第3章 再练1课(范围：§3.1)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程、离心率及几何性质，通过基础选择填空到综合解答题的梯度设计，搭建从概念理解到应用的学习支架，帮助学生巩固§3.1知识。 其亮点在于解析过程注重逻辑推理与数学表达，如第14题结合椭圆定义与勾股定理判断直角三角形，第15题用韦达定理求交点坐标，培养学生数学思维与语言表达能力。题目覆盖不同难度，助力教师分层教学，提升学生解题能力。

再练一课(范围：§3.1) 第三章　圆锥曲线的方程 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D D B C ACD BD 题号 9 10 11 　12 答案 BC (1，2)∪(2，3) +y2=1 　 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意得a=5，c=4， ∴b2=a2-c2=9， ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，且m≠n)， ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为直线l：2x+5y-10=0过点(5，0)和(0，2 可得b=2c=5， 则a==7， +=1. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=14， 因为|PF1|-|PF2|=2， 可得|PF1|=8，|PF2|=6， 又因为c=5，可得|F1F2|=2c=10， 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 即△PF1F2是直角三角形， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)， 半径r=c=5， 所以△PF1F2外接圆方程为x2+y2=25. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)如图， 由题意得 所以b== +=1， 离心率为e==. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由题意得，直线A2P+=1 可得A2(2，0)， 设直线A2P的方程为y=k(x-2)， 消去y整理得，(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，Δ>0， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由根与系数的关系得·xP= 所以xP= 所以PQ(0，-2k). =×4×|yQ|=×1×|yP|， =×4×|yP|， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 =+=2+ 所以2|yQ|=3|yP|， 即2|-2k|=3 解得k=± 所以直线A2P的方程为y=±x-2). 一、单项选择题 1.已知椭圆M的焦点为(0，-)和(0，)，点P(1，0)在椭圆上，则椭圆M的标准方程为 A.+y2=1 B.+x2=1 C.+x2=1 D.+y2=1 √ 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，由题意可得c=，b=1，则a=2，所以椭圆M的标准方程为+x2=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 “方程ax2=1-by2即方程ax2+by2=1，表示椭圆”的充要条件是“a>0，b>0，a≠b”，显然“0<a<1，0<b<1”是“a>b，b>0，a≠b”的既不充分也不必要条件，故“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 依题意，得2c=2b，所以b=c， 所以a2=b2+c2=2c2， 所以e2=，又0<e<1， 所以e=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 依题意得=， 所以c=2b，所以a==b， 所以e===. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P.若点A到直线BF2的距离为，△PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得A(-a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，则直线BF2的方程为bx+cy-bc=0， 所以点A到直线BF2的距离d==(a+c)=， ① 由△PF1F2的周长为16，得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16， 即a+c=8， ② 联立①②，解得b=a. ③ 因为c2=a2-b2，所以c=a. ④ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 联立②④，解得a=6，c=2，所以b=4， 故椭圆E的标准方程为+=1. 解析 6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，且|DE|=6，则△ADE的周长是 A.11 B.12 C.13 D.14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 椭圆的离心率e==， 所以a=2c，b==c， 如图，|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c， 所以△AF1F2为正三角形， 又因为直线DE过F1且垂直于AF2， 所以∠DF1F2=30°， 直线DE的方程为y=(x+c)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设D点坐标为(x1，y1)， E点坐标为(x2，y2)， 将直线方程与椭圆方程+=1联立， 得13x2+8cx-32c2=0， 显然Δ>0， 则x1+x2=-，x1x2=-， 所以|DE|=×==6， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得c=，a=， 由图可知，直线DE垂直平分AF2， 所以△ADE的周长等于△F2DE的周长， =4a=13. 解析 二、多项选择题 7.椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是 A.若a=b，则满足∠F1PF2=90°的点P有两个 B.若a<b，则满足∠F1PF2=90°的点P有四个 C.△PF1F2的面积的最大值为 D.△PF1F2的周长小于4a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2= ∠F1B2F2. 选项A中，∠F1B1F2=∠F1B2F2=90°，故正确； 选项B中，∠F1B1F2=∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，故错误； 选项C中，≤·2c·b=bc≤=，当且仅当b=c时取等号，故正确； 选项D中，△PF1F2的周长=2c+2a<4a，故正确. 解析 8.设椭圆的方程为+=1，斜率为k的直线l不经过坐标原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是 A.kAB·kOM=-1 B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x+y-3=0 C.