2.3.1 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点坐标与两点间的距离公式”核心知识点，先通过方程组解的情况梳理两直线相交、重合、平行的位置关系，再构建平面及直线上两点间距离公式，形成从代数方程到几何度量的完整学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，通过交点坐标应用、直线系过定点等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理求解的能力，借助距离公式应用题型强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.3.1 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式 知识点一、两条直线的交点坐标 1.两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若点A是直线l1与l2的交点，则点P 的坐标就是方程组的解. 2.两直线的位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 0个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二、两点间的距离公式 1.平面上两点间的距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 注意： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2.直线上两点间的距离公式 已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 由两点间的距离公式可得|P1P2|＝或|P1P2|. 题型一：直线的交点坐标及其应用 例1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A. B. C. D. 例2.（多选）已知三条直线相交于一点，则的值为( ) A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知直线，直线，则与的交点坐标为( ) A. B. C. D. 2.若直线和直线的交点在轴上，则的值是( ) A. B. C. D. 3.(1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程； (2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程． 题型二：直线系过定点问题 例1.无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 跟踪训练： 1.已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 2.求证：无论为何值，直线都过一定点. 题型三：两点间的距离公式 例1.（1）已知的三个顶点，则边上的中线长为 . （2）直线上的两点的横坐标分别是，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 跟踪训练： 1.已知直线上存在一点，它到点的距离为，则直线的方程为 . 2.(1)已知点,点在线段(含端点)上移动，则的最小值为 . （2）直线与直线交于点,是实数,为坐标原点，则的最大值为( ) A.2 B. C. D.4 3.已知的三个顶点,试判断的形状. 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(－3，－2) B．(－2，－3) C．(3,2) D．(2,3) 2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为 ． 4.到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋6＝0 C．3x－y－8＝0 D．3x＋y＋2＝0 5.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．2 C．4 D．2 6.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 7.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝ . 8.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为 . 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　 　) A．(3,4) B．(－4,3) C．(－4，－3) D．(4,3) 2.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　 　) A．19x－3y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－9y＝0 D．3x＋19y＝0 3.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(－1,0)，C(2,3)，则△ABC的周长是(　 　) A．3＋2 B．6＋ C．6＋ D．2 4.．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是(　　) A．(－2,3) B．(－2,0) C. (1,) D．(2,3) 5.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　 　) A. B. C. D. 6.已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是(　　) A.4 B. C.2 D.0 7.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　) A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1 C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 8.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为 ． 9.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝ ，c＝ ，m＝ ． 10.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 11.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为 ． 12.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ ． 13.光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为 ． 14.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 15.直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程. 16.光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式 知识点一、两条直线的交点坐标 1.两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若点A是直线l1与l2的交点，则点P 的坐标就是方程组的解. 2.两直线的位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 0个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二、两点间的距离公式 1.平面上两点间的距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 注意： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2.直线上两点间的距离公式 已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 由两点间的距离公式可得|P1P2|＝或|P1P2|. 题型一：直线的交点坐标及其应用 例1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A. B. C. D. 解：联立两条直线方程可得交点坐标为 .故选：B. 例2.（多选）已知三条直线相交于一点，则的值为( ) A. B. C. D. 解：解方程组得.所以两条直线的交点坐标为. 该点也在第三条直线上，即坐标满足方程，所以， 解得或.故选：AC. 跟踪训练： 1.已知直线，直线，则与的交点坐标为( ) A. B. C. D. 解：解方程组得，即与的交点坐标为.故选：D. 2.若直线和直线的交点在轴上，则的值是( ) A. B. C. D. 解：方法1待定系数法:设两直线的交点坐标为，则,消去，可得. 方法2解方程组法:由消去得.令，解得. 故选：C. 3.(1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程； (2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程． 解：(1)联立，解得.所以直线 l1与l2的交点为(－2,2)．由两点式可得所求直线的方程为，即x－4y＋10＝0. (2)由方程组，解得：.因为所求直线和直线3x＋y－1＝0垂直， 所以所求直线的斜率k＝，所以有y－＝， 即所求的直线方程为5x－15y－18＝0. 题型二：直线系过定点问题 例1.无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解：∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴，∴.∴点P的坐标为(7,3)． 跟踪训练： 1.已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． 证明：将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为， 即直线系恒过第一象限内的定点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限． 