第2章 2.4.1 圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义出发，通过坐标法推导方程，系统梳理待定系数法、几何法求圆方程的方法，以及点与圆位置关系的几何与代数判断，构建“定义-推导-应用”的学习支架。 资料以李白诗句导语链接文化与数学，培养数学眼光，通过问题驱动推导过程引导自主探究发展数学思维，例题融合几何与代数方法强化数学语言表达。课中助力教师引导学生深度学习，课后分层练习帮助学生查漏补缺巩固知识。

2.4.1　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程.(重点)2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.(难点) 导语 古朗月行(节选) [唐] 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，由两点间的距离公式，得 =r， 两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆. (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x+5)2+(y+3)2=25 解析　∵圆心坐标为(-5，-3)， 又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. (2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.  答案　(x-1)2+(y-2)2=25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|==5为半径， ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 反思感悟　求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间距离公式. (2)有时应用平面几何知识如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等来解决. 跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 解　(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8， ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0，b)， 则(3-0)2+(-4-b)2=52， ∴b=0或b=-8， ∴圆心为(0，0)或(0，-8)， 又r=5， ∴圆的标准方程为x2+y2=25或 x2+(y+8)2=25. 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 知识梳理 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d=|PC|=. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 例2　(课本例1)　求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上. 解　圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图). 例2　(1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　由题意，得a+b=1，ab=-， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8， ∴点P在圆C内. (2)已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　-2或-6　a<-6或a>-2 解析　由题意，得+(y-1)2=1， 当点P在圆C上时， 由+(1-1)2=1 ， 解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时， 由+(1-1)2>1， 解得a<-6或a>-2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围为　　　　.  答案　[0，1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 三、求圆的标准方程 例3　(课本例2)　△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程. 解　设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.① 因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5-a)2+(1-b)2=r2，得r2=25. 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25. 例3　(课本例3)　已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 解　方法一　设圆心C的坐标为(a，b). 因为圆心C在直线l：x-y+1=0上， 所以a-b+1=0.① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|. 根据两点间距离公式，有 = 即a-3b-3=0.② 由①②可得a=-3，b=-2. 所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径 r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 方法二　如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为直线AB的斜率为kAB==-3. 因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=即x-3y-3=0. 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解. 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 例3　求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦， 其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴ 得 即圆心坐标为(4，-3)， 半径为r==5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 反思感悟　求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 跟踪训练3　过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有 解得 即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二　因为kAB==-1， 线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x. 由解得 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况. 1.以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 答案　C 解析　以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16. 2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 答案　B 解析　∵12+32=10<24， ∴点P在圆内. 3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为(　　) A.a> B.a<- C.a>或a<- D.不确定 答案　C 解析　∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a<-. 4.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(-1，1)的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　　.  答案　(x-2)2+(y+3)2=25 解析　因为已知圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的半径为=5，所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是(　　) A.(1，) B.(-1，) C.(1，-) D.(-1，-) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1， 得圆心坐标为(1，-). 2.圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为(　　) A.(x+1)2+(y+2)2= B.x2+y2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.x2+y2= 答案　C 解析　因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)， 则圆的半径r==， 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 3.(多选)已知圆M：(x-4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心为(4，-3) B.圆M的圆心为(-4，3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 答案　ACD 解析　由圆M：(x-4)2+(y+3)2=52， 得圆心为(4，-3)，半径为5，则A，C正确，B错误； 令x=0，得y=0或y=-6，线段长为6，故D正确. 4.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1)，则原点O在(　　) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 答案　B 解析　由圆的标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a， 知圆心为(a，1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0<a<1， ∴>=r， 即原点在圆外. 5.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于(　　) A.-1 B.1或-3 C.-1或3 D.3 答案　C 解析　由(x-a)2+(y+1)2=4，知C(a，-1)，则|a-1|=|1-(-1)|，解得a=-1或a=3. 6.(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是(　　) A.x2+= B.x2+= C.x2+= D.x2+= 答案　CD 解析　由题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则rsin=1，rcos=|b|，解得r=，|b|=，即b=±.故圆的方程为x2+=. 7.(5分)与圆C：(x-1)2+y2=36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.  答案　(x-1)2+y2=18 解析　圆C的半径R=6， 设所求圆的半径为r， 则=， 所以r2=18， 又圆心坐标为(1，0)， 则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18. 8.(5分)若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为　　　　.  答案　1或5 解析　根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切， 则圆心C在直线y=x或y=-x上， 当圆心C在直线y=x上时， 设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2， 将(1，2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2， 即a2-6a+5=0，解得a=1或a=5， 此时圆的半径长为1或5； 当圆心C在直线y=-x上时， 设圆心C的坐标为(a，-a)， 此时圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=a2， 将(1，2)代入可得(1-a)2+(2+a)2=a2， 即a2+2a+5=0，方程无解， 综上所述，圆的半径长为1或5. 9.(10分)已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(4分) (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.(6分) 解　(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6-5)2+(9-6)2=a2，∴a2=10. 又a>0.∴a=. (2)由已知，得圆心N(5，6). ∵|PN|==， |QN|==3， ∴|PN|>|QN|， 故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是(3，). 10.(10分)已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(4分) (2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.(6分) 解　(1)当AB为直径时， 过A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB的中点(0，1)为圆心， 半径r=|AB|=， 则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)方法一　AB的斜率k=-3， 则AB的垂直平分线的方程是y-1=x， 即x-3y+3=0， 又圆心在直线2x-y-4=0上， 得两直线交点为圆心， 即圆心坐标是C(3，2)， r=|AC|==2， 故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 方法二　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则⇒ 故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 11.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 答案　B 解析　由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0， 得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0， 则解得 即P(-1，1). ∵圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)， ∴|PC|==5， ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 12.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=1 D.x2+y2=4 答案　ABC 解析　由题可知小正方形边长为2， 则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为(1，1)， 方程为(x-1)2+(y-1)2=1，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为(-1，1)， 方程为(x+1)2+(y-1)2=1，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为(-1，-1)， 方程为(x+1)2+(y+1)2=1，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为(1，-1)， 方程为(x-1)2+(y+1)2=1，没有选项符合； 外接圆圆心为(0，0)，半径为2， 方程为x2+y2=8，没有选项符合. 13.(5分)已知点P(x，y)为圆x2+y2=1上的动点，则x2-4y的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　∵点P(x，y)为圆x2+y2=1上的动点， ∴x2-4y=1-y2-4y=-(y+2)2+5. ∵y∈[-1，1]， ∴当y=1时，-(y+2)2+5有最小值-4. 14.(5分)大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　　　.  答案　1 解析　动点P的轨迹是以O为圆心， 2为半径的圆，即x2+y2=4， 而|OM|==1<2， 故点M在圆内， 所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小， 即|PM|min=2-|OM|=2-1=1. 15.(5分)曲线y=-(x≤0)的长度为　　　　.  答案　π 解析　由y=-得x2+y2=4(x≤0，y≤0)， 所以曲线y=-(x≤0)的图形是以原点为圆心， 以2为半径的圆在第三象限的弧长， 所以曲线y=-(x≤0)的长度是×4π=π. 16.(12分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度；(5分) (2)建立平面直角坐标系Oxy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.(7分) 解　(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π m， 所以每条直道的长度为 (400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O， 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)， 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296， 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 学科网（北京）股份有限公司 $