第3章 3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与抛物线的位置关系、弦长问题及轨迹问题，通过类比椭圆、双曲线与直线的位置关系导入，衔接上节课抛物线几何性质，搭建旧知迁移的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过分类讨论斜率存在与否、判别式应用培养数学思维，结合焦点弦长公式、轨迹问题定义法等提升数学表达，例题与跟踪训练步骤详尽，助力学生掌握方法，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第2课时 直线与抛物线的位置关系 第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< 1.了解抛物线的简单应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题(难点). 学习目标 上节课我们研究了抛物线的简单几何性质，这节课我们继续探究直线与抛物线的位置关系及弦长问题. 导 语 一、直线与抛物线的位置关系 二、弦长问题 课时对点练 三、与抛物线有关的轨迹问题 随堂演练 内容索引 直线与抛物线的位置关系 一 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交. 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 问题1 设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k=0，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. Δ>0 Δ=0 Δ<0 一个 知识梳理 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 注 意 点 <<< 8 已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 例 1 9 联立消去y， 得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*) 当k=0时，(*)式只有一个解x=， 此时l与C只有一个公共点. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点； 解 10 ②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点. 综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 解 11 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点. 反 思 感 悟 12 过点(2，-1)且与抛物线y=x2只有一个公共点的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 跟踪训练 1 √ 13 (1)当过点(2，-1)的直线斜率不存在时，显然直线x=2与抛物线y=x2有且只有一个公共点； (2)当直线过点(2，-1)且斜率存在，且与抛物线相切时， 直线与抛物线只有一个公共点， 设直线方程为y+1=k(x-2)， 代入到抛物线方程 y=x2， 消去y得x2-kx+2k+1=0， 解析 14 则Δ=k2-4(2k+1)=0，解得k=4±2， 即过点(2，-1)的切线有2条， 综上可得，过点(2，-1)且与抛物线y=x2有且只有一个公共点的直线共有3条. 解析 15 二 弦长问题 提示　1.利用弦长公式. 2.根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？ 问题2 (课本例4)　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 例 2 18 由题意可知，p=2=1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1， 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)， 所以直线l的方程为y=x-1. ① 将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简， 得x2-6x+1=0. 所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段AB的长是8. 解 19 过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例 2 20 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有=8x1，=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2). ∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2， 则直线AB的斜率k===4， ∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4)，即4x-y-15=0. 由 解 21 消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30. 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)， 由 消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0. 解 22 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=， ∵P是AB的中点，∴=1，∴=2，∴k=4. ∴所求直线AB的方程为4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30， 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 解 23 求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 反 思 感 悟 24 　 (1)若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB| 等于 A.2 B.12 C. D.13 跟踪训练 2 √ 25 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2-7x+4=0， ∴x1+x2=7，x1x2=4， ∴|AB|=|x1-x2|=×=. 解析 26 (2)若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　. ±2 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，则直线y=k(x-2)恒过焦点，若k=0，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，故k≠0， 联立消去y，整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0， Δ=(4k2+8)2-16k4=64k2+64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，因为|AB|=x1+x2+4=10， 故=6，解得k=±2. 解析 27 与抛物线有关的轨迹问题 三 　(课本例6)　如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 例 3 29 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m). 由题意，直线OB的方程为y=-x. ① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①， 得m=-x， ② 所以点P的横坐标x满足②. 直线OE的方程为y=x， ③ 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③. 将②代入③，消去m，得x2=-y(0≤x≤a)，即点P的轨迹方程. 解 30 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； 例 3 过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)， 则|PN|=y，由题意知|PM|-|PN|=， ∴ =y+，化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y. 解 31 (2)若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求实数k的值. 