析　因为点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部， 所以需满足 解得-2<k<. 4.已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 答案　D 解析　∵圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，∴(1-a)2+(0-b)2=1， ∴(a-1)2+b2=1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心， 1为半径的圆. 5.已知直线l：x+my+2=0，若圆C：x2+y2-6x+4y-3=0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　) A. B. C. D.5 答案　A 解析　由圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，得圆C的圆心坐标为(3，-2)，又圆C上存在两点P，Q关于直线l对称，所以直线l经过圆C的圆心， 从而3-2m+2=0，解得m=. 6.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　x2+y2+kx+2y+k2=0化为标准方程为+(y+1)2=1-k2， 所以当k=0时圆的半径最大，面积也最大， 此时直线的斜率为-1，故倾斜角为. 7.(5分)当m变化时，圆x2+y2+(m+2)x+y-2=0恒过定点　　　　　　　　　.  答案　(0，-2)和(0，1) 解析　方程x2+y2+(m+2)x+y-2=0可化为(x2+y2+2x+y-2)+mx=0.由得所以定点坐标是(0，-2)和(0，1). 8.(5分)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是　　　.  答案　(x-8)2+y2=36(y≠0) 解析　设C(x，y)(y≠0)， 则D. ∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3， ∴+=9， 即(x-8)2+y2=36(y≠0). 9.(10分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围；(3分) (2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分) (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.(4分) 解　(1)圆的方程可化为 [x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2. 由1+6t-7t2>0， 即7t2-6t-1<0， 得-<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3，4t2-1)， 半径为. (3)r= =≤. 所以r的最大值为， 此时t=， 故此时圆的标准方程为+=. 10.(10分)如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程. 解　设B点坐标是(x，y)， 点A的坐标是(x0，y0)， 由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点， 所以4=，3=， 于是有x0=8-x， y0=6-y. ① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4， 即(x0+1)2+=4， ② 把①代入②， 得(8-x+1)2+(6-y)2=4， 整理，得(x-9)2+(y-6)2=4. 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为M， 圆x2+y2-4x+3=0的圆心为N(2，0)， 又两圆关于直线x-y-1=0对称， 故有×1=-1， 解得a=2. 12.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A.(-∞，-2) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(2，+∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的标准方程为 (x+a)2+(y-2a)2=4， 因此曲线C是圆心为(-a，2a)， 半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴ 解得a>2， ∴a的取值范围是(2，+∞). 13.(多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A.的最大值为9 B.圆关于直线y=-2x对称 C.F=4 D.圆与y轴相切 答案　ABC 解析　表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心(2，-4)到点(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5+4=9，A正确； 因为圆心(2，-4)在直线y=-2x上， 所以圆关于直线y=-2x对称，B正确； 由题知 解得D=-4，E=8，F=4，C正确； 由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径， 故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误. 14.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　　.  答案　-2 解析　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0，则y2+4y-20=0， 由根与系数的关系得y1+y2=-4； 令y=0，则x2-2x-20=0， 由根与系数的关系得x1+x2=2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1+y2+x1+x2=-4+2=-2. 15.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2|MB|+|MD|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则B(2，0)，D(0，2)，如图， 取点E，设M'(x，y)， 当|M'D|=2|M'E|时， =2， 化简整理得x2+y2=1， 即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 而点M在以C为圆心，1为半径的圆上， 因此|MD|=2|ME|， 显然点B在圆C：x2+y2=1外， 则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME| =2(|MB|+|ME|)≥2|BE|， 当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号， 而|BE|==， 所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|=. 16.(13分)在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动. (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；(5分) (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x=3于点M，直线PA2交直线l于点N，求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标.(8分) 解　(1)设G(x，y)， 由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)， ∴|EF|==2， 整理得x2+y2=1， ∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为 x2+y2=1. (2)由已知得A1(-1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1，+=1， 直线PA1的方程为y=(x+1)， 令x=3，得y=，则M， 同理，可求N， MN的中点坐标为， |MN|==2， ∴以MN为直径的圆的方程为 (x-3)2+=. 令y=0， 得(x-3)2=-+ ==8. ∴x=3±2，∴该圆总过定点， 定点坐标为(3+2，0)或(3-2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $