第2章 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦“点到直线的距离公式”“两条平行直线间的距离”核心知识点，前承两点间距离公式，通过坐标法、向量法推导公式，构建距离问题知识体系，为学生提供从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链引导公式推导，如用坐标法联立方程求垂足、向量法利用投影向量推导，培养逻辑推理与数学运算素养。例题涵盖基础应用（如求点到直线距离）、综合问题（如三角形面积计算）及最值探究，结合几何图形增强直观，课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式训练与课时练习查漏补缺，强化知识应用。

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 学习目标　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用(重点).3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离(重点). 导语 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下. 一、点到直线的距离公式 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为， ∴l'的方程为y-y0=(x-x0)， 与l联立方程组， 解得交点 Q， ∴|PQ|=. 问题2　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示　可以看作在直线l的垂线上的投影向量， 直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的斜率为-， 所以m=(B，-A)是它的一个方向向量. (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n=(A，B). (2)在直线l上任取点M(x，y)，P(x0，y0)， 可得向量=(x-x0，y-y0). (3)|PQ|=||=|·n|=. 知识梳理 点到直线的距离公式：d=. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 例1　(课本例5)　求点P(-1，2)到直线l：3x=2的距离. 解　点P(-1，2)到直线l：3x-2=0的距离 d==. 例1　(课本例6)　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解　如图，设边AB上的高为h， 则S△ABC=|AB|h. |AB|==2. 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离. 边AB所在直线l的方程为= 即x+y-4=0. 点C(-1，0)到直线l：x+y-4=0的距离 h==. 因此，S△ABC=×2×=5. 例1　已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y+1=k(x-2)， 即kx-y-2k-1=0， 由点到直线的距离公式得=2， 解得k=， 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 延伸探究　求过点P(2，-1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线. 由l⊥OP， 得kl·kOP=-1， 所以kl=-=2. 所以直线l的方程为y+1=2(x-2)， 即2x-y-5=0， 即直线2x-y-5=0是过点P且与原点距离最大的直线， 最大距离为=. 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. 二、两条平行直线间的距离 问题3　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4　怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离？ 提示　在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C2=0的距离，就是这两条平行直线间的距离， 即d=， 因为点P(x0，y0)在直线Ax+By+C1=0上， 所以Ax0+By0+C1=0， 即Ax0+By0=-C1， 因此d== =. 知识梳理 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d=. 注意点： (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 例2　(1)(课本例7)　已知两条平行直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离. 解　先求l1与x轴的交点A的坐标.容易知道，点A的坐标为(4，0).点A到直线l2的距离 d=== 所以l1与l2间的距离为. 例2　(1)(课本例8)　求证：两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=. 证明　在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离， 即d=. 因为点P(x0，y0)在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1，因此d===. 例2　(1)已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0.求l1，l2间的距离. 解　l1：2x-4y+7=0即x-2y+=0， 所以l1，l2间的距离为d===. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x+y-1=0与l2：x+y-3=0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直， 则由两平行线间的距离公式， 得|AB|==. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则两条平行直线间的距离d=. 跟踪训练1　已知直线5x+12y-3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是(　　) A.1 B.2 C. D.4 答案　A 解析　由两条直线平行可得=， 解得m=24. 则直线10x+24y+20=0， 即5x+12y+10=0， 由两条平行直线间的距离公式得d==1. 三、平行直线间的距离的最值问题 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|==3. 故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)由图可知，当d取最大值时， 两直线与AB垂直. 而kAB==， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3)， 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练2　已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　　　　　.  答案　x+2y-3=0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1，1)，B(0，-1). 所以kAB==2， 所以两条平行直线的斜率为-， 所以直线l1的方程为y-1=-(x-1)， 即x+2y-3=0. 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式. (2)两条平行线间的距离. (3)两条平行线间的距离的最值问题. 2.方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　D 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx+y-1=0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B. C.3 D.2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离 d==3， 所以m=0或m=. 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以=，所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0， 由两条平行直线间的距离公式可得d===. 4.P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行， 故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离d==. