2.3.1-2.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式 新课导入 如图,小王与小李两位同学早上从家出发去上学，同时到达学校.假设两人的行走路线都是直线，则学校可以看作两条直线的交点，假设两人速度一样，那么两人从家出发的时间一样吗？ 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间的距离公式并会应用. 4.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 新知学习 探究 一 两条直线的交点问题 思考．关于，的二元一次方程组 的解与直线与有何关系？ 提示：方程组的解 对应的点，为两条直线的公共点. ［知识梳理］ 已知两条直线的方程是,,设这两条直线的交点为，则点既在直线①_ _ _ _ _ _ _ _ 上，也在直线②_ _ _ _ _ _ 上.所以点的坐标既满足直线的方程,也满足直线的方程,即点的坐标是方程组的解. 【答案】； ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（ ） （2） 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（ ） （3） 直线和的交点有无数个.（ ） （4） 直线与的交点坐标是.（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） × （4） √ 2．若直线与直线的交点纵坐标为4，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】选.因为直线 与直线 的交点纵坐标为4，所以将 代入直线方程 中，得.所以交点坐标为.将交点坐标 代入 中，得. 3．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，，联立方程可得 又直线 的斜率为，所以所求的直线斜率为，故直线方程为，即. （1）求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法求解即可. （2）当多条直线相交于同一点时，先选两条直线求交点，再利用此点必在其余直线上解决问题. 二 两点间的距离公式及应用 思考1．在轴上有两点，，如何求，两点间的距离？ 提示：. 思考2．已知平面内两点，，当与坐标轴不平行时，怎样求这两点间的距离? 提示：当 与坐标轴不平行时，如图， 在 中，，所以. 即两点，间的距离. ［知识梳理］ 条件 点, 结论 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 特例 原点与任一点间的距离②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ［例1］ （1） 已知点，，，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 （2） 已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 或 【解析】 （1） 因为，， ，所以，故 为直角三角形. （2） 因为点 是直线 上一点， 可设， 则， 解得 或， 所以点 的坐标为 或. 关于两点间距离公式的应用 （1）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断. （2）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验. ［跟踪训练1］． （1） 以，，，为顶点的四边形的形状是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 （2） 若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.因为，，，，所以,,， 且， ， 所以四边形 为平行四边形， 又，则四边形 为矩形， 又，则四边形 为正方形. （2） 两直线不平行，故， 联立 与， 解得 因为点 在第二象限， 故，,解得，由题意得，解得 或（舍去），故. 三 坐标法的应用 ［例2］ （对接教材例4）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直. 【证明】 如图所示，四边形 是菱形， 以 为 轴，过 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为，,,,连接，，则,, 因为四边形 是菱形，所以， 即， 因为， 所以，菱形的对角线互相垂直. 用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. 注意 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. ［跟踪训练2］．如图所示，正方形中，在上任取一点（点不与，重合），过点作的垂线交的外角平分线于点.用坐标法证明：. 证明：以 为原点，射线，分别为 轴、轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设正方形边长为， 则，， 设点 的坐标为. ，则，① .② 联立①②可得. 因为，， 所以. 课堂巩固 自测 1．（教材P72T1改编）直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.解方程组 得 所以所求交点坐标为. 2．[（2025·北京期中）]过点，的直线的斜率为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.依题意，，解得，所以，, 所以. 3．（多选）在等腰直角三角形中， ，若点，的坐标分别为，，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设，由题意得 所以 解得 或 故点 的坐标为 或. 4．（教材P74T1改编）已知点的坐标为，线段中点的坐标为，，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ，. 【答案】； 25 【解析】设 点的坐标为， 因为点 的坐标为，线段 中点的坐标为,， 所以 解得 即 点的坐标为， 所以. 5．经过两条直线,的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 解得 故交点坐标为，因为直线的一个方向向量，所以直线方程为，即. 1.已学习：两条直线的交点、两点间的距离公式及应用，用坐标法解决几何问题. 2.须贯通：（1）利用方程思想求两直线交点的坐标；（2）利用坐标法解决平面几何问题，体会数形结合的数学思想. 3.应注意：利用距离求参数问题易漏解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知点与点之间的距离为5，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】C 【解析】选.因为点 与点 之间的距离为5，可得，整理得，解得 或. 2．[（2025·扬州期中）]已知的顶点为，，，则边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】选.设 的中点为， 因为，，所以, 所以 边上的中线长. 3．若直线经过两直线和的交点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】选.联立 可得 即交点坐标为， 将 代入直线，可得. 4．若直线的斜率、在轴上的截距分别为2,，直线经过原点且斜率为3，则直线，的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意，直线 的方程为，直线 的方程为，联立 解得 故直线,的交点为. 5．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】选.联立 解得 即交点坐标为,， 因为交点在第一象限，所以 解得. 6．（多选）对于，下列说法正确的是（ ） A. 可看作点与点的距离 B. 可看作点与点的距离 C. 可看作点与点的距离 D. 可看作点与点的距离 【答案】BD 【解析】选.由题意，可得 ， 可看作点 与点 的距离，可看作点 与点 的距离，可看作点 与点 的距离. 7．过直线和的交点，倾斜角为 的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】联立 可得 故交点坐标为,，又倾斜角为 ，所以斜率为1，故直线方程为，即. 8．直线和直线分别过定点和，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】直线 经过的定点坐标为，直线 经过的定点坐标为，所以. 9．已知直线，，若满足，则两直线的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】因为直线 与直线 垂直，所以，解得， 所以 即 解得 故两直线的交点坐标为，. 10．[（2025·常州期中）]（13分）已知直线的方程为，若直线过点,，且. （1） 求直线和直线的交点坐标；（6分） （2） 已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程.（7分） 【答案】 （1） 解：经过点,且与 垂直的直线为，即. 由 解得 所以直线 和直线 的交点坐标为. （2） 因为直线 与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0.设. 直线 交 轴于点,， 交 轴于点. 由，可得 或. 所以直线 的方程为 或. B 能力提升 11．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】选.因为三条直线，，将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条直线平行且与第三条直线相交. 当三条直线交于一点时， 联立 可得， 此时，即； 当两条直线平行且与第三条直线相交时，可得 或，所以 或. 12．（多选）已知点，，直线上存在点满足，则的值可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】CD 【解析】选.直线 变形为，故直线 过定点，且斜率为，又， 要想直线 上存在点 满足， 即 与线段 有交点，因为,，故,，解得,，故，满足要求. 13．（13分）如图所示，已知是的边上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：. 证明：以 所在的直线为 轴，过点 作垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设,, 则. , , 所以. 14．（17分）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1） 求点坐标；（4分） （2） 求直线的方程;（6分） （3） 在线段上是否存在一点（异于点），使得?若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由.（7分） 【答案】 （1） 解：因为 边上的高 所在的直线方程为， 所以，所以， 又直线 经过点， 所以直线 的方程为， 即. 联立 解得 即点. （2） 设，由 为边 上的中线， 且， 得 的中点坐标为,. 又点 在直线 上， 所以有，① 又点 在直线 上， 所以，② 联立①②解得,，即点， 又，所以， 所以直线 的方程为， 即. （3） 假设在线段 上存在一点，使得， 则有，③ ，④ 又，⑤ 联立③④⑤解得 所以存在点 满足题意，此时点,. C 素养拓展 15．[（2025·青岛期中）]数学家欧拉1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若的顶点，，，则欧拉线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 的顶点，，， 则其重心为，, 即，. 显然 的外心 在线段 的中垂线 上，故可设， 由， 可得， 解得,则外心坐标为， 于是,故欧拉线方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $