第1章 1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量及其运算的坐标表示，涵盖空间直角坐标系、向量坐标运算、平行垂直判定及夹角距离计算。通过类比平面向量坐标化过程导入，以问题驱动建立知识联系，搭建从平面到空间的学习支架。 其特色在于以问题链引导探究，结合长方体、正四棱锥等模型实例，通过知识梳理、例题解析及反思感悟，培养数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。课堂小结梳理方法，配套分层练习，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 第一章　§1.3　空间向量及其运算的坐标表示 <<< 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点) 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点) 学习目标 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 导 语 一、空间直角坐标系及点的坐标 二、空间向量的坐标及坐标运算 课时对点练 三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 随堂演练 内容索引 四、夹角和距离的计算 空间直角坐标系及点的坐标 一 提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i， j}，以O为原点，分别以i， j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系. 利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 问题1 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 . 2.相关概念： 叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过____________的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分. x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz O 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx 知识梳理 3.在空间直角坐标系Oxyz中，i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使= .在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 . xi+y j+zk (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) (1)基向量：|i|=| j|=|k|=1，i· j=i·k= j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系. 注 意 点 <<< 10 　(课本例1)　如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 例 1 (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标； 11 点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k. 所以点D'的坐标是(0，0，2). 同理，点C的坐标是(0，4，0). 点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点A'的坐标是(3，0，2). 点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点B'的坐标是(3，4，2). 解 12 (2)写出向量的坐标. 13 ==0i+4j+0k=(0，4，0)； =-=0i+0j-2k=(0，0，-2)； =+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)； =++=-3i+4j+2k=(-3，4，2). 解 14 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 例 1 15 ∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)， D(-2，-2，0)，P(0，0，2). 答案不唯一. 解 16 试写出例1中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点. 延伸探究 建立同例1的空间直角坐标系(图略). 点A关于Ozx平面的对称点为(2，2，0)， 点A关于y轴的对称点为(-2，-2，0)， 点A关于坐标原点的对称点为(-2，2，0). 答案不唯一. 解 17 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. (2)求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 反 思 感 悟 18 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 跟踪训练 1 19 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA=OC=O1A1=O1C1=OB=. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴ABC. ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴A1C1. 解 20 ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1=1， ∴B1即该三棱锥各顶点的坐标为 ABC A1B1C1. 答案不唯一. 解 21 二 空间向量的坐标及坐标运算 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a= . (x，y，z) 2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b ____________________ 减法 a-b ___________________ 数乘 λa ______________ 数量积 a·b ______________ (a1+b1，a2+b2，a3+b3) (a1-b1，a2-b2，a3-b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1+a2b2+a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则= .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标. (x2-x1，y2-y1，z2-z1) 减去 (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量. 注 意 点 <<< 25 在△ABC中，A(2，-5，3)=(4，1，2)=(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； 例 2 26 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以=(x-2，y+5，z-3)，=(x1-x，y1-y，z1-z). 因为=(4，1，2)，所以 所以点B的坐标为(6，-4，5). 因为=(3，-2，5)，所以 所以点C的坐标为(9，-6，10). 解 27 (2)求·； 因为=(-7，1，-7)， 所以·=-21-2-35=-58. 解 28 (3)若点P在AC上，且=求点P的坐标. 设P(x2，y2，z2)，则=(x2-2，y2+5，z2-3)，=(9-x2，-6-y2，10-z2)， 于是有(x2-2，y2+5，z2-3)=(9-x2，-6-y2，10-z2)， 所以 故点P的坐标为. 解 29 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标). (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 反 思 感 悟 30 　(1)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是 A.(0，3，2) B.(0，4，2) C.(4，0，2) D.(2，3，4) 跟踪训练 2 ∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点， ∴B1的坐标为(4，3，2)，∴BC=4，DC=3，CC1=2， ∴C1的坐标为(0，3，2). 解析 √ 31 (2)已知a+b=(22)，a-b=(00)，则a=　　　　　 ，b=　　　 　　，a·b=　 　. a+b=(22)，a-b=(00)， ∴a=(1)，b=(1，0)， ∴a·b=1+0+3=4. 解析 (1) (1，0) 4 32 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 三 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔ ， ，________ (λ∈R)； (2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b=0⇔ . a1=λb1 a2=λb2 a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0). (2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔==. 注 意 点 <<< 35 (课本例2)　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1. 例 3 36 不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则EF 所以=. 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 所以=(1，0，1). 所以·=·(1，0，1)=0. 所以⊥即EF⊥DA1. 证明 37 　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b. (1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？ 例 3 因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)， 所以2a-b=(3，2，-2)， 又c= 所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c. 解 38 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值. 由(1)知ka+b=(k-1，k，2)， ka-2b=(k+2，k，-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b)， 所以(ka+b)·(ka-2b)=0， 即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0. 解得k=2或-. 解 39 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 反 思 感 悟 40 已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c. 跟踪训练 3 因为a∥b，所以设a=λb，λ∈R，则(x，1，-1)=λ(-2，y，1)， 即 所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)， 又b⊥c，所以b·c=-4+3+z=0， 解得z=1，所以c=(2，-3，1). 所以a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，c=(2，-3，1). 解 41 夹角和距离的计算 四 提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， 于是||==. 所以P1P2=||= 这就是空间两点间的距离公式. 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 问题2 1.空间两点间的距离公式： (1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， P1P2=||=. (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=. 2.空间向量的夹角公式： 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉== . 知识梳理 　(课本例3)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1. (1)求AM的长； 例 4 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为. 于是AM==. 解 45 (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 46 由已知，得B(1，1，0)，E1D(0，0，0)，F1 所以=-(1，1，0)= =-(0，0，0)=||=||=. 所以·=0×0++1×1=. 所以cos〈〉===. 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是. 解 47 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； 例 4 48 以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)， 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N. ∵=(1，-1，1)，= ∴||== ||== 故BM的长为BN的长为. 解 49 (2)求△BMN的面积. 50 ∵cos∠MBN=cos〈=== ∴sin∠MBN== 故S△BMN=·||·||·sin∠MBN =×××=. 即△BMN的面积为. 解 51 利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标； ②写出向量的坐标. (3)代入公式进行计算. (4)写出答案. 反 思 感 悟 52 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点. (1)求证：EF⊥B1C； 跟踪训练 4 53 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则EF C(0，1，0)，B1(1，1，1)， =-= =(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1). ∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0， ∴⊥即EF⊥B1C. 证明 54 (2)求FH的长； ∵FH∴= ∴||==. ∴FH的长为. 解 55 (3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 56 ∵C1(0，1，1)，G ∴=-(0，1，1)=. ∴||=. 由(1)得·=×0+×+×(-1)=||= ∴|cos〈|〉==. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 解 57 1.知识清单： (1)空间直角坐标系及空间点的坐标. (2)空间向量的坐标表示及坐标运算. (3)空间向量的坐标表示及应用. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=则点B的坐标应为 A.(-1，3，-3) B.(9，1，1) C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1) √ ==-=+=(9，1，1). 解析 1 2 3 4 2.设向量a=(1，2，m)，b=(2，0，-1)，若a⊥b，则m等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 由a⊥b，得a·b=1×2+2×0+m×(-1)=0，解得m=2. 解析 1 2 3 4 3.已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　　. 点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6. 解析 6 1 2 3 4 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角 为　　　. ∵=(0，3，3)=(-1，1，0)，∴||=3||= ·=0×(-1)+3×1+3×0=3， ∴cos〈== 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈=. 解析 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 BCD A C D A ABD 题号 8 11 12 13 14 15 答案 - A C BC ∪ 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以Cx，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，1，0)， A1(1，0，2)，N(1，0，1)， =(0，1，0)， =(1，0，1)-(0，1，0)=(1，-1，1). =(1，0，2)-(0，1，0)=(1，-1，2). 答案不唯一. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得N(1，0，1)， M ∴= ∴||==.∴M，N. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)， C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴=(1，-1，2)=(0，1，2)， ·=3，||=||= ∴cos〈〉==. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0，0，0)，B11，2)，C(0，2，0)，B1，0)， M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， =1，2)， = 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||=2 ||=·=2m-1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos〉|== =使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 基础巩固 1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确. 解析 √ √ 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，-2，4)关于y轴对称的点为 A.(-1，-2，-4) B.(-1，-2，4) C.(1，2，-4) D.(1，2，4) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 关于y 轴对称，则y的值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(-1，-2，-4). 解析 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则等于 A. B. C. D. √ =+=(0，0，1)+=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是 A.1 B. C. D. √ 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0， 所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0， 而|a|2=2，|b|2=5，a·b=-1， 所以4k+k-2-5=0，解得k=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于 A.3 B.2 C. D.5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a-b+2c=(9，3，0)， ∴|a-b+2c|==3. 解析 6.(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是 A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4) +5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确； 因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)= (2λ，-4λ，λx)，即故B正确； 因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)， 所以|m+n|= ==解得x=-5，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x=则m=(-1，2，5)，n=(2，-4)，所以cos〈m，n〉===故D正确. 解析 7.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系，则 △ABC的重心G的坐标是　　 　　 . 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). 由重心坐标公式得点G的坐标为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为　　　　. 由题意知，cos 120°===- 即=k2=39， 显然k<0，所以k=-. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N是A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系求向量的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，B(0，1，0)， A1(1，0，2)，N(1，0，1)， 则=(0，1，0)， =(1，0，1)-(0，1，0)=(1，-1，1). =(1，0，2)-(0，1，0)=(1，-1，2). 答案不唯一. 解 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M，N分别是B1C1，A1A的中点. (1)求M，N的距离； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，依题意得N(1，0，1)，M ∴= ∴||==. ∴M，N的距离为. 解 (2)求cos〈 〉的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)， C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴=(1，-1，2)=(0，1，2)， ·=3，||=||= ∴cos〈 〉==. 解 11.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为 A. B.3 C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为=. 解析 12.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，所以=(1+t，2t-1，0)， 所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2， 易知当t=时，||2取得最小值 ， 即A，B两点的距离的最小值为 . 解析 13.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则 A.若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞) B.若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2) C.存在t∈R，使得||=2|| D.存在t∈R，使得||=2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 对于A=(1，t-4，3)=(2，4，t)，向量的夹角是锐角， 则·0且不共线， 又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0，解得t>2， 若=λ(λ>0)， 即 所以≠λt≠6，综上所述，若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，若向量·<0且不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确； 对于C，||=||=因为||=2||，所以=2整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84= 16>0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D=(1，8-t，t-3)， 因为||=2，即||= =2， 整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a=(5，3，1)，b=若a与b的夹角为钝角，则 实数t的取值范围为　　　　　　 　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t- 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t-<0，所以t<. 若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a=λb， 即(5，3，1)=λ 所以 故t的取值范围是∪. 解析 15.已知向量a=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为 　　　　 　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=λλ∈R， 因为A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)， 所以=(1，-1，-2)=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)， =-=(λ-3，-λ-1，-2λ+4)， 因为⊥a，所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ= 所以= 所以点E的坐标为. 解析 16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0，0，0)，B1(1，2)，C(0，2，0)，B(1，0)， M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(1，2)= 所以||=2||=·=2m-1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos 〈|〉== 即= 使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N， 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 解 第一章　§1.3　空间向量及其运算的坐标表示 <<< $