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　5x+12y+3=0可化为10x+24y+6=0. 由两条平行线间的距离公式可得d==. 2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于(　　) A. B.-1 C.+1 D.2- 答案　B 解析　由点到直线的距离公式， 得1=， 即|a+1|=. 因为a>0，所以a=-1. 3.(多选)已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 =， 化简得|3a+3|=|6a+4|， 解得a=-或a=-. 4.(多选)与直线3x-4y+1=0垂直，且与点(-1，-1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0 C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x+3y+C=0. 则=2， 即|C-7|=10，解得C=-3或C=17. 故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0. 5.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x+ay+6=0与 l2：(a-2)x+3y+2a=0平行， 则3=a(a-2)，即a2-2a-3=0， 解得a=3或a=-1， 当a=3时，直线l1：x+3y+6=0与l2：x+3y+6=0重合，不符题意； 当a=-1时，直线l1：x-y+6=0与l2：x-y+=0平行， 两条平行直线之间的距离为=. 6.点P(-2，-1)到直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的距离最大时，直线l的方程为(　　) A.2x-3y-2=0 B.3x+2y+8=0 C.3x+2y-5=0 D.2x-3y+1=0 答案　C 解析　由直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的方程整理可得m(x-1)+y-1=0， 可得直线l恒过定点Q(1，1)， 所以kPQ==， 当PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大， 可得直线l的斜率为-m=-，即m=， 所以直线l的方程为3x+2y-3-2=0， 即3x+2y-5=0. 7.(5分)经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　　　　.  答案　2 解析　设所求直线的方程为 x+3y-10+λ(3x-y)=0， 即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0， 因为原点到直线的距离 d==1， 所以λ=±3，即直线方程为x-1=0或 4x-3y+5=0， 所以所求直线的条数为2. 8.(5分)与三条直线l1：x-y+2=0，l2：x-y-3=0，l3：x+y-5=0可围成正方形的直线方程为　　　　　　　　　　　　　.  答案　x+y=0或x+y-10=0 解析　易知l1∥l2，且它们之间的距离 d==. 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x+y+c=0(c≠-5)， 则=，解得c=0或c=-10， 所以所求直线方程为x+y=0或x+y-10=0. 9.(10分)设直线l1：x-2y-1=0与l2：(3-m)x+my+m2-3m=0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(4分) (2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程.(6分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴=-，∴m=6， ∴l1：x-2y-1=0，l2：x-2y-6=0， ∴l1，l2之间的距离d==. (2)由题意，得∴0<m<3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S=m(3-m)=-+， ∴当m=时，S的最大值为， 此时直线l2的方程为2x+2y-3=0. 10.(10分)已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3，1)到该直线的距离为，求该直线的方程. 解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y=kx， 即kx-y=0，由已知得=， 整理得7k2-6k-1=0， 解得k=-或k=1， 所以所求直线的方程为x+7y=0或x-y=0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x+y=a， 由题意得=， 整理得|a-4|=2， 解得a=6或a=2， 所以所求直线的方程为x+y-6=0或 x+y-2=0. 综上所述，所求直线方程为x+7y=0或x-y=0或x+y-6=0或x+y-2=0. 11.(多选)已知点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为(　　) A.(1，2) B.(3，-4) C.(2，-1) D.(4，-3) 答案　AC 解析　设点P的坐标为(a，5-3a)， 由题意得=， 解得a=1或a=2， 所以点P的坐标为(1，2)或(2，-1). 12.点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　点P到直线的距离为d==，其中sin φ=，cos φ=，由三角函数性质易知，5sin(θ+φ)-12∈[-17，-7]， 故d的取值范围为. 13.已知△ABC的三边所在的方程分别是lAB：4x-3y+10=0，lBC：y=2，lAC：3x-4y=5，则∠BAC的平分线所在的直线方程为(　　) A.x+y+15=0 B.7x-7y+5=0 C.6x-7y+3=0 D.7x-6y+3=0 答案　B 解析　设点P(x，y)为∠BAC的平分线上任意一点，则点P到直线AB，AC的距离相等. 所以=， 所以4x-3y+10=3x-4y-5 或4x-3y+10=-(3x-4y-5)， 即点P所在直线方程为x+y+15=0或7x-7y+5=0. 又因为kAB=，kAC=，即∠BAC的平分线所在的直线方程的斜率在和之间， 所以∠BAC的平分线所在的直线方程为7x-7y+5=0. 14.(5分)若某直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　.  答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式， 可得直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0的距离为d==， 又直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2， 即该直线与直线l1所成角为30°， 又直线l1的倾斜角为45°， 则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15.已知实数a，b，c，d满足3a-4b+3=0，3c-4d-7=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意得，点A(a，b)在直线3x-4y+3=0上，点B(c，d)在直线3x-4y-7=0上，所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线间距离的平方，即=4. 16.(12分)某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中|AB|=40，|BC|=15，O为AB上一点(不与端点重合)，且|BO|=10，线段OC，OD，MN为表演队列所在位置(M，N分别在线段OD，OC上)，△OCD内的点P为领队位置(点P在线段MN上)，且点P到OC，OD的距离分别为，记|OM|=d，我们知道当△OMN的面积最小时观赏效果最好. (1)当d为何值时，P为队列MN的中点？(6分) (2)求观赏效果最好时△OMN的面积.(6分) 解　以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C(10，15)，B(10，0)，D(-30，15)， ∴直线OC的方程为y=x， 直线OD的方程为y=-x， 设P(a，b)(b>0)，M(-2m，m)，N(m>0，n>0). 由题意得 ∴或(舍去)或(舍去，此时点P不在△OCD内)或(舍去)， ∴P. (1)∵P为MN的中点，∴ 解得∴M， ∴d==， ∴当d=时，P为队列MN的中点. (2)由M，N，P三点共线，得=， 即5m+n=4mn，即+=4， ∴S△OMN=×+×=m+n= =+ ≥+×2×=， 当且仅当即时，等号成立， ∴观赏效果最好时△OMN的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $