第1章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“空间中直线、平面的平行”核心知识点，承接上节课空间向量表示点、线、面的内容，系统构建线线、线面、面面平行的向量表述及证明方法，形成从基础向量工具到平行关系应用的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过例1坐标法证明线线平行、例2探究线段上点的存在性等设计，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理证明的能力，课中助力教师系统教学，课后课时对点练帮助学生巩固方法、查漏补缺。

第2课时　空间中直线、平面的平行 学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点). 导语 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点　上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M N(0，2，2)，R(3，2，0)， S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又== 所以=所以∥因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设=a=b=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c. 所以=所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 反思感悟　证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 证明　方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，NM所以=(-1，0，1)=所以=又M∉AP，故MN∥AP. 方法二　由题意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=又M∉AP，所以MN∥AP. 二、直线和平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 例2　(课本例3)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 例2　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)， EB(a，a，0). 方法一　设平面EDB的法向量为n=(x，y，z)， 又== 则有 即即 令z=1，则所以n=(1，-1，1)， 又=(a，0，-a)， 所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为 所以=. 又=(a，0，-a)， 所以=2则PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 =λ+μ 即(a，0，-a)=λ+μ 则有 解得 所以=-+又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 延伸探究　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 解　以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0，0，0)，P(0，0，a)，MC(0，a，0)， 则=(0，0，a)= 设平面PDM的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则即 令y1=2，则x1=-1，z1=0， ∴n1=(-1，2，0)， 设N(0，y，z)，则=(0，y，z-a)=(0，a，-a)， 由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)， ∴y=λa，z=a(1-λ)， ∴N(0，λa，a(1-λ)). 又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))， 由BN∥平面PDM，得·n1=0， 即a+2(λ-1)a=0，∴λ= 即在棱PC上存在一点N，且当N为PC的中点时，使得BN∥平面PDM. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点　上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 例3　(课本例2)　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 证明　如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b=P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β. 例3　如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 证明　方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)， B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)， 于是=(0，1，1)， =(1，1，0)， =(1，1，0)=(0，1，1). 设平面AB'D'的法向量为 n1=(x1，y1，z1)， 则 令y1=1，则x1=-1，z1=-1， 可得n1=(-1，1，-1). 设平面BDC'的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则 令y2=1，则x2=-1，z2=-1， 可得n2=(-1，1，-1). 所以n1=n2，所以n1∥n2， 故平面AB'D'∥平面BDC'. 方法二　由方法一知=(-1，0，1)=(-1，0，1)=(0，1，1)=(0，1，1)， 所以== 即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD'⊄平面BDC'，BC'⊂平面BDC'，AB'⊄平面BDC'，DC'⊂平面BDC'， 所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'. 又AD'∩AB'=A，且AD'，AB'⊂平面AB'D'， 所以平面AB'D'∥平面BDC'. 方法三　由方法一得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1，1，-1). 易知=(1，1，0)=(0，1，1). 因为n1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0， n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0， 所以n1也是平面BDC'的一个法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'. 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 跟踪训练2　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明　因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 所以=(0，-1，0)=(1，1，-1)， =(2，0，-2)=(0，2，0)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则即 令z1=1，则x1=1，y1=0， 所以n1=(1，0，1)， 设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则即 令z2=1，则x2=1，y2=0， 所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2， 所以平面EFG∥平面PBC. 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用. (2)线面平行的向量表示及应用. (3)面面平行的向量表示及应用. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件. 1.已知直线l1的方向向量为m=(1，2，1)，若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是(　　) A.(2，4，2) B.(2，3，-2) C.(1，1，1) D.(-1，1，-1) 答案　A 解析　设直线l2的方向向量为n=(x，y，z)，因为直线l1∥l2，所以n=λm，λ∈R，即n=λ(1，2，1)，结合选项可知A正确. 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，且l⊄α，能使l∥α的是(　　) A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 答案　AD 解析　若l∥α，则a·n=0. 而A中a·n=0， B中a·n=1+5=6， C中a·n=-1， D中a·n=-3+3=0. 3.已知平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，α与β不重合，则α，β的位置关系为　　　　. 答案　平行 解析　∵v=-3(1，2，-2)=-3u， ∴α∥β. 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是　　　　. 答案　-3 解析　∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y， 使a=x+y 又=(1，0，-1)=(0，1，-1)， ∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1) =(x，y，-x-y)， ∴∴m=-3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A.a=b=(-2，-4，0) B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1) C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0) D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8) 答案　AB 解析　对于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确. 2.已知直线l的方向向量是a=(3，2，1)，平面α的法向量是u=(-1，2，-1)，则l与α的位置关系是(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α 答案　D 解析　因为a·u=-3+4-1=0， 所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α. 3.(多选)直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a=(λ+1，0，2)，b=(6，2μ-1，2λ)，若l1∥l2，则λ的值为(　　) A.2 B. C.-3 D.3 答案　AC 解析　因为a=(λ+1，0，2)，b=(6，2μ-1，2λ)， l1∥l2，令a=tb， 则(λ+1，0，2)=t(6，2μ-1，2λ) =(6t，(2μ-1)t，2λt)， 即解得或 4.已知平面α∥β，n=(-1，2，3)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的一个法向量的是(　　) A.(1，-2，3) B.(3，-1，2) C.(1，2，-3) D. 答案　D 解析　设平面β的法向量为m，因为α∥β，所以m∥n，即m=λn=(-λ，2λ，3λ)，λ∈R， 对于A项无解，故A项不成立； 对于B项无解，故B项不成立； 对于C项无解，故C项不成立； 对于D项，解得λ=故D项成立. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BD，CB1上，且BE=BD，CF=CB1，则(　　) A.DB1∥EF B.AC1与EF不平行 C.AD1∥平面DEC1 D.D1B1与平面DEF不平行 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3， 则D(0，0，0)，E(2，2，0)，F(1，3，1)，B1(3，3，3)，A(3，0，0)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)， 对于A=(3，3，3)=(-1，1，1)，由≠λ故DB1与EF不平行，故A错误； 对于B，因为=(-3，3，3)，所以=3故AC1与EF平行，故B错误； 对于C=(2，2，0)=(0，3，3)，设平面DEC1的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令x=1，则n=(1，-1，1)，因为=(-3，0，3)，所以n·=0，即n⊥又AD1⊄平面DEC1，则AD1∥平面DEC1，故C正确； 对于D，因为=(3，3，0)=(2，2，0)，所以D1B1∥DE，又D1B1⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以D1B1∥平面DEF，故D错误. 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案　B 解析　根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)， ∴M(2，1，1)，N(1，1，2)， ∴=(-1，0，1). 又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0，1，0)， ∴·n=-1×0+0×1+1×0=0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 7.(5分)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n=(-1，-1，-1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是　　　　. 答案　平行 解析　∵=(0，1，-1)=(1，0，-1)， n·=(-1，-1，-1)·(0，1，-1) =-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0， n·=(-1，-1，-1)·(1，0，-1) =-1×1+0+(-1)×(-1)=0， ∴n⊥n⊥. ∴n也为α的一个法向量， 又 α与β不重合， ∴α∥β. 8.(5分)若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，若α∥β，则m=　　　　，若l∥α，则n=　　　　. 答案　　-20 解析　由α∥β，得u∥v，则==解得m=；由l∥α，得t⊥u，即t·u=-n-4-16=0，得n=-20. 9.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 证明　方法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，MN于是=(1，0，1)=(1，1，0)=. 设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)， 则 取x=1，则y=-1，z=-1， 所以平面A1BD的一个法向量为n=(1，-1，-1). 又·n=·(1，-1，-1)=0， 所以⊥n. 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 方法二　=-=-=-)=所以∥ 又MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 方法三　=-=-=-=+)-+)=-.即可用与线性表示，故与是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 10.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)， F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以=(0，2，1)， =(2，0，0)， =(0，2，1)=(2，0，0)=(0，2，1)， 设n1=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥n1⊥ 即得 令z1=2，则y1=-1， 所以可取n1=(0，-1，2). 同理，设n2=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量. 则n2⊥n2⊥ 即得 令z2=2，得y2=-1， 所以可取n2=(0，-1，2). 因为n1=n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 11.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M均是所在棱的中点，则下列说法正确的是(　　) A.B1G∥DM B.B1G∥平面A1EF C.平面BDM∥平面A1EF D.B1G∥A1F 答案　ABC 解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，G(0，1，0)，M(2，1，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)， 所以=(-2，-1，-2)=(2，1，2)， 所以=-即∥ 即B1G∥DM，故A正确； 所以=(0，1，-2)=(-1，0，-2)，设平面A1EF的法向量为n=(x，y，z)，则 即 令z=1，则x=-2，y=2，所以n=(-2，2，1)， 所以n·=(-2)×(-2)+2×(-1)+1×(-2)=0，即n⊥又B1G⊄平面A1EF，所以B1G∥平面A1EF，故B正确； 所以=(2，1，2)=(2，2，0)，设平面BDM的法向量为m=(x1，y1，z1)， 则即 令x1=2，则y1=-2，z1=-1， 所以m=(2，-2，-1)，所以n=-m，即n∥m，所以平面BDM∥平面A1EF，故C正确； 因为=(-2，-1，-2)=(-1，0，-2)，所以B1G和A1F不平行，故D错误. 12.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A.(1，1，1) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题意得C(0，0，0)，D(0，0)，B(00)，E(0，0，1)，A(0)， 则=(-0，1)=(-0)， 设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=则x=1，y=1， 所以n=(1，1)， 又=(a-a-1)， 所以·n=a-+a-+=0， 解得a=即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE， 由AM∥平面BDE， 且AM⊂平面ACEF， 平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE， 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点. 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(1). 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 13.(5分)若a=是平面α的一个法向量，且b=(-1，2，1)，c=所在的直线均与平面α平行，则向量a=　　　　. 答案　 解析　由题意，知即 解得所以a=. 14.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为　　　　. 答案　 解析　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设AB=a，AP=b， 则A(0，0，0)，D(0，1，0). P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E. 于是=(a，0，1)= =(0，-1，b). 方法一　设平面B1AE的法向量为n=(x，y，z)，则得取x=2， 得y=-a，z=-2a， ∴n=(2，-a，-2a)是平面B1AE的一个法向量.∵DP∥平面B1AE，∴·n=a-2ab=0， 解得b=即AP=. 方法二　∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ，μ， 使=λ+μ 即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ =. ∴∴b=λ=即AP=. 15.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则 (1)PQ与BD的位置关系是　　　　；  (2)||的最小值为　　　　. 答案　(1)平行　(2) 解析　(1)以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1(1，0，1)，E B(1，1，0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内， 所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，0≤a，b，m，n≤1， 所以= =(a-1，b-1，1)=(m-1，n-1，1). 因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E， 所以 解得 =(m-a，n-b，0)=(n-b，n-b，0)， 因为=(-1，-1，0)， 所以PQ与BD的位置关系是平行. (2)由(1)可知b-a= ||= == = 又0≤a≤1，所以当a=时，||有最小值， 最小值为. 16.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？ 解　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则OP A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，m)(0≤m≤1). 方法一　因为= =(-1，-1，1)， 所以∥于是OP∥BD1. 又==(-1，0，m)， 当m=时= 即∥所以AP∥BQ， 又OP∩AP=P，BD1∩BQ=B， 所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　= =. 设平面PAO的法向量为n1=(x1，y1，z1)， 则有n1⊥n1⊥ 因此 取x1=1，则n1=(1，1，2). 又因为=(-1，-1，1)=(0，-1，1-m). 设平面D1BQ的法向量为n2=(x2，y2，z2)， 则有n2⊥n2⊥ 因此 取z2=1，则n2=(m，1-m，1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此==解得m= 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $