2.1.2两条直线的位置关系(解析几何中平行与垂直)讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

两条直线的位置关系(平行与垂直)学习指导讲义

 

解读·素养要求

学科素养	要求
数学抽象	理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件
直观想象	通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式, 会运用条件判定两直线是否平行或垂直
逻辑推理	了解斜率公式的推导过程, 能够利用斜率公式解决相应的几何问题
数学运算	会利用斜率公式求解，能利用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题

 

两条直线平行和垂直的判定

(1)两条不重合直线平行的判定

若直线, 的斜率分别为, , 则        ; 若直线, 的斜率都不存在, 则.

(2)两条直线垂直的判定

若直线, 的斜率分别为, , 则        ; 若直线, 中的一条斜率不存在,即倾斜角为, 另一条的斜率为, 则.

提炼重点，整合方法

例1. 直线的斜率为, 直线经过点, 判断直线与直线的位置关系?

解析  因为, 所以,

所以与平行或重合.

答案  平行或重合

【总结提升】本题中易忽略两条直线可能重合的情况而致错, 应该充分认识在平面中两条直线的位置关系在无特别说明的情况下应该是平行、相交和重合. 考查转化思想和方程思想, 考查的核心素养为数学运算和直观想象.

 

例2. 已知, 且直线与直线平行, 求的

值.

解析   当与斜率均不存在时, , 此时;

当时, , 由, 此时.

故的值为或.

答案   或.

【总结提升】本题中对判断两条不重合的直线是否平行的方法认识不到位而容易致错,易忽略直线斜率不存在的情况， 应该充分理解如下判断两条不重合的直线是否平行的方法.

考查分类讨论思想和方程思想, 考查的核心素养为数学运算.

 

实践·素养提升

考法 1两条直线平行的判定

1. 根据下列给定的条件, 判断直线与直线是否平行.

(1)经过点, , 经过点, ;

(2)的倾斜角为, 经过点, ;

(3)平行于轴, 经过点, .

1. 解: (1)由题意, 知直线的斜率,

直线的斜率.

因为, 且四点不共线, 所以.

(2)由题意, 知直线的斜率,

直线的斜率, 所以,

所以或与重合.

(3)因为经过点, , 所以的斜率不存在, 又平行于轴, 所以.

2. 已知直线的倾斜角为, 直线经过点, , 则直线与的位置关系是        .

2. 平行或重合.  由已知, 得, ,

所以, 但直线在轴交点位置不确定,

所以直线与的位置关系是平行或重合.

故答案为: 平行或重合.

3. 若过点和点的直线与过点和点的直线平行, 则的值是        .

3.    由题意, 可知, 所以=, 解得.

经检验, 符合题意. 故答案为:

4. 已知四边形的四个顶点分别为, 试判断四边形是否为平行四边形, 并给出证明.

4.  四边形是平行四边形, 证明如下:

边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率,

边所在直线的斜率, 边所在直线的斜率.

所以, 所以. 所以四边形是平行四边形.

 

考法2两条直线垂直的判定

5. 判断下列各小题中与是否垂直.

(1)经过点; 经过点;

(2)的斜率为; 经过点;

(3)经过点; 经过点.

5. 解: (1)因为,

所以, 所以与不垂直.