若直线l的方程为y=x+1，则点M的坐标为 D.若直线l的方程为y=x+2，则|AB|= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减，得+=0， 即·=-2，即kAB·kOM=-2. 对于A，kAB·kOM=-2≠-1，所以A不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于B，由kAB·kOM=-2，M(1，1)，得kAB=-2， 所以直线l的方程为y-1=-2(x-1)， 即2x+y-3=0，所以B正确； 对于C，若直线l的方程为y=x+1，M，则kAB·kOM=1×4=4≠-2，所以C不正确； 对于D，由得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，所以|AB|= =，所以D正确. 解析 9.设椭圆的方程为+=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B两点，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是 A.存在点P，使得∠F1PF2=90° B.线段PF1长度的取值范围为(2，8) C.|PF1|·|PF2|的最大值为25 D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 由+=1， 得A(-5，0)，B(5，0)，F1(-3，0)，F2(3，0)， 设P(x0，y0)，有=16， 对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2=90°，即·=0， 于是(x0+3)(x0-3)+=-9+16-=+7=0，显然无解，A错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于B，|AF1|<|PF1|<|BF1|，即2<|PF1|<8，B正确； 对于C，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|·|PF2|≤=52=25， 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号， 因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确； 对于D，直线PA，PB的斜率之积为kPA·kPB=·= ==-，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示椭圆，则m的取值范围是 　　　 　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1，2)∪(2，3) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易知m≠1且m≠3，方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)， 即+=1表示椭圆， 可得解得1<m<3且m≠2， 即m的取值范围是(1，2)∪(2，3). 解析 11.在平面直角坐标系中，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，直线y= x被椭圆C截得的弦长为，则椭圆C的方程为　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 +y2=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知=，可得a2=4b2. 椭圆C的方程可化简为x2+4y2=a2. 将y=x代入可得x=±， 因此×=，解得a=2. 因此b=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. 解析 12.已知椭圆+=1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，其中F1，F2分 别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义可得 解得|PF1|=，|PF2|=， 由题意可得 解得≥，又0<<1，所以≤<1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 解析 四、解答题 13.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(-4，0)的(4，0)，且椭圆经过点(5，0)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意得a=5，c=4， ∴b2=a2-c2=9， ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 解 (2)经过点A(，-2)和点B(-2，1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，且m≠n)， 则 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 解 14.已知直线l：2x+5y-10=0过椭圆C的右焦点和上顶点. (1)求椭圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l：2x+5y-10=0过点(5，0)和(0，2)， 可得b=2且c=5，则a==7， 所以所求椭圆的方程为+=1. 解 (2)若点P在椭圆C上，且|PF1|-|PF2|=2，求△PF1F2的外接圆的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=14， 因为|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=8，|PF2|=6， 又因为c=5，可得|F1F2|=2c=10， 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即△PF1F2是直角三角形， 所以△PF1F2的外接圆心为O(0，0)， 半径r=c=5，所以△PF1F2外接圆方程为x2+y2=25. 解 15.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1. (1)求椭圆方程及其离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图， 由题意得 解得 所以b==， 所以椭圆的方程为+=1， 离心率为e==. 解 (2)已知点P是椭圆上一动点(不与椭圆顶点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的2倍，求直线A2P的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得，直线A2P的斜率存在，由椭圆的方程为+=1可得A2(2，0)， 设直线A2P的方程为y=k(x-2)， 联立方程组 消去y整理得，(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，Δ>0， 由根与系数的关系得·xP=， 所以xP=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以P，Q(0，-2k). 所以=×4×|yQ|，=×1×|yP|， =×4×|yP|， 所以=+=2+，所以2|yQ|=3|yP|， 即2|-2k|=3，解得k=±， 所以直线A2P的方程为y=±(x-2). 解析 第三章　圆锥曲线的方程 <<< $