2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第三章 3.2 3.2.1　双曲线及其标准方程

该高中数学课件聚焦双曲线及其标准方程，涵盖定义、标准方程及应用。通过从具体情境（如动圆外切、运土路径）抽象模型，对比椭圆辨析定义中2a与焦距关系，搭建从概念到方程再到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象和数学建模为核心，通过定义辨析（如2a与|F1F2|的三种情况）、待定系数法求方程（例2多情境应用）及实际问题（炮弹轨迹），培养学生运算能力与逻辑思维。课堂探究结合变式训练（如例1变式）和方法总结（定位定量），助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源与分层练习设计参考。

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其 标准方程 [目标导航] 课标要求 1.经历从具体情境中抽象出双曲线的模型,理解双曲线的概念 2.掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题 3.掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距. 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 F1(-c,0),F2(c,0) 2.双曲线的标准方程 项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 焦点坐标 a,b,c的 关系 c2= F1(0,-c),F2(0,c) a2+b2 (1)双曲线的定义 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”. 当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; 当2a>|F1F2|时,轨迹不存在. (2)双曲线的标准方程 ①标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定. ②a,b,c三个量的关系:标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定. 小试身手 1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为 　 . 以M,N为焦点的双曲 线的右支 2.动点P与点F1(0,5),F2(0,-5)满足 |PF1|-|PF2|=6,则点P的轨迹方程为　 . 4.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹 方程为　　　　　　　　　　.  课堂探究·素养培育 双曲线的定义及应用 B 在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用. 求双曲线的标准方程 [例2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 即时训练2-1:求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)经过点(3,0),(-6,-3). (1)双曲线标准方程的两种求法 ①定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程. (2)求双曲线标准方程的两个关注点 ①定位:“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式. ②定量:“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解. 双曲线定义与标准方程的应用 A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 A (2)某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工. 即时训练3-1:(1)若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为　　　　　;  -1 (2)设声速为a m/s,在相距10a m的A,B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差6 s,求炮弹爆炸点所在曲线的方程. (2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤: ①建立适当的坐标系; ②求出双曲线的标准方程; ③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意:a.解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. b.实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围. 当堂即练·素养达成 1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是(　 　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 当堂即练 D 解析:F1,F2是定点,且|F1F2|=10, 所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D. C C 4.已知圆C:(x+3)2+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点,AQ的垂直平分线交直线 CQ于点M,则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  1.理解双曲线定义应注意以下三点:①定义中的动点与定点在同一平面内;②距离的差要加绝对值,否则只表示双曲线的一支;③距离差的绝对值必须小于焦距,否则不是双曲线,而是两条射线或无轨迹.通过双曲线定义的学习,达成了培养数学抽象、数学建模核心素养的目的. 2.利用待定系数法可以求双曲线的标准方程,求解步骤包括“定位”与“定量”两步.通过双曲线标准方程的学习,达成了培养数学运算、直观想象等核心素养的目的. 课堂小结 感谢观看 -=1 -=1 -=1(y≤-3) 解析:由|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线下支, 得c=5,2a=6, 所以a=3,所以b2=16, 故动点P的轨迹方程是-=1(y≤-3). 3.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是　　　　　　 　　. (-∞,-)∪(,+∞) 解析:因为方程-=1表示双曲线,而m2+1>0恒成立, 所以m2-3>0,解得m<-或m>. 解析:设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.所以点P的轨迹是以A,B为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 又因为2c=8,所以c=4.所以b2=c2-a2=12, 所以动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2). -=1(x≤-2) [例1] 设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶ |PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为(　　) A.6 B.12 C.12 D.24 解析:如图所示, 因为|PF1|-|PF2|=2a=2, 且|PF1|∶|PF2|=3∶2, 所以|PF1|=6,|PF2|=4. 又因为|F1F2|=2c=2, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以S=|PF1|·|PF2|=×6×4=12.故选B. 解:由题意·=0,得PF1⊥PF2,所以△PF1F2为直角三角形, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2. 又因为||PF1|-|PF2||=2a=2,|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=4×(1+12)=52, 所以4+2|PF1|·|PF2|=52,所以|PF1|·|PF2|=24,所以=|PF1|·|PF2|=12. 变式训练1-1:若把本题中的“|PF1|∶|PF2|=3∶2”改为“·=0”,求△PF1F2的面积. (1)过点P(3,),Q(,5)且焦点在坐标轴上; 解:(1)设双曲线方程为+=1(mn<0). 因为P,Q两点在双曲线上, 所以解得 所以所求双曲线的方程为-=1. 解:(2)因为焦点在x轴上,c=,所以设所求双曲线的方程为-=1(0<λ<6). 因为双曲线过点(-5,2),所以-=1, 解得λ=5或λ=30(舍去), 所以所求双曲线的方程为-y2=1. (2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上; 解:(3)因为所求双曲线与双曲线 -=1有相同的焦点,所以可设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16). 因为双曲线过点(3,2),所以-=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去), 所以所求双曲线的方程为-=1. (3)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2). (1)a=4,经过点A(1,-); 解:(1)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为-=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时, 设所求双曲线的标准方程为-=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=9,所以所求双曲线的标准方程为-=1. 解:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), 因为双曲线经过点(3,0),(-6,-3), 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1. ②待定系数法:先设出双曲线的标准方程-=1或-=1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. [例3] (1)若θ为三角形的一个内角,且sin θ+cos θ=,则曲线x2sin θ+y2cos θ=1是(　　) (1)解析:因为sin θ+cos θ=, 所以sin θcos θ=-<0. 又θ为三角形的一个内角, 所以sin θ>0,cos θ<0.所以曲线x2sin θ+y2cos θ=1是焦点在x轴上的双曲线.故选A. (2)解:设M是沿AP,BP运土同样远的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 在△PAB中,由余弦定理得, |AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos 60°=1002+1502-2×100×150×=17 500. 所以以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立平面直角坐标系,则分界线是双曲线,即-=1(x≥25). 故运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工. (1)解析:由8kx2-ky2=8化为标准方程为-=1.因为焦点在y轴上,所以<0,即k<0,所以c2=-=9,所以k=-1. (2)解:以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立直角坐标系.设炮弹爆炸点的轨迹上的点为P(x,y),由题意可得||PA|-|PB||=6a<10a,所以点P(x,y)的轨迹方程为双曲线-=1. (1)将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 解析:将双曲线方程化为标准形式x2-=1, 所以a2=1,b2=, 所以c==, 所以右焦点坐标为(,0).故选C. 2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(　 　) A.(,0) B.(,0) C.(,0) D.(,0) 3.与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为(　 　) A.x2-=1 B.y2-x2=1 C.-=1 D.-x2=1 解析:因为椭圆C:+=1的焦点为(0,2),(0,-2),所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则有 解得a2=b2=2,所以方程为-=1.故选C. 解析:由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,得|MA|=|MQ|,圆的半径为2. 所以||MC|-|MA||=2<|AC|=6, 故M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线,所以由题意得2a=2,2c=6. 所以a=1,c=3,b2=c2-a2=8. 焦点在x轴上,故所求方程为x2-=1. x2-=1 $