2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行直线间的距离同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A级（9题）、B级（6题）、C级（1题）分层设计，实现从单一公式应用到综合问题解决再到创新探究的知识巩固路径，适配不同能力学生的同步学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|点到直线距离公式、平行线间距离公式的直接应用|以选择、填空为主，如直接计算点到直线距离（题1）、已知距离求参数（题4），强化运算能力与概念理解| |B级|距离公式与直线位置关系、定点问题、最值问题的综合应用|结合新定义“相关直线”（题10）、中线与角平分线综合（题13），培养推理能力与几何直观| |C级|含参数直线的距离最值、面积优化等跨情境创新应用|通过参数讨论与不等式求最值（题16），发展模型观念与创新意识，体现数学思维的严谨性|

2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离 A级　必备知识基础练 1.(2026河北石家庄高二期中)点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离是(　　) A. B. C. D. 2.点(2,-3)到直线x=-1与直线y=1的距离之和为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 3.(2026天津高二期中)若直线l1:x+y-1=0与直线l2:2x+my+3=0平行,则两直线之间的距离是(　　) A.5 B. C. D. 4.已知A(4,0)到直线4x-3y+a=0的距离等于3,则a的值为(　　) A.-1 B.-13或-19 C.-1或-31 D.-13 5.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0 6.(多选题)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是,则点P的坐标可能为(　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) 7.已知直线l的方程为=1,则点(-1,0)到直线l的距离为　　　　　.  8.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　.  9.(2026浙江高二期中)已知△ABC的三个顶点是A(2,3),B(4,1),C(0,-1). (1)求BC边上的高所在直线l1的方程; (2)若直线l2过点C,且点A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程. B级　关键能力提升练 10.(2026北京高二期中)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P,使得|PM|=,则称该直线为点M的“相关直线”.下列直线中不是点M的“相关直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0 11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 12.(2026江苏南通高二期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知点P在直线x+y+2=0上,=(1,0),则|OQ|的最小值为　　　　　.  13.(2026四川高二期中)已知△ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在直线方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线所在直线方程为y=x,则△ABC的面积为　　　　　.  14.已知x+y-3=0,则的最小值为　　　　　.  15.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程; (2)求△OAB面积的最小值. C级　学科素养创新练 16.已知直线l:(2m+1)x-(3+m)y+m-7=0. (1)m为何值时,点Q(3,4)到直线l的距离最大?并求出最大值. (2)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程. 答案 1.D　由题可知,点A到直线l的距离d=.故选D. 2.D　由题可知,点(2,-3)到直线x=-1的距离为|2-(-1)|=3,到直线y=1的距离为|-3-1|=4, 故点(2,-3)到直线x=-1与直线y=1的距离之和为7.故选D. 3.C　由题可知直线l1的斜率为-,直线l2的斜率-. 因为两直线平行,则斜率相等,故-=-,解得m=2, 可得l2:2x+2y+3=0,此时两条直线不重合,将直线l1变形为2x+2y-2=0. 由平行线间距离公式可得d=.故选C. 4.C 5.A　根据题意得,所求直线与直线OA垂直, 因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-. 所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 6.AC　设P点坐标为(a,5-3a), 由题意知,解得a=1或a=2, 故P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC. 7.3　直线l的一般式方程为3x-4y-12=0, 所以点(-1,0)到直线l的距离为d==3. 8.3　由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3. 9.解 (1)因为kBC=,所以BC边上的高所在直线l1的斜率为k=-2. 由于直线l1过点A(2,3),所以l1的直线方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0. (2)因为点A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过线段AB的中点. ①当直线l2与AB平行时,则直线l2的斜率k=kAB==-1.又l2过点C(0,-1),所以直线l2的方程为y+1=-(x-0),即x+y+1=0. ②当直线l2过线段AB的中点(3,2)时,则直线l2的斜率k==1,所以直线l2的方程为y+1=x-0,即x-y-1=0. 综上所述,直线l2的方程为x+y+1=0或x-y-1=0. 10.D　根据题意,当点M到直线l的距离d≤时,该直线上存在点P,使得|PM|=,此时直线l为点M(5,0)的“相关直线”. 对于A,M(5,0)到直线y=x+1的距离d==3,则该直线是点M的“相关直线”,故A不符合; 对于B,M(5,0)到直线y=2的距离d=|0-2|=2<,则该直线是点M的“相关直线”,故B不符合; 对于C,M(5,0)到直线4x-3y=0的距离d==4<,则该直线是点M的“相关直线”,故C不符合; 对于D,M(5,0)到直线2x-y+1=0的距离d=,则该直线不是点M的“相关直线”,故D符合.故选D. 11.B　由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2). ∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上, ∴y=1-2x,∴|MP|=, 故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B. 12.　设P(a,-a-2),∵=(1,0),则Q(a+1,-a-2). ∵a+1+(-a)-2=-1,则点Q在直线l:x+y+1=0上.当OQ⊥l时,|OQ|最小,|OQ|min=d=. 13.　由题意知,设B(a,a),则AB的中点M()且M在直线CM:x+2y-1=0上, ∴+2×-1=0,解得a=-1,∴B(-1,-1). 由角平分线的性质,点A关于∠ABC平分线的对称点E(m,n)在直线BC上, 则解得 所以E(2,1),故直线BC的方程为, 整理得y=x-. 联立解得即C(), 得|BC|=. 点A到直线BC的距离为d=, 所以S△ABC=d|BC|=. 14.　设P(x,y),A(2,-1),则点P在直线x+y-3=0上,且=|PA|. |PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=. 15.解 (1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,解得k=-.故直线l的方程为-x-y-4×(-)+3=0,即7x+24y-100=0. (2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,所以A(-+4,0),B(0,-4k+3). 则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×(-+4)×(-4k+3)=(--16k+24). 由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立. 故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24. 16.解 (1)已知直线l:(2m+1)x-(3+m)y+m-7=0, 整理得(2x-y+1)m+x-3y-7=0. 由解得 故直线l过定点P(-2,-3). 因为点Q(3,4)到直线l的距离最大,则点Q与定点P的连线的距离即为所求最大值, 即为最大值. 因为kPQ=,所以(2m+1)x-(3+m)y+m-7=0的斜率为-,得-,解得m=-. (2)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点, 设直线l的方程为y+3=k(x+2),k<0,则A(-2,0),B(0,2k-3), 故S△AOB=-2·|2k-3|=(2-)·(3-2k)=[12+(-4k)+(-)]≥12, 当且仅当k=-时,等号成立. 故△AOB面积的最小值为12,此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 4 学科网（北京）股份有限公司 $