第2章 再练1课(范围：§2.4～§2.5)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的方程，涵盖轨迹方程、切线、公切线等核心知识点。通过练习题如轨迹问题承接圆的方程知识，以向量法、几何法等多解法搭建学习支架，帮助学生掌握综合应用。 其亮点在于注重数学思维与几何直观，如轨迹问题多解法培养推理能力，光线反射转化为对称圆相切体现数学眼光。详细解析和规范步骤助力学生用数学语言表达，提升解题能力，教师可直接用于教学，提高效率。

再练一课(范围：§2.4~§2.5) 第二章　直线和圆的方程 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B D B AD BC 题号 9 10 11 12 答案 ACD 4x+3y+1=0 x-2y=0 (-∞，0)∪(4，+∞) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)方法一　设P(x，y)， 因为PA⊥PB，·=0， 得(x+1，y)·(x-1，y)=x2-1+y2=0， 所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 方法二　由题意得|AB|=2， PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的， 所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)， ①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，与圆x2+y2=1切于点B； ②当斜率存在时， 设l的方程为y=k(x-1)+2，即kx-y+2-k=0， =1，得k= 所以此时直线l的方程为3x-4y+5=0. 综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)圆C：x2+y2-4x+3=0， 即(x-2)2+y2=1， 其圆心为C(2，0)，半径为1. 因为点(2，1)在圆上，如图， 所以切线方程为y=1. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由题意得，圆的直径为2， 所以直线l过圆心C(2，0)， 由直线的两点式方程，得= 即直线l的方程为x+y-2=0. (3)由题意，设圆E的圆心 E(a，1)(a>0)，半径为R， 由圆E与y轴相切，得R=a， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又圆E与圆C外切，所以|CE|=a+1， 由两点间距离公式得|CE|= 所以a+1= 解得a= 所以圆心ER= 所以圆E的标准方程为+(y-1)2=. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设圆心C(a，a)(a≥0)， 由于|OC|=2 所以|OC|==a=2所以a=2， 即圆心C的坐标为(2，2)， 则圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1， 圆心C到直线x=1的距离d=2-1=1，此时满足直线l和圆C相切； 若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0， 因为直线l和圆C相切， 所以圆心C到直线l的距离d===1， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得k= 此时直线l的方程为3x-4y-3=0， 所以直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x-2)2+(y+2)2=1，即圆心C'(2，-2)， 半径r'=1， 可知光线m所在的直线与圆C'相切， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=-3， 此时圆心C'(2，-2)到直线的距离d=5≠r'， 不符合题意； 所以直线的斜率存在，设为k1，则直线的方程为y-3=k1(x+3)， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即k1x-y+3k1+3=0， =1， 整理得12+25k1+12=0， 解得k1=-k1=- 所以光线m所在直线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 一、单项选择题 1.与x轴相切，且圆心为(0，-5)的圆的标准方程为 A.x2+(y-5)2=25 B.(x+5)2+y2=25 C.x2+(y+5)2=25 D.(x-5)2+y2=25 √ 由题意知圆的半径r=5，圆心为(0，-5)， 故该圆的标准方程为x2+(y+5)2=25. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.圆(x+1)2+(y-2)2=9关于直线x-y=0对称的圆的标准方程是 A.(x+2)2+(y-1)2=9 B.(x-2)2+(y+1)2=3 C.(x+2)2+(y-1)2=3 D.(x-2)2+(y+1)2=9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为圆(x+1)2+(y-2)2=9的圆心为(-1，2)，半径为3， 且(-1，2)关于直线x-y=0的对称点为(2，-1)， 所以所求圆的圆心为(2，-1)，半径为3， 即所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.“0<r<2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C：x2+y2=r2(r>0)相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，点(1，0)在圆C：x2+y2=r2(r>0)外，则有0<r<1， (0，1) (0，2)，所以“0<r<2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C：x2+y2=r2(r>0)相切”的必要不充分条件. 解析 4.若实数x，y满足x2+y2-4x-14y+45=0，则下列关于的最值的判断正确的是 A.最大值为2+，最小值为-2- B.最大值为2+，最小值为2- C.最大值为-2+，最小值为-2- D.最大值为2-，最小值为-2+ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8. 可看作圆上任意一点P(x，y)与定点Q(-2，3)连线的斜率. 记k=，则kx-y+2k+3=0，记为直线l. 当直线l与圆(x-2)2+(y-7)2=8相切时，k可以取得最值. 此时圆心到直线l的距离d==2，解得k=2±. 所以2-≤≤2+. 解析 5.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是 A.(x-2)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-4)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆x2+y2=4的圆心O(0，0)，半径r=2， 由圆的几何性质可知△OPA≌△OPB， 且均为直角三角形， ∴以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆， ∵P(4，2)， ∴|OP|==2， 且线段OP的中点坐标为(2，1)， ∴△ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5. 解析 6.已知M，N是圆C：x2+y2-2y-3=0上的两个点，且|MN|=2，P为MN的中点，Q为直线l：x-y-3=0上的一点，则|PQ|的最小值为 A.2 B. C.2- D.-1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4，圆心C(0，1)，半径为2， 由|MN|=2，可得|CP|==， 所以点P在以C(0，1)为圆心，为半径的圆上， 又点C到直线l：x-y-3=0的距离d==2， 所以|PQ|的最小值为2-=. 解析 二、多项选择题 7.若点P在圆C1：x2+y2=1上，点Q在圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16上，则 A.两个圆的圆心所在直线的斜率为- B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x-4y-5=0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C1：x2+y2=1的圆心为C1(0，0)，半径r1=1，圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16的圆心为C2(3，-4)，半径r2=4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为=-，所以A选项正确； 因为|C1C2|==5，r1+r2=5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确. 解析 8.已知圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，则下列说法正确的是 A.圆C的半径为16 B.x轴被圆C所截得的弦长为4 C.圆C与圆E：(x-6)2+(y-2)2=1外切 D.若圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1，则实数m的取值 范围是(-26，-21)∪(19，24) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，可得圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=16， 所以圆C的半径为4，故A错误； 方法一　令y=0，得x2-6x-3=0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2， 则x1，x2是方程x2-6x-3=0的两个根，所以x1+x2=6，x1x2=-3， 所以|x1-x2|==4， 方法二　易知圆心C到x轴的距离为2，则半弦长==2，则弦长为4，故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 两圆圆心距|CE|==5=4+1，故C正确； 由圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1， 则3<<5，解得-26<m<-16或14<m<24， 即实数m的取值范围是(-26，-16)∪(14，24)，故D错误. 解析 9.已知圆的圆心在直线x=-2上，且与直线l1：x+y-2=0相切于点Q(-1，)，过点D(-1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是 A.圆的方程为(x+2)2+y2=4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 对于A，设圆心为C(-2，b)，圆的半径为r， 由题设可知=，解得b=0， 所以r==2， 故圆的方程为(x+2)2+y2=4，故A正确； 对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C，当AE与BF均不是直径时，如图， 线段AE，BF的中点分别为M，N， 所以CM⊥AE，CN⊥BF， 又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形， 所以MN与CD互相平分， 即MN过CD的中点，当AE与BF一条为直径时，直线MN即为直线CD，也过点，故C正确； 对于D，存在G，使|NG|=|CD|=，为定值，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.圆C1：(x-1)2+y2=1与圆C2：(x-5)2+(y-3)2=36的公切线的方程为 　　　　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4x+3y+1=0 圆C1的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(5，3)，半径为6， 因为|C1C2|==5=6-1，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆C1，C2化为一般式得圆C1：x2+y2-2x=0，圆C2：x2+y2-10x-6y-2=0， 两式相减得8x+6y+2=0，即4x+3y+1=0， 所以圆C1，C2的公切线的方程为4x+3y+1=0. 解析 11.已知圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0恒过定点A，B，则直线AB的方程为 　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x-2y=0 方程x2+y2+ax-2ay-5=0可化为a(x-2y)+x2+y2-5=0， 所以点A，B为直线x-2y=0与圆x2+y2=5的交点， 所以直线AB的方程为x-2y=0. 解析 12.已知圆C：x2+y2=8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|=4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是　　　　　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (-∞，0)∪(4，+∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，可得圆心坐标为C(0，0)，半径r=2，因为|MN|=4，G为弦MN的中点，所以|CG|=2，又由两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，设PQ的中点E(a，a-4)，因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2+2，即a2-4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(-∞，0)∪(4，+∞). 解析 四、解答题 13.在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P满足PA⊥PB. (1)求动点P的轨迹方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　设P(x，y)，因为PA⊥PB， 所以·=0，得(x+1，y)·(x-1，y)=x2-1+y2=0， 所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 方法二　由题意得|AB|=2，PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的， 所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 解 (2)若过点Q(1，2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)， ①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，与圆x2+y2=1切于点B； ②当斜率存在时，设l的方程为y=k(x-1)+2，即kx-y+2-k=0， 根据圆心到切线距离等于半径可得=1，得k=， 所以此时直线l的方程为3x-4y+5=0. 综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0. 解 14.已知圆C：x2+y2-4x+3=0. (1)求过点M(2，1)的圆的切线方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C：x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1，其圆心为C(2，0)，半径为1. 因为点(2，1)在圆上，如图， 所以切线方程为y=1. 解 (2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得，圆的直径为2， 所以直线l过圆心C(2，0)， 由直线的两点式方程，得=， 即直线l的方程为x+y-2=0. 解 (3)已知圆E的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，设圆E的圆心E(a，1)(a>0)，半径为R， 由圆E与y轴相切，得R=a， 又圆E与圆C外切，所以|CE|=a+1， 由两点间距离公式得|CE|=， 所以a+1=，解得a=， 所以圆心E，R=， 所以圆E的标准方程为+(y-1)2=. 解 15.在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x(x≥0)上，且|OC|=2. (1)求圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设圆心C(a，a)(a≥0)， 由于|OC|=2， 所以|OC|==a=2，所以a=2， 即圆心C的坐标为(2，2)， 则圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1. 解 (2)若直线l过点P(1，0)，且与圆C相切，求直线l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1， 圆心C到直线x=1的距离d=2-1=1，此时满足直线l和圆C相切； 若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-1)， 即kx-y-k=0， 因为直线l和圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d===1， 解得k=，此时直线l的方程为3x-4y-3=0， 所以直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0. 解 (3)自点A(-3，3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x-2)2+(y+2)2=1， 即圆心C'(2，-2)，半径r'=1， 可知光线m所在的直线与圆C'相切， 若直线的斜率不存在， 则直线的方程为x=-3， 此时圆心C'(2，-2)到直线的距离d=5≠r'，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设为k1， 则直线的方程为y-3=k1(x+3)，即k1x-y+3k1+3=0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则=1，整理得12+25k1+12=0， 解得k1=-或k1=-， 所以光线m所在直线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 解 第二章　直线和圆的方程 <<< $