2.求证：无论为何值，直线都过一定点. 证明：方法1赋值法：当时，直线方程为； 当时，直线方程为.这两条直线的交点坐标为，且该点在直线上，故无论取何值，直线都过定点. 方法2转化法：直线的方程可化为. 所以无论取何值，直线都过直线与的交点. 解方程组，得. 即交点坐标为.故无论取何值，直线都过定点. 题型三：两点间的距离公式 例1.（1）已知的三个顶点，则边上的中线长为 . 解：设的中点为，则，所以， 则边上的中线长为.故答案为：. （2）直线上的两点的横坐标分别是，则（ ） A. B. C. D. 解：方法1：由题意可得， 所以. 方法2：.故选：B. 例2.已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设P(x，0)，|PA|＝，|PB|＝， ∵|PA|＝|PB|，∴， 解得x＝1，∴P(1,0)，∴|PA|＝＝2. 跟踪训练： 1.已知直线上存在一点，它到点的距离为，则直线的方程为 . 解：因为点在直线上，所以可设， 所以，即，解得或， 所以点的坐标为或，所以直线的方程为或， 即或.故答案为：或. 2.(1)已知点,点在线段(含端点)上移动，则的最小值为 . （2）直线与直线交于点,是实数,为坐标原点，则的最大值为( ) A.2 B. C. D.4 解：(1)的几何意义表示点与点的距离，如图2-3-5，由图可知间的距离最短，所以所求最小值为.故答案为：5. （2）直线与直线的交点,所以.所以当时,取最大值.故选：B. 3.已知的三个顶点,试判断的形状. 解：方法1：因为, ,, 所以,且,所以是等腰直角三角形. 方法2：因为,所以,所以. 又,所以,所以是等腰直角三角形. 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(－3，－2) B．(－2，－3) C．(3,2) D．(2,3) 解：解方程组，解得：.故选：D. 2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 解：直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令，解得：. ∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C. 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为 ． 解：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.故答案为：2x＋y－4＝0. 4.到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋6＝0 C．3x－y－8＝0 D．3x＋y＋2＝0 解：设P(x，y)，则，即3x＋y＋4＝0.故选：A. 5.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．2 C．4 D．2 解：∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝.故选：A. 6.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 解：设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或.故选：BC. 7.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝ . 解：解方程组，解得.又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝.故答案为：. 8.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为 . 解：BC的中点坐标为(0,1)，则BC边上的中线长为. 故答案为：. 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　 　) A．(3,4) B．(－4,3) C．(－4，－3) D．(4,3) 解：联立方程组，解得：.故选：B. 2.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　 　) A．19x－3y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－9y＝0 D．3x＋19y＝0 解：联立方程组 ，解得：.故过点和原点的直线方程为y＝x，即3x＋19y＝0.故选：D. 3.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(－1,0)，C(2,3)，则△ABC的周长是(　 　) A．3＋2 B．6＋ C．6＋ D．2 解：由两点间距离公式得|CB|＝， |BA|＝，|CA|＝. 故△ABC的周长为6＋.故选：B. 4.．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是(　　) A．(－2,3) B．(－2,0) C. (1,) D．(2,3) 解：直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.则 ，解得：. 所以直线过定点(－2,3)．故选：A. 5.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　 　) A. B. C. D. 解：由中点坐标公式可得，BC边的中点D（,6）. 由两点间的距离公式得|AD|＝.故选：B. 6.已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是(　　) A.4 B. C.2 D.0 解：S＝可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.故选：C. 7.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　) A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1 C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 解：①若三条直线重合，由三条直线的方程可知a＝1. ②若三条直线交于一点，由 ，解得：. 将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1(舍去)或a＝－2. ③若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，得a＝±1，当a＝1时，l1与l2重合． ④若l2∥l3，由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合． ⑤若l1∥l3，由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2. 8.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为 ． 解：联立，解得. 又点(4，－2)在直线ax＋2y＋8＝0上，代入得：4a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.故答案为：－1. 9.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝ ，c＝ ，m＝ ． 解：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点(1，m)在直线上得a＋2m－1＝0,2－5m＋c＝0，所以m＝－2，c＝－12.故答案为：5，－12，－2. 10.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为 ． 解：设Q(x0,0)，则有13＝，得x0＝0或x0＝10.故答案为：(10,0)或(0,0). 11.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为 ． 解：如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 故答案为：(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 12.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ ． 解：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10.故答案为：10. 13.光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为 ． 解：B(－3,5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，AB′交x轴于P点， 所以|PA|＋|PB|＝|AB′|＝，即光线从B到A经过的路程为. 故答案为：. 14.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)， 联立方程组，解得.则B. 由|AB|＝，解得k＝， ∴直线l的方程为y＋1＝(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意， 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 15.直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程． 解：方法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)， ∵A在l1上，B在l2上，∴，解得.∴kAP＝， 故所求直线l的方程为y＝x＋1，即所求直线l的方程为x＋4y－4＝0. 16.光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)， 则，解得解得，所以A′(－4，－3)． 由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为y－1＝·(x－1)，即4x－5y＋1＝0. 解方程组，解得：解得： .所以反射点P. 所以入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $