第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过“问题-提示”导入，从空间基本图形出发，引导学生用位置向量表示点，用方向向量和向量表示式刻画直线，建立与平面向量的联系，形成知识支架。 其亮点在于通过正方体、直角梯形等实例，结合待定系数法求法向量，培养学生数学思维和用数学语言表达空间关系的能力。课堂小结梳理知识清单、方法归纳和常见误区，助力学生理解向量工具性，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第1课时 第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 <<< 空间中点、直线和 平面的向量表示 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 导 语 一、空间中点的向量和直线的向量表示 二、空间中平面的向量表示 课时对点练 随堂演练 内容索引 空间中点的向量和直线的向量表示 一 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题1 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 问题2 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. ta ta 方向向量 t t 知识梳理 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 10 (1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　 　，直线BC1的一个方向向量为　　 　　. 例 1 (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) 11 因为DD1∥AA1=(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1=(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). 解析 12 (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C. D.3 √ 13 ∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)， ∴=(-1，2-y，z-3)， ∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)， 故设=km. ∴ ∴y-z=0. 解析 14 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 反 思 感 悟 15 　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是 A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 跟踪训练 1 √ √ ∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量. 解析 16 (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 √ 由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R， 即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)， 所以解得x=-1. 解析 17 二 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= . 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. xa+yb x y 3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.如图，直线l⊥ α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 不共线 法向量 (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 注 意 点 <<< 21 　(课本例1)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； 例 2 因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. 解 22 (2)求平面MCA1的法向量. 23 因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2). 因此=(-3，2，0)=(0，-2，2). 设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥n2⊥. 所以所以 取z=3，则x=2，y=3. 于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量. 解 24 　已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 例 2 25 答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量). ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)， ∴=(1，2，0)=(-1，0，2)， 设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-z=∴n= 即平面SCD的一个法向量为n= ∵x轴⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量. 解 26 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 反 思 感 悟 27 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1， A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； 跟踪训练 2 28 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2). 设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)， ∵=(2，2，0)=(0，0，2)， ∴ 令x1=1，则y1=-1，z1=0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) 解 29 (2)平面BDEF的一个法向量. 设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2). ∵=(2，2，0)=(1，0，2)， ∴ 令x2=2，则y2=-2，z2=-1， ∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一) 解 30 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是 A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k √ √ 由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意. 解析 1 2 3 4 2.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，-1)且以μ=(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是 A.== B.== C.== D.== √ 由题意得=(x-1，y，z+1)∥μ， 则==. 解析 1 2 3 4 3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) √ 由题意可得要求平面α的一个法向量， 即求与n共线的一个向量. 易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1). 解析 1 2 3 4 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量， M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　. 由题意得e⊥ 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0. 解析 x+2y-3z=0 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A C AC B BCD (答案不唯一) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 -1 A AD A 2∶3∶(-4) 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) (2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵α的法向量，·=0， 即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)， D1(0，0，3)，A1(6，0，3)，=(0，0，3)， 因为DD1⊥平面ABCD， ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为 =(0，0，3).(答案不唯一) 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设平面ACC1A1的法向量为m=(x，y，z)， =(-6，2，0)，=(0，0，3)， 令x=1，则m=(1，3，0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为m=(1，3，0).(答案不唯一) 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0 ·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD=A， 所以AP⊥平面ABCD. ABCD的法向量. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为||== ||==2 ·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6， 所以cos〈〉==故sin〈〉= S▱ABCD=||·||sin〈 〉=8. 基础巩固 1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 A.(1，1，0) B.(1，0，1) C.(0，0，1) D.(1，1，1) √ 由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l的一个方向向量m=(3，-2，1)，且直线l经过A(a，2，-1)和 B(-2，3，b)两点，则a+b等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=(-2-a，1，b+1)，直线l的一个方向向量为m=(3，-2，1)，所以与m共线，所以==解得a=-b=-所以a+b=-2. 解析 3.已知平面α内有两点M(-2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n=(6，a，6)，则a等于 A.- B. C.-24 D.24 √ 由题可得=(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n=(6，a，6)， 所以n⊥ 所以n·=(6，a，6)·(4，1，0)=6×4+a×1+6×0=0，解得a=-24. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是 A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2) B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)， D(0，1，0)，D1(0，1，1). 对于A，B项，可知=(-1，1，1)， 所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则 又=(0，-1，1)=(-1，0，1)，所以 令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则 又=(0，-1，1)=(-1，0，0)， 所以 令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，它的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 A.(1，-1，1) B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A=(1，0，1)， 则·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A； 对于选项B= 则·n=·(3，1，2)=0，故B正确； 同理可排除C，D. 解析 6.(多选)已知空间中A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(-1，2，1)三点，则下列说法正确的是 A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是 C.在方向上的投影向量是(-2，-1，0) D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5) √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =(2，1，0)=(-1，2，1)， =(-3，1，1)， 若共线， 设=λ则 方程无解，故不共线，A错误； 与==B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·=·=(-2，-1，0)，C正确； 设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 则 令y=-2，则n=(1，-2，5)，D正确. 解析 7.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其 法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　 . (写出一个方向向量的坐标)  设直线l的方向向量为d=(x，y，z)， 则 令y=1，则z=-2，x=所以直线l的一个方向向量为d=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (答案不唯一) 8.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　. 设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 又=(-1，1，0)=(-1，0，1)， 所以取x=1，得n=(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内=(a-1，1，1)， 则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 9.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (1)写出直线BC的一个方向向量； ∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵是平面α的法向量，则·=0， 即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)， D1(0，0，3)，A1(6，0，3)， 所以=(0，0，3)， 因为DD1⊥平面ABCD， 所以为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为=(0，0，3).(答案不唯一) 解 (2)平面ACC1A1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ACC1A1的法向量为m=(x，y，z)， 因为=(-6，2，0)=(0，0，3)， 所以 令x=1，则m=(1，3，0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为 m=(1，3，0).(答案不唯一) 解 11.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是 A. B.(11) C.(1，1，1) D.(2，-2，1) √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)， 所以=(1，0，-2)=(-1，1，0)， 设平面PAB的法向量为n=(x，y，1)， 由 解得所以n=(2，2，1). 又=n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知直线l1的方向向量a=(2，4，x)，直线l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值是 A.1 B.-1 C.3 D.-3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为|a|==6，所以x=±4. 因为a⊥b，所以a·b=2×2+4y+2x=0， 即y=-1-x，所以当x=4时，y=-3； 当x=-4时，y=1.所以x+y=1或x+y=-3. 解析 13.从点A(2，-1，7)沿向量a=(8，9，-12)的方向取线段长||=34，则B点的坐标为 A.(18，17，-17) B.(-14，-19，17) C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B点坐标为(x，y，z)， 则=λa(λ>0)， 即(x-2，y+1，z-7)=λ(8，9，-12)， 因为||=34， 即=34，解得λ=2， 所以x=18，y=17，z=-17. 解析 14.若ABC是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2∶3∶(-4) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得== ∵a是平面α的法向量， ∴a·=0，a·=0， 即 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 解析 15.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　 　 . 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意=(-2，3，0)=(0，-3，6)=(x-2，y，2)， 设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)， 则 令c=1，得m=(3，2，1)， 依题意，m·=0，则3x+2y=4， 则+=(3x+2y)=≥= 当且仅当x=4-y=2-4时取等号. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=(2，-1，-4)=(4，2，0)=(-1，2，-1). (1)求证：是平面ABCD的法向量； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为·=(-1，2，-1)·(2，-1，-4)=0 ·=(-1，2，-1)·(4，2，0)=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD=A， 所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. 证明 (2)求平行四边形ABCD的面积. 因为||==||==2 ·=(2，-1，-4)·(4，2，0)=6， 所以cos〈〉== 故sin〈〉= S▱ABCD=||·||sin〈〉=8. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 <<< $