2.1.2两条直线的位置关系(解析几何中平行与垂直)讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

两条直线的位置关系(平行与垂直)学习指导讲义 解读·素养要求 学科素养 要求 数学抽象 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 直观想象 通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式, 会运用条件判定两直线是否平行或垂直 逻辑推理 了解斜率公式的推导过程, 能够利用斜率公式解决相应的几何问题 数学运算 会利用斜率公式求解，能利用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题 两条直线平行和垂直的判定 (1)两条不重合直线平行的判定 若直线, 的斜率分别为, , 则 ; 若直线, 的斜率都不存在, 则. (2)两条直线垂直的判定 若直线, 的斜率分别为, , 则 ; 若直线, 中的一条斜率不存在,即倾斜角为, 另一条的斜率为, 则. 提炼重点，整合方法 例1. 直线的斜率为, 直线经过点, 判断直线与直线的位置关系? 解析 因为, 所以, 所以与平行或重合. 答案 平行或重合 【总结提升】本题中易忽略两条直线可能重合的情况而致错, 应该充分认识在平面中两条直线的位置关系在无特别说明的情况下应该是平行、相交和重合. 考查转化思想和方程思想, 考查的核心素养为数学运算和直观想象. 例2. 已知, 且直线与直线平行, 求的值. 解析 当与斜率均不存在时, , 此时; 当时, , 由, 此时. 故的值为或. 答案 或. 【总结提升】本题中对判断两条不重合的直线是否平行的方法认识不到位而容易致错,易忽略直线斜率不存在的情况， 应该充分理解如下判断两条不重合的直线是否平行的方法. 考查分类讨论思想和方程思想, 考查的核心素养为数学运算. 实践·素养提升 考法 1两条直线平行的判定 1. 根据下列给定的条件, 判断直线与直线是否平行. (1)经过点, , 经过点, ; (2)的倾斜角为, 经过点, ; (3)平行于轴, 经过点, . 1. 解: (1)由题意, 知直线的斜率, 直线的斜率. 因为, 且四点不共线, 所以. (2)由题意, 知直线的斜率, 直线的斜率, 所以, 所以或与重合. (3)因为经过点, , 所以的斜率不存在, 又平行于轴, 所以. 2. 已知直线的倾斜角为, 直线经过点, , 则直线与的位置关系是 . 2. 平行或重合. 由已知, 得, , 所以, 但直线在轴交点位置不确定, 所以直线与的位置关系是平行或重合. 故答案为: 平行或重合. 3. 若过点和点的直线与过点和点的直线平行, 则的值是 . 3. 由题意, 可知, 所以=, 解得. 经检验, 符合题意. 故答案为: 4. 已知四边形的四个顶点分别为, 试判断四边形是否为平行四边形, 并给出证明. 4. 四边形是平行四边形, 证明如下: 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率. 所以, 所以. 所以四边形是平行四边形. 考法2两条直线垂直的判定 5. 判断下列各小题中与是否垂直. (1)经过点; 经过点; (2)的斜率为; 经过点; (3)经过点; 经过点. 5. 解: (1)因为, 所以, 所以与不垂直. (2)因为, , 所以, 所以. (3)由的横坐标相等, 可知的倾斜角为, 所以轴. , 所以轴, 所以. 6. 已知三个顶点坐标分别为, 则边上的高所在直线的斜率为 . 6. 解: 由, 可知直线的斜率, 所以边上的高所在直线的斜率为. 故答案为: . 7. 已知的顶点为, 若为直角三角形, 求的取值集合. 7. 解: 若为直角, 则所以, 所以, 解得; 若为直角, 则所以, 所以, 解得; 若为直角, 则所以, 所以, 解得. 综上, 的取值集合为. 8. 已知两条直线的斜率是方程的两个根, 则与的位置关系是 . 8. 解: 由方程, 知恒成立. 所以方程有两不同的实根, 即与的斜率均存在. 设方程的两根分别为, 则, 所以. 所以与的位置关系是垂直. 故答案为: 垂直. 考法3平行与垂直的综合应用 9. 已知, 则四边形的形状为 . 9. 正方形 解: 因为, 所以, 又, 所以, 所以四边形为矩形. 又, 所以, 故四边形为正方形. 故答案为: 正方形. 10. 已知 (1)求点的坐标, 满足. (2)若点在轴上, 且, 求直线的倾斜角. 10. 解: 设, 由已知得, 又, 所以, 所以①,由已知得, 又, 所以, 所以② 联立①②, 解得, 所以 (2)由点在轴上, 设, 因为, 所以, 又, 所以, 解得, 所以, 又, 所以轴, 故直线的倾斜角为. 11. 已知四点构成的四边形是平行四边形, 求点的坐标. 11. 解: 由, 得, 设的坐标为, 分以下三种情况: (1)当为对角线时, 有, 所以, , 得; (2)当为对角线时, 有, 所以, , 得; (3)当为对角线时, 有, 所以, 得 所以的坐标为或或. 12. 已知点, 求点的坐标, 使四边形为直角梯形(按逆时针方向排列). 12. 解: 设点的坐标为, 如图所示, 由, 可得, 即与不垂直, 故都不可作为直角梯形的直角边. (1)若是直角梯形的直角腰, 则, 因为, 所以的斜率不存在, 从而有. 又, 所以, 即, 此时与不平行, 故所求点的坐标为. (2)若是直角梯形的直角腰, 则, 因为, 所以, 解得, 所以点坐标为. 综上, 点坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $