第3章 培优课 抛物线焦点弦性质的应用（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线焦点弦性质及应用，从抛物线定义导入，通过梳理焦点弦的坐标关系、弦长公式等四大性质，结合例题对比常规方法与性质应用，搭配跟踪训练构建从基础到培优的学习支架。 其亮点在于以性质应用为主线，培养数学思维与模型观念，如用焦点弦性质快速解决焦点弦长、向量数量积问题，学生提升解题效率，教师获得系统分层教学资源，助力培优教学实施。

培优课 抛物线焦点弦性质的应用 第三章　圆锥曲线的方程 <<< 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2=，y1·y2=-p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|=x1+x2+p= (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)+=为定值. 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷. 一、x1·x2=，y1·y2=-p2的应用 二、|AB|=x1+x2+p=的应用 课时对点练 三、+=的应用 随堂演练 内容索引 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 x1·x2=，y1·y2=-p2的应用 一 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=-12，则抛物线C的方程为 A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x √ 例 1 5 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 方法一　设直线AB的方程为x=my+， 联立消去x，得y2-2pmy-p2=0， 则y1y2=-p2，x1x2==， 得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 解析 6 方法二　直接运用x1·x2=，y1·y2=-p2， 得·=x1x2+y1y2=-p2 =-p2=-12，解得p=4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2=8x. 解析 7 在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果. 反 思 感 悟 8 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是 A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 跟踪训练 1 √ 9 方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y=kx+1，与抛物线C：x2=4y联立，得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4，所以· =x1x2+y1y2=x1x2+·=-4+1=-3<0，所以∠AOB为钝角. 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2=-p2=-4，y1y2==1，则·= x1x2+y1y2=-4+1=-3<0，故∠AOB为钝角. 解析 10 二 |AB|=x1+x2+p=的应用 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 例 2 12 当焦点在x轴正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 则直线方程为y=-x+. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|=，∴=8，∴p=2， 故所求的抛物线方程为y2=4x. 当焦点在x轴负半轴时，设抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时， 同理可求得抛物线方程为y2=-4x. 综上，抛物线方程为y2=±4x. 解 13 利用|AB|=x1+x2+p= (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解抛物线焦点弦的长度问题. 反 思 感 悟 14 经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p=　　.  跟踪训练 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1+x2=14， ∴14+p=，∴p=2. 解析 2 15 +=的应用 三 过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF| =2|BF|，则|AB|等于 A.4 B. C.5 D.6 √ 例 3 因为|AF|=2|BF|，+=+===1， 解得|BF|=，|AF|=3， 故|AB|=|AF|+|BF|=. 解析 17 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 反 思 感 悟 18 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为 A.5 B.6 C. D. 跟踪训练 3 √ 19 如图，过点A作AD⊥l，|AD|=|AF|=|AC|=4，|OF|==4×=1， 所以p=2， 因为+=，|AF|=4， 所以|BF|=， 所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. 解析 20 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 四 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切. 例 4 设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'， 则由抛物线定义可知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|， 在直角梯形BB'A'A中， |MM'|=(|AA'|+|BB'|)=(|AF|+|BF|)=|AB|， 即|MM'|等于以AB为直径的圆的半径. 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 22 分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？ 延伸探究 23 它们都与y轴相切， 证明如下： 设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于点E， 取AF的中点M， 作MM'⊥y轴于点M'， 则由抛物线的性质可知|AA'|=|AF|， |OF|=|A'E|， 解 24 在直角梯形OFAE中， |MM'|=(|OF|+|AE|)=(|A'E|+|AE|) =|AA'|=|AF|， 即|MM'|等于以AF为直径的圆的半径， 故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得以BF为直径的圆与y轴相切. 解 25 解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要. 反 思 感 悟 26 　过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为 A.15° B.30° C.45° D.不确定 跟踪训练 4 √ 27 如图，取AB的中点G，连接MG，则以线段AB为直径的圆与准线l切于点M，MG∥x轴，由题意知F，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k， 联立y2-y-=0， 由根与系数的关系得y1+y2=， ∴点M，∴kMF==-， ∴kAB·kMF=-1， 解析 28 ∴MF⊥AB，∵∠AMF=60°， ∴∠GAM=∠GMA=30°， ∴∠MFO=∠GMF=30°. 解析 29 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是 A.y轴 B.x=-1 C.x=-2 D.不存在 √ 抛物线焦点为F(1，0)，即=1，p=2，故抛物线C：y2=4x，准线方程为x=-1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 解析 1 2 3 4 2.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于 A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 √ 1 2 3 4 方法一　设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1>0，y1>0， 则由题意可得F(2，0)，|AF|=x1+2=6， 则x1=4，由=8x1，得y1=4， 所以kAB==2， 直线AB的方程为y=2(x-2)， 将直线AB的方程代入y2=8x化简得x2-5x+4=0， 所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3. 解析 1 2 3 4 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得， +=， 所以=-=，可得|BF|=3. 解析 1 2 3 4 3.已知抛物线y=2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于 A.- B.- C.-1 D.-2 √ 1 2 3 4 方法一　依题意，直线MN斜率存在， 设其方程为y=kx+， 由消去y整理得x2-kx-=0， ∴x1x2=-. 方法二　y=2x2即x2=y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2=-p2=-. 解析 1 2 3 4 4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为　　　.  由抛物线的方程y2=4x，可得p=2，故它的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1. 由中点坐标公式可得PQ的中点 M，由于x1+x2=6， 则M到准线的距离为+1=4. 解析 4 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C C AC 8 3+2 题号 11 12 13 14 　15 答案 D ABD C 1 　ACD　 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)方法一　因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k=tan 60°=. 又F. 所以直线l的方程为y=. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 消去y，得x2-5x+=0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=5， 而|AB|=|AF|+|BF|=+=x1+x2+p， 所以|AB|=5+3=8. 方法二　因为抛物线y2=6x，所以p=3， 又直线l的倾斜角α=60°，所以|AB|===8. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， |AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9， 所以x1+x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x=- 所以M到准线的距离等于3+=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意|PF|=1+=2，p=2，∴抛物线方程为y2=4x. (2)方法一　由(1)知焦点为F(1，0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)， 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=|AB|=x1+x2+2=+2=8， 解得k=1或k=-1. 方法二　若直线l的斜率不存在， 则|AB|=4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，|AB|=代入可得sin2α== 即α=45°或135°，则k=tan α=±1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由抛物线方程y2=4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， 所以yA·yB=-p2=-4， xA·xB==1. (2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F，则yM·yN=-4， ∴=4xM=4xN， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1， ∴= = 整理得3(yM+yB)=yN+yA， ∴3=yN+yA， 即yN·yA=-12， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线AN的方程为y-yA=x-xA)， ∴y-yA=x-xA)，即y-yA=x-xA)， ∴4x-(yN+yA)y+yN·yA=0， ∴4x-(yN+yA)y-12=0， 令y=0，得x=3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 基础巩固 1.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 A. B.p C.2p D.无法确定 √ 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于 A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x1x2=，y1y2=-p2，所以=-4. 解析 3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若|AB|=4，则AB中点的纵坐标是 A.1 B.2 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4， |PQ|==2. 又|PQ|=y0+， ∴y0+=2，∴y0=. 解析 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则+的值为 A. B. C.1 D.2 √ 由抛物线焦点弦的性质可得， +==1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：x=-，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三个答案均有可能 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据结论可知以AB为直径的圆和准线相切， 该抛物线的准线为x=-1， 故这个圆和直线x=-相离. 解析 6.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，直线y=-(x-1)过点(1，0)， 所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)， 所以=1，p=2，故A正确； B项，由题意知直线y=-(x-1)的倾斜角为α=120°， 所以|MN|===，故B错误； C项，由抛物线焦点弦的性质知C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1>x2， 由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0， 解得x1=3，x2=， 则y1=-×(3-1)=-2， y2=-×=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|OM|==， |ON|==， 且|MN|=， 所以△OMN不是等腰三角形，故D错误. 解析 7.已知直线l：y=x-1经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=　　　.  设直线AB的倾斜角为α，则sin α=，由题意知，直线l：y=x-1过点(1，0)，所以=1，解得p=2，则|AB|===8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8.若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF| +2|BF|的最小值为　　 　　.  由题意知p=2，所以+==1， |AF|+2|BF|=(|AF|+2|BF|)=3++≥3+2， 当且仅当=时，等号成立. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3+2 9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k=tan 60°=.又F. 所以直线l的方程为y=. 联立 消去y，得x2-5x+=0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=5， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而|AB|=|AF|+|BF|=+=x1+x2+p， 所以|AB|=5+3=8. 方法二　因为抛物线y2=6x，所以p=3， 又直线l的倾斜角α=60°， 所以|AB|===8. 解 (2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， |AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9， 所以x1+x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x=-， 所以M到准线的距离等于3+=. 解 10.已知点P(1，m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意|PF|=1+=2，p=2， ∴抛物线方程为y2=4x. 解 (2)若|AB|=8，求直线l的斜率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由(1)知焦点为F(1，0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)， 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=， |AB|=x1+x2+2=+2=8， 解得k=1或k=-1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　若直线l的斜率不存在， 则|AB|=4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，|AB|=， 代入可得sin2α==， 即α=45°或135°，则k=tan α=±1. 解 11.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 A. B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知抛物线中p=，焦点F， 直线AB的斜率k=， 故直线AB的方程为y=， 由抛物线的性质可得弦长|AB|==12， 又O到直线AB的距离d=·sin 30°=， ∴S△OAB=|AB|·d=. 解析 12.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是 A.抛物线的准线方程为x=-1 B.若++=0，则2||=||+|| C.若A，F，C三点共线，则y1y2=-1 D.若|AC|=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把点B(1，2)代入抛物线y2=2px，得p=2，所以抛物线的准线方程为x=-1，故A正确； 因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)， 所以=(x1-1，y1)，=(0，2)，=(x2-1，y2)， 又由++=0，得x1+x2=2， 所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以线段AC是焦点弦，所以y1y2=-p2=-4，故C不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|+|CF|≥|AC|， |AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2， 所以2x0+2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 解析 13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|，则|BF|等于 A.2 B.3 C.4 D.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程l：x=-1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|，|BF|=|BE|，又|AC|=2|AF|，所以|AC|=2|AD|，则∠ACD=. 所以直线AB的倾斜角为， 因为|HF|=p=2，==， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|AF|=|AD|=. 又|AB|===， 即|AF|+|BF|=，所以|BF|=4. 解析 14.如图，过抛物线y=x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+ (y-1)2=1于A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD) 四点，且xA<xB<xC<xD，则|AB|·|CD|=　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 抛物线y=x2可化为x2=4y，则p=2，由题图可知|AB|=|AF|-1=yA+1-1=yA，|CD|=|DF|-1=yD+1-1=yD，∴|AB|·|CD|=yAyD，又yAyD==1，∴|AB|·|CD|=1. 解析 15.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是 A.·=-p2 B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.+= D.若|AF|·|BF|=4p2，则直线CD的斜率为- 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2=-p2，x1x2=，|AB|=， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 同理可得y3y4=-p2， x3x4=，|CD|=. 对于A，·=x3x4+y3y4=-p2=-，故正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB| ==，故其最小值为8p2，故错误； 对于C，+=+=，故正确； 对于D，若|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=4p2， 则(x1+x2)=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x1+x2=7p，即7p+p=， ∴sin2θ=，sin θ=(舍负)， 又k>0，∴θ=， 则直线CD的倾斜角为，其斜率为-，故正确. 解析 16.如图，A，B，M，N为抛物线y2=4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1，0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由抛物线方程y2=4x， 可知焦点为F(1，0)，直线AB过点F， 所以yA·yB=-p2=-4，xA·xB==1. 解 (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2=3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(xM，yM)，N(xN，yN)， 直线MN过焦点F，则yM·yN=-4， ∴=4xM，=4xN， ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1， ∴=，即=， 整理得3(yM+yB)=yN+yA， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴3=yN+yA， 即yN·yA=-12， 设直线AN的方程为y-yA=(x-xA)， ∴y-yA=(x-xA)， 即y-yA=(x-xA)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴4x-(yN+yA)y+yN·yA=0， ∴4x-(yN+yA)y-12=0， 令y=0，得x=3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3，0). 解 第三章　圆锥曲线的方程 <<< $