第2章 2.1.1 倾斜角与斜率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从直线确定方式引入倾斜角概念，明确其定义与0°≤α<180°的范围，再通过倾斜角正切值定义斜率，推导两点斜率公式，形成从概念到公式再到应用的完整学习支架。 以“坡度”现实情境导入培养数学眼光，问题链设计驱动数学思维（如倾斜角旋转分类讨论），例题与跟踪训练结合坐标计算强化数学语言表达。课中图示辅助直观理解，分层练习助力教师教学，课后课时对点练帮助学生查漏补缺。

2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标　1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点).2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点). 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k==.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下. 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 知识梳理 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1， 故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时， l1的倾斜角为α+45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　.  答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)， 直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°， 即直线l的倾斜角为60°. (1)　　　　　　(2) ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　.  答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2， l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 二、直线的斜率 问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　(1)tan α==. (2)tan α==1-. (3)tan α=. 知识梳理 1.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.  2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 注意点： (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°. (3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=. 例2　(课本例1)　如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解　直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC===-； 直线CA的斜率kCA===1. 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)P(-3，1)，Q(-3，10)； (3)M(2，4)，N(-3，4). 解　(1)存在.直线AB的斜率kAB==1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α=1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α=45°. (2)不存在.因为xP=xQ=-3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°. (3)存在.因为yM=yN=4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°. 反思感悟　求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　.  答案　- (2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　.  答案　1 解析　由斜率公式k==1，得m=1. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1)，则直线l的倾斜角为　　　　 .  答案　 解析　设直线l的斜率为k， 则k=所以直线的倾斜角为. 三、倾斜角和斜率的应用 问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 知识梳理　设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 例3　已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解　如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 跟踪训练3　已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率 kAB==. 直线AC的斜率kAC==. 故直线AB的斜率为直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案　A 解析　由题意知，tan 45°=得m=2. 3.已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x=　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　.  答案　3　 解析　因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线， 所以kAB=kBC， 即=解得x=3， 设直线AB的倾斜角为θ， 由tan θ=1得θ= 所以直线AB的倾斜角为. 4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.(其中m≥1)  答案　0°<α≤90° 解析　当m=1时，倾斜角α=90°； 当m>1时，tan α=>0， ∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) 答案　D 解析　D项，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 2.已知点A(1)，B(33)，则直线AB的倾斜角θ是(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　B 解析　kAB== ∴tan θ=且0°≤θ<180°， ∴θ=30°. 3.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 答案　AC 解析　设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1， 解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3). 4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是(　　) A.(2，3) B.(3，2) C.(-3，-2) D.(-3，2) 答案　D 解析　斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线. 5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0. 6.若某直线的斜率k∈(-∞]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(-∞]， ∴k≤tan ∴该直线的倾斜角α的取值范围是 ∪. 7.(5分)已知直线l经过(1，0)，(2)两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是　　　　　　.  答案　 解析　由直线l经过(1，0)，(2)两点， 则直线l的斜率k1== 设直线m的倾斜角为α， 所以直线m的斜率k2=tan α= 因为0≤α<π，所以α=. 8.(5分)若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=　　　　.  答案　-2 解析　由点P(3，m)在过点A(2，-1)和B(-3，4)的直线上， 可得=即==-1，解得m=-2. 9.(10分)已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(2分) (2)直线l与y轴平行？(2分) (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1).(2分) (4)直线的倾斜角为45°？(2分) (5)直线的倾斜角为锐角？(2分) 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k==0， ∴m=1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m=-1. (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)， 故k=即=解得m=. (4)由题意可知，直线l的斜率k=1， 即=1，解得m=0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得-1<m<1. 10.(12分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=kBD=tan 120°=-. 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A'(a-2，b+2)， 于是直线l的斜率k=kAA'==-1. 12.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. B. C. D.{k|k<2} 答案　A 解析　∵kAP==2， kBP==如图， 又直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 13.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(0，4) C.[2，4) D.(0，2)∪(2，4) 答案　B 解析　由直线的倾斜角α的取值范围是得直线的斜率存在时，k<-1或k>1. 当m≠2时，k== ∴<-1或>1， 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m=2符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0，4). 14.(5分)若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+的值为　　　　.  答案　 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB=kAC， 即=即ab=2a+2b， 两边同除以ab，得1=+即+=. 15.已知f(x)=log2(x+1)，且a>b>c>0，则的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图所示. 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 16.(12分)已知实数x，y满足方程x+2y=6，当1≤x≤3时，求的取值范围. 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB， 且AB又kNA=-kNB= 所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $