专题讲义05 用空间向量研究空间角、空间距离-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究空间角与距离，先以空间向量基础（方向向量、法向量）为支架，系统梳理空间角（异面直线所成角、线面角、面面角/二面角）和空间距离（两点距、点线距、点面距等）的向量求法公式、范围及解题步骤，构建从基础到应用的知识脉络。 资料以“考点-题型-归纳总结-例题变式”结构化设计，通过三棱锥、正方体等实例培养数学思维（逻辑推理），引导学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

专题05 用空间向量研究空间角、空间距离 1、 用空间向量研究空间夹角 直线有方向向量，平面有法向量 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 二面角A-BD-C 【考点一 向量法求空间角】 【题型一 异面直线所成角】 【归纳总结】向量法求异面直线所成角 解题步骤： ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角． 1．在三棱锥中，，则直线与直线夹角的余弦值为 【答案】 【分析】由异面直线间夹角公式可得 【详解】，， ，则直线与直线夹角的余弦值为 2．如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； 【答案】(1) 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可； 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 由为的中点，得， 所以，， 所以， 故异面直线与夹角的余弦值为. 【变式】在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值. 【详解】在平面中过作，垂足为； 在平面中过作，垂足为. 由于平面平面，且交线为， 所以平面，平面， 设， ， 同理可得， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设与所成角为， 则. 【题型二 线面角】 【归纳总结】向量法求直线与平面的夹角的步骤 3．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 【变式】（多选）在空间直角坐标系中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 4．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式】如图，三棱锥中，，，，E为的中点. (1)证明：； (2)点F满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）连接、，因为，， 所以为等边三角形，则， 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以， 因为为的中点，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以； （2）由（1）可知. 在中，，， 所以， 因为为的中点，所以，， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 由（1）知平面，且平面， 所以，故两两垂直， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则，取，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型三 面面角（二面角）】 【归纳总结】向量法求解面面角（二面角）的步骤 (1) 建立空间直角坐标系； (2) 分别求出两个平面的法向量n1和n2； (3) 设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|； (4) 利用余弦值，确定平面间的夹角的大小． 【注意】一定明确是面面角还是二面角，面面角的范围为，一定为非负数，二面角的范围为，所以需要由图形先判断是锐角还是钝角，再确定与向量角的对应关系 5．如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； 【详解】（1）设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 【变式】如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，， (1)证明：平面ABD； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）过D作，垂足为G，根据线面垂直的性质与判定可得平面DEF，进而证明即可； （2）先根据（1）结合可得，，，再以E为原点，建立空间直角坐标系，求解平面CDF的法向量，再根据面面垂直的向量求法求解即可 【详解】（1）证明：过D作，垂足为G， ∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF， ∴平面ABC，∵平面ABC，∴， ∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点， ∴，又，DE，平面DEF， ∴平面DEF，∵平面DEF，∴， ∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD． （2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴， 由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，． 以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，则，，，，， 由得，令，则， 显然，平面ABC的法向量，． 二面角的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. （2）由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以， 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 【变式】如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，与交于点O，在底面的投影为O，为中点，其中. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先构造证线面垂直，再证面面垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，先求平面与平面的法向量，再利用空间向量数量积的运算求两平面夹角的余弦. 【详解】（1）取中点E，连接 、、， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为 平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）得以O为原点建系如图： 则，，，，， 设，因为，所以，则， 所以. 则，，. 设面的法向量为，面的法向量为， 所以，则， 令，所以， ，则. 因为, 由,则，令 ，所以， ，则. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 二、用空间向量研究距离问题 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离 . 点面距 （线面距、面面距、线线距） 已知平面α的法向量为，，则点P到平面α的距离为 . 【考点二 向量法求解空间距离】 【题型一 点面、线面、面面距离】 7．（多选）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 【变式】（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，.    设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离.   ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：BC 8．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． 【变式】如图，在三棱柱中，平面平面，，，且， (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作，进而得到，再由面面垂直的性质得到平面，则，然后证明平面即可求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求点到面的距离即可． 【详解】（1）在平面内作交于点，连接， 由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，，则，即， 在中，由，，，所以，故， 又，且，、平面， 故平面，因为平面，所以； （2）由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， 得到，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取， 解得，得， 因为，设点到平面的距离为, 由点到平面的距离公式得. 9．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点. (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离.    【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【题型二 线线距离】 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则异面直线与间的距离为 【答案】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. ，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为 【变式】如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)见解析 (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 11．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 【变式】在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    【题型三 点线距离】 12．已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 【变式】已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 13．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法来求点到线的距离即可； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）取BC中点O，由，结合菱形，可知，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC， 由于底面是等边三角形，所以， 则建立如图空间直角坐标系， 根据已知条件可知：，，             所以，， 所以点到直线EF的距离为． （2）根据已知条件可知： 则， 设是平面的法向量， 则， 令，可得，      设直线与平面所成角为， 则， 故直线EF与平面所成角的正弦值为． 14．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 【考点三 空间角、空间距离的存在性问题】 15．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)存在一点，使得二面角的正切值为；． 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【详解】（1） 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2） 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3） 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 【变式】在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据条件证明平面即可； （2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，表示出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值求出的值，进而得出结论； ②求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）在菱形中，，为中点， 由题可知，所以， 因为，，平面， 所以平面 又平面，所以平面平面． （2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 二面角的大小为，即 因为，，所以，， 则，，，， 所以，， 设，则，所以． 设平面的法向量为，则， 取，得，，则． 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则． 因为，所以 ②由①,设平面的法向量为， 由，即，取，则， 所以. 设平面的法向量为，, ，即，取，则， 所以 设平面与平面所成角为，则. 16．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析 （2）见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【详解】在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 17．已知梯形中， ，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在点 【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用线面垂直的判定推理得平面，进而由面面垂直的判定定理证明即可. （2）由二面角的定义及面面垂直的性质定理得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，设，由得以，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式列方程求出，，即可得解． 【详解】（1）证明：因为梯形中， ， 所以，所以，所以， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为分别为棱､的中点，所以 ，所以， 又，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面平面， 所以平面，平面，所以，，又，故建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）由（2）可知平面，故分别以为轴的正方向， 轴在平面内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，因为，所以，又，，，设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为，所以， 因为，所以，即， 所以或，因为，所以或， 因为，所以，，所以， 所以存在点，使得点到平面的距离为. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题05用空间向量研究空间角、空间距离 框架导图•题型概览 异面直线所成角 空间向量研究空间角 向量法求空间角 线面角 二面角 两点距离 向量法求空间距离 点面、线面、面面、线线距离 点线距离 、空间距 空间角、空间距离的存在性问题 知识详解·核心内容 、 用空间向量研究空间夹角 直线有方向向量，平面有法向量 角的分类 向量求法 范围 两异面直线与 HO 设4与的方向向量分别为4，"，则cos0=cos,= 12所成的角为8 直线I与平面a 设I的方向向量为u,平面a的法向量为n,则sin0=|cos<u, >= u-n 所成的角为8 d☑ 平面a与平面B 设平面a,B的法向量分别为A,,则cos8=|cos<h,2>= 的夹角为8 1 面角A-BD-C [0, ] 第1页 典例精讲·例题解析 【考点一向量法求空间角】 【题型一异面直线所成角】 【归纳总结】向量法求异面直线所成角 解题步骤： ①建系：建立空间直角坐标系： ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标： ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角： ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角 1.在三棱锥P-ABC中，A4,0,6,B(0,4,2,C0,0,4,则直线CA与直线CB夹角的余弦值为 2.如图，已知直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AD⊥AB,AB//CD,AA1=2, AB=2AD=2,DC=1,N是B1C1的中点，M是DD1的中点.求异面直线ND,与BC夹角的余弦 值； D N B C M 第2页 【变式】在矩形ABCD中，O为BD中点且AD=2AB,将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 A-BD-C为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为 D 【题型二线面角】 【归纳总结】向量法求直线与平面的夹角的步骤 <建系 依据几何条件建立适当的坐标系 鲁蜜 找直线的一个方向向量a 找平面的一个法向量n sin0=lcos<a,n>l <计算 由0的范围确定0的大小 3.若平面a的一个法向量为n=2,1,1,直线的一个方向向量为a=1,2,-2,则1与a所成角的正弦 值为() V21 VG 96 2V6 A. B. C. D. 6 6 9 9 第3页 【变式】（多选）在空间直角坐标系Oyz中，A(1,0,1),B(1,-2,0),C(0,1,1),则直线0B与平 面AOC所成角的正弦值为 4.如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方 形，D为AB中点，且A,D=5 (I)求证：CD⊥平面ABB1A1: (2)已知P为线段BC中点，求直线AP与平面A1CD所成角的余弦值， D B B 第4页 【变式】如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC=2,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°，E 为BC的中点 (1)证明：BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求直线AF与平面DAB所成角的正弦值. A D 第5页 【题型三面面角（二面角）】 【归纳总结】向量法求解面面角（二面角）的步骤 (1)建立空间直角坐标系： (2）分别求出两个平面的法向量n和n: (3)设平面间的夹角为0，则cos0=cos(nm,m): (4)利用余弦值，确定平面间的夹角的大小. 【注意】一定明确是面面角还是二面角，面面角的范围为 定为非负数， 二面角的范围为0，小， 所以需要由图形先判断是锐角还是钝角，再确定与向量角 的对应关系 5.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,AB=BC=AA,=2,P,Q分别为 AC,AA1的中点. (1)求证：AB∥平面PBC: (2)设平面PBC1与平面ABB1A1的交线为l,求二面角P-1-A的余弦值： 第6页 【变式】如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上. 将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE,DF,EF,使得平面乙⊥平面ABC.已知AC=2, ∠B=30°， (1)证明：EF平面ABD: (2)若DF=V2,求二面角A-BC-D的余弦值. 的 D 的 C 第7页 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC⊥PD,PB=2V3,AB=2V2, PD=2 (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. B 第8页 【变式】如图，在四棱柱ABCD-A1BC1D1中，底面ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O, B1在底面ABCD的投影为O,F为B,C1中点，其中AB=AC=BC=AB1=2. (1)证明：平面CFD⊥平面ABCD: (2)求平面FDD1与平面ADD1夹角的余弦值： A D B C A D B 第9页 ☆ 知识详解·核心内容 二、用空间向量研究距离问题 分类 向量求法 两点距 设AB为空间中的任意两点，则d=4 设直线的单位方向向量为i,A∈/，P:/,设AP=ā，则点P到直线的距 点线距 离 d=a"-(a.n 点面距 已知平面a的法向量为i,A∈aB∈C,则点P到平面a的距离为 (线面距、面面 AB· d= 距、线线距) |n 典例精讲·例题解析 【考点二向量法求解空间距离】 【题型一点面、线面、面面距离】 7.(多选)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为CD,A1B1 的中点，则下列结论正确的是() A.点F到点E的距离为V2 30 B.点F到直线ED1的距离为写 第10页 C.点F到平面AED1的距离为3 ,2V6 D.平面BFC,到平面AED的距离为3 D C F A B C B 【变式】（多选）已知正方体ABCD-ABC1D1的棱长为1，点E、O分别是A1B1、A1C1的中点， P在正方体内部且满足驴=A店+号A市+AA,则下列说法正确的是() 4 A.点A到直线BE的距离是 5 2 5 B.点O到平面ABC1D1的距离为- 4 C.平面A,BD与平面B,CD,间的距离为 25 3 D.点P到直线AB的距离为36 第11页 8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD 的中点.若PA=AD=3,CD=V6 (1)求证：AF/平面PCE: (2)求点F到平面PCE的距离： B 第12页 【变式】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=5, A1C=42,且cos∠A1AB=3 (1)证明：A1C⊥AB: (2)求点C到平面AB,C1的距离 A B 第13页 9.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在线段BB 上，且EB1=1,D、F、G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点 (I)求证：平面EGF/I平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离. B A E D B C 第14页 【题型二线线距离】 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD, E为PB中点，则异面直线DE与PC间的距离为 D B 【变式】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC L BC,AC=BC=1,AA1=2,点E,F分别 为线段AC1和B,C的中点 (1)证明：EFI/平面ABC: (2)求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值： (3)求直线EF与直线A,B1间的距离， 第15页 C B 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若点E在BD上，点F在CB1上，则EF的长度最小值 为() 4.3 B. V3 5 4 D.3 2 【变式】在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AC=5,AA1=BC=2,P,Q分别是直线CA1, BC1上的动点，则PQ的最小值为一： 第16页 【题型三点线距离】 12.己知空间三点A3,0,-1,B2,1,-1,C1,1,-2,则点A到直线BC的距离为 【变式】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若空间中存在一点P,满足 D亦-DA+D元-号D市.划点P值线BC的距离为() 3 A.22 B.1 c.52 V173 D. 3 6 12 13.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC,∠B1BC=60°， E,F分别是棱AB,BC1的中点. (1)求点B1到直线EF的距离； (②)求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值. 第17页 B A B 14.如图，在直三棱柱BCD-B,C,D1中，BC=CD=CC1=1,BC⊥CD,M,N分别是棱 BC,C1D1的中点，三棱柱BCD-B,C1D1的外接球为球O,则过MN的平面截球O所得截面面积的 最小值为 D N C 61 M B 第18页 0 典例精讲·例题解析 【考点三空间角、空间距离的存在性问题】 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=4,PB=BC=PC=23,且平面PAB⊥平面 PBC. (1)证明：AB⊥平面PBC: (2)求点B到平面PAC的距离； (3)线段BP上是否存在一点E,使得二面角E-AC-B的正切值为 ?若有布，求出器的：芳 10 不存在，说明理由. B 第19页 【变式】在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起， 使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥P-BCD,M为线段PC上一点. (1)证明：平面BDM⊥平面POC: V42 (2)若二面角P-BD-C的大小为120°，直线DM与平面PBC所成角的正弦值为 7 .PM>MC. ①求 MC的值： ②求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值. M B 第20页 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABP是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=8, ∠ABC=120°，点E是棱PB上的一点. (1)若E为棱PB的中点，求证：PD//平面ACE: 15 (2)若平面PAB⊥平面ABCD,是否存在点E,使得点E到平面PAD的距离为5 若存在，求出 BE 的值；若不存在，请说明理由. D 第21页 17.已知梯形ABCD中，AB‖DC,AB1AD,AB=AD=号DC=2,如图1，将△ABD沿BD折 起到△PBD,得到三棱锥P-BCD,如图2，E、F分别为棱BD、CD的中点， (I)若BC⊥PD,求证：平面PBC⊥平面PBD: (2)若∠PEF=90°，求二面角D-PF-E的正弦值： (3)是否存在点P,使得点B到平面PCD的距离为2？若存在，确定点P的位置：若不存在，请说明 理由 A B B P E B E D C D 。 C D F 图1 图2 第22页 第23页