第1章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的共线与共面问题，系统梳理从平面向量共线到空间向量共线的充要条件，延伸至共面向量的定义及充要条件，通过问题引导、知识梳理、例题解析与跟踪训练搭建学习支架，助力掌握三点共线、四点共面的证明方法。 该资料以类比迁移和问题驱动为特色，通过具体实例（如三点共线充要条件推导、长方体中四点共面证明）培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理逻辑关系、用数学语言表达空间位置的核心素养，课中辅助教师高效授课，课后分层练习帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

第2课时　共线向量与共面向量 学习目标　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面(难点). 导语 我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下. 一、空间向量共线的充要条件 问题1　平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 知识梳理 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 例1　(1)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且有=α+β则α+β=1是A，B，C三点共线的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　充分性：若α+β=1， 则-=β(-)， 即=β显然，A，B，C三点共线； 必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ 故-=λ(-)， 整理得=(1+λ)-λ 令α=1+λ，β=-λ，则α+β=1. 故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件. (2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴- =+)-+) =-)=-)=. ∴∥即与共线. 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴++ =++. ① 又∵+++ =-+-- ② ①+②得2 ∴∥即与共线. 反思感悟　向量共线的判定及应用 (1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法： ①=λ(λ∈R)； ②对空间任一点O+λ(λ∈R)； ③对空间任一点O=x+y(x+y=1). 跟踪训练1　满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A.+ B.- C. D.||=|| 答案　C 解析　对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则， 都有+选项A错误； 若-则+ 而+据此可知 即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误； 若则A，B，C三点共线，选项C正确； 若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误. 二、空间向量共面的充要条件 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？ 提示　如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb. 知识梳理 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb 注意点：共面向量中，向量a，b不共线. 例2　(课本例1)　如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证： E，F，G，H 四点共面. 证明　因为====k， 所以=k=k=k=k. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以=+ 因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-) =-+-=+. 由向量共面的充要条件可知共面， 又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面. 例2　(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明　设=a=b=c， 则=b-a， ∵M为线段DD1的中点， ∴=c-a， 又∵AN∶NC=2∶1， ∴(b+c)， ∴-(b+c)-a =(b-a)+ =+ ∴为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. (2)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式=x+y+z求证：点P在平面ABC内的充要条件是x+y+z=1. 证明　①充分性 ∵=x+y+z 可变形为=(1-y-z)+y+z ∴-=y(-)+z(-)， ∴=y+z∴点P与A，B，C共面. ②必要性 ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使=m+n -=m(-)+n(-)， ∴=(1-m-n)+m+n ∵=x+y+z ∴x=1-m-n，y=m，z=n， ∴x+y+z=1. 反思感悟　向量共面的判定及应用 (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. ①=x+y； ②对于空间任意一点O=x+y+z(x+y+z=1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 跟踪训练2　(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++则m的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2 D.-3 答案　C 解析　由-=m++ 得=m+2+ ∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴m+2+1=1，∴m=-2. (2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量共面. 证明　因为M在BD上，且BM=BD， 所以+. 同理+. 所以++ =++ =++. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的充要条件. (3)空间向量共面的充要条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是(　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 答案　A 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量. 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.=3-- B.++ C.++=0 D.+++=0 答案　AC 解析　A选项中，3-1-1=1，四点共面； C选项中=-- ∴点M，A，B，C共面. 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x++则x的值为(　　) A.1 B.0 C. D. 答案　C 解析　∵=x++ =x+-)+ =++ 且M，A，B，C四点共面， ∴++=1，∴x=. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　　　　.  答案　- 解析　如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D， 且EF=A1D， ∴即-=0，∴λ=-. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知非零向量a，b，且=a+2b=-5a+6b=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　∵+=2a+4b=2 ∴A，B，D三点共线. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由正方体的性质可得由图形(图略)易知共面. 3.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n其中m+n=1，则(　　) A.P∈直线AB B.P∉直线AB C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对 答案　A 解析　因为m+n=1， 所以m=1-n， 所以=(1-n)+n 即-=n(-)， 即=n 所以与共线. 又有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上， 即P∈直线AB. 4.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且-x+则实数x的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　-x+ =-x+-) =-x-. 又∵P是空间中任意一点， A，B，C，D四点满足任意三点均不共线， 但四点共面， ∴-x-=1，解得x=. 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 得++++ 即=t=t+t+ 由N为AM与平面BDA1的交点， 则N，B，D，A1四点共面， 则t+t+=1，所以t=. 6.(多选)下列命题中为真命题的有(　　) A.向量a，b，c共面即它们所在直线共面 B.若∥则A，B，C三点共线 C.若a∥b，b∥c，则a与c所在直线不一定平行 D.若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1-e2，b=-e1+e2，则a∥b 答案　BCD 解析　向量a，b，c共面，它们所在直线可能共面，也可能两两平行但不共面，故A错误；因为∥且有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；若a∥b，b∥c，当b=0时，a与c所在直线不一定平行，故C正确；由于a=4e1-e2=-4=-4b，所以a∥b，故D正确. 7.(5分)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2=e1+3e2=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　　　.  答案　-8 解析　由已知得- =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R， 使得=λ. ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k=-8. 8.(5分)已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P为平面α外的一点，满足+-4+λ=0，则λ=　　　　.  答案　2 解析　因为A，B，C，D四点在平面α内， 且点P为平面α外的一点， 则+-4+λ=0， 即=-+4-λ 所以-1+4-λ=1， 解得λ=2. 9.(10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且=2点F在A1C上，且.求证：E，F，B三点共线. 证明　设=a=b=c. 因为=2 所以 所以b， -)=+-)=a+b-c， 所以-a-b-c=. 又++=-b-c+a =a-b-c， 所以所以∥. 又与有公共点E， 所以E，F，B三点共线. 10.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 证明　令=a=b=c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 所以-b-a， +a+c， ++=-a+b+c. 设=λ+μ 则-a+b+c=λ+μ =(μ-λ)a+λb+μc， 所以解得 所以=2+ 所以向量共面. 又向量过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面. 11.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为(　　) A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0 答案　B 解析　∵A，B，C三点共线=2+μ ∴2+μ=1，∴μ=-1， 又由λ+m+n=0， 得=-- 由A，B，C三点共线知，--=1， 则λ+m+n=0. 12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足+x+y=2x++y则x+3y等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由点A，B，C，D四点共面得x+y= ① 又由点B，C，D，E四点共面得2x+y= ② 联立①②，解得x=y= 所以x+3y=. 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有+7+6-4那么点M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 答案　C 解析　+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6(-)-4(-) =11-6-4又11-6-4=1， 于是M，B，A1，D1四点共面， 所以点M必在平面BA1D1内. 14.已知O-ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足2=x+y+z则以下等式一定成立的是(　　) A.x+y+z=1 B.x+y+z=0 C.x+y+z=-1 D.x+y+z= 答案　B 解析　因为P∈平面ABC， 设=m+n(m，n∈R)， 则=m(-)+n(-) =(-m-n)+m+n 所以2=(-2m-2n)+2m+2n=x+y+z 则x=-2m-2n，y=2m，z=2n， 因此x+y+z=0. 15.(5分)已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点=-++则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.  答案　9 解析　因为=-++ 则15=-+3+4 即15=--+3+3+4+4 即9=-+3+4 所以=-++ 因为-++=1， 则在平面ABC内存在一点D， 使得=-++成立， 即所以 即则 又三棱锥P-ABC的体积为15， 则VA-MBC=VP-ABC=×15=9. 16.(12分)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且点G在AH上，且=m，若G，B，P，D四点共面，求m的值. 解　如图，连接BG. 因为- 所以-. 因为+ 所以+- =-++. 因为所以 所以(-++) =-++. 又因为- 所以=-++. 因为=m， 所以=m=-++. 因为=-+-+ 所以++. 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1-=0，m= 即m的值是. 学科网（北京）股份有限公司 $