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去y并化简得x2-2kx-2=0， ∴x1+x2=2k，x1x2=-2. ∵|AB|=·=·=2， ∴k4+3k2-4=0，又k2≥0，∴k2=1，∴k=±1. 解 32 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程. (2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程. 反 思 感 悟 33 若动点P(x，y)满足=，则点P的轨迹应为 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 跟踪训练 3　 √ 动点P=， 所以动点Px-y-1=0的距离相等，其中定点不在定直线上.因此点P的轨迹应为抛物线. 解析 34 1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线的弦长问题. (3)抛物线的轨迹问题. 2.方法归纳：直接法、定义法、代数法. 3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 √ 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，此时直线l与抛物线相交.当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 解析 1 2 3 4 2.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 √ 依题意可知动点P(x，y)在直线x+2=0的右侧， 设P到直线x+2=0的距离为d， 则|PF|=d+1， 所以动点P到F(3，0)的距离与到x+3=0的距离相等，其轨迹为抛物线. 解析 1 2 3 4 3.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为 A.2 B.2 C.2 D.2 √ 1 2 3 4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由直线AB的斜率为-2，且过点(1，0)得， 直线AB的方程为y=-2(x-1)， 代入抛物线方程y2=8x，得4(x-1)2=8x， 整理得x2-4x+1=0， 则x1+x2=4，x1x2=1，由弦长公式得， |AB|=· =×=2. 解析 1 2 3 4 4.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是　　　　.   由 得x2-8x+4=0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=8，y1+y2=x1+x2-4=4， 故线段AB的中点坐标为(4，2). 解析 (4，2) 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B A B ACD 4 2 题号 11 12 13 14 　15 答案 A D B 10 　y2=3x 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得x2+(2m-8)x+m2=0. 由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=8-2m，x1x2=m2， y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为|AB|= =·=10， 所以m=经检验符合题意. (2)因为OA⊥OB， 所以x1x2+y1y2=m2+8m=0， 解得m=-8或m=0(舍去). 所以m=-8，经检验符合题意. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， =4x1=4x2， kPQ===2， ∴所求直线方程为2x-y-1=0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为 y=k(x-1)，与抛物线方程联立， 消去y，整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由抛物线的定义可知， |AB|=2+x3+x4=+4， 同理可得|CD|=4k2+4， ∴四边形ACBD的面积S=4k2+4)·=8≥32，当且仅当k=±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意可知F则该直线方程为y=x- 代入y2=2px(p>0)，得x2-3px+=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8， 即3p+p=8，解得p=2， ∴抛物线C的方程为y2=4x. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ=0，解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1， 则y1+y2=x1-1+x2-1=4， y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4，设P(m，m+1)， =(x1-m，y1-(m+1))， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =(x2-m，y2-(m+1))， ∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)] =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2 =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m=2，即点P的坐标为(2，3)时·-14. 基础巩固 1.过抛物线C：y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|等于 A.16 B.12 C.10 D.8 √ 由题意得p=6， ∴|AB|=x1+x2+p=6+6=12. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且|AB|=8，则|AF|等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=4，则y2=8p， 故y=±2， 所以|AB|=4=8， 所以p=2，故准线方程为x=-1， 则|AF|=4-(-1)=5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C： y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为 A.y2=8x B.y2=2x C.y2=x D.y2=x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线C：y2=2px(p>0)， 令x=2得y2=4p， 解得y=±2， 不妨设D(2，2)，E(2，-2)， 因为OD⊥OE， 所以·=2×2-4p=0， 解得p=1，故C的标准方程为y2=2x. 解析 4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是 A. B. C. D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设与抛物线相切， 且与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+m=0. 与抛物线y=-x2联立， 消去y可得3x2-4x-m=0， 由题意知，Δ=16+12m=0， ∴m=-. ∴最小值为两平行线之间的距离d==. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)， 该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=. 解析 5.已知抛物线y2=6x，直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，若弦AB的长为8，则直线l的方程为 A.y=x-或y=-x+ B.y=或y=- C.y=x-或y=-x+ D.y=2x-3或y=-2x+3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由抛物线的方程y2=6x，知焦点F. 当直线l的斜率不存在时，可得|AB|=6，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 消去y并整理得k2x2-(3k2+6)x+k2=0， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得Δ>0，x1+x2=. 因为|AB|=x1+x2+p=+3=8， 解得k2=3，则k=±， 所以直线l的方程为y=或y=-. 解析 6.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则 A.焦点F的坐标为(1，0) B.过点A(-1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8 D.若抛物线C与圆x2+y2=5交于M，N两点，则|MN|=4 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知抛物线C的方程为y2=4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确； 对于B，过点A(-1，0)可作抛物线的2条切线，且直线y=0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(-1，0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误； 对于C，由得y2+4y-4=0， 设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则y1+y2=-4，y1y2=-4， 所以弦长|DE|=|y1-y2|=· =×=8，故C正确； 对于D，由得x2+4x-5=0， 解得x=1或x=-5(舍去)， 将x=1代入y2=4x，得y=±2， 故交点为(1，±2)，所以|MN|=4，故D正确. 解析 7.已知抛物线C：x2=4y，F为其焦点，若直线l：y=x+1与抛物线C在第一象限交于点M，则|MF|=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得F(0，1)，p=2， 准线方程为y=-1， 对于直线l：y=x+1，当x=0时，y=1， 即直线l过点F(0，1)， 联立得3y2-10y+3=0， 解得y=3或y=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于M在第一象限， 且l：y=x+1的斜率大于0， 故M的纵坐标为3，则|MF|=yM+=3+1=4. 解析 8.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|=16，则p=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F， 准线方程为x=-，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线AB的方程为y=x-， 代入y2=2px可得x2-3px+=0， ∴x1+x2=3p，x1x2=， 由抛物线的定义可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴|AF|·|BF|= =x1x2+(x1+x2)+ =+p2+ =2p2=16， 解得p=2. 解析 9.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点. (1)若|AB|=10，求实数m的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由得x2+(2m-8)x+m2=0. 由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=8-2m，x1x2=m2， y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m. 因为|AB|==·=10， 所以m=，经检验符合题意. 解 (2)若OA⊥OB，求实数m的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为OA⊥OB， 所以x1x2+y1y2=m2+8m=0， 解得m=-8或m=0(舍去). 所以m=-8，经检验符合题意. 解 10.如图，已知抛物线y2=4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则=4x1，=4x2，kPQ===2， ∴所求直线方程为2x-y-1=0. 解 (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y=k(x-1)， 与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2. 由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=+4， 同理可得|CD|=4k2+4， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴四边形ACBD的面积S=(4k2+4)· =8≥32， 当且仅当k=±1时等号成立， 此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 解 11.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x+4y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为 A.2 B. C. D.3 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 得3y2+16y+48=0，Δ=256-4×3×48<0，故方程无解， ∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离. 又d1+d2=d1+1+d2-1， 而d1+1为P到准线x=-1的距离， 故d1+1为P到焦点F(1，0)的距离， 从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即=3， 故d1+d2的最小值为2. 解析 12.已知直线l交抛物线C：y2=4x于x轴异侧两点A，B，且·=12，则直线l一定过点 A.(-2，0) B.(1，0) C.(4，0) D.(6，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知直线l的斜率不为0， 因而可设直线l的方程为x=my+t， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得y2-4my-4t=0， 则Δ=16m2+16t，y1y2=-4t， 所以·=x1x2+y1y2=+y1y2=t2-4t=12， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t=6或t=-2， 当t=-2时，A，B位于x轴同侧，故舍去， 当t=6时，A，B位于x轴异侧，符合题意，所以直线经过定点(6，0). 解析 13.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧)，过点M作MN⊥l，垂足为N，连接NF，交抛物线C于点Q，则等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由抛物线x2=4y，得F(0，1)， 设直线MF与l的交点为P，则∠FPN=30°， 则m的方程为y=x+1， 代入抛物线x2=4y， 得3x2-4x-12=0， 解得x1=-，x2=2， 因为M位于y轴的右侧，所以xM=2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为MN⊥l，∠MPN=30°，所以∠NMF=60°， 又因为|MN|=|MF|，所以△MNF为等边三角形， 所以∠MNF=60°，则∠PNF=30°， 所以△PNF为等腰三角形，所以|PF|=|NF|， 所以由抛物线的对称性可得xQ=-x1， 所以===. 解析 14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)， 易知当直线l的斜率不存在时不满足题意， 故设直线AB的方程为y=k(x-1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则即k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 故x1+x2=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故AB中点的横坐标为==1+， |AB|=x1+x2+p=+2. 故=32+，解得k2=， 故|AB|=+2=10. 解析 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y2=3x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F. 当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|=2p； 当直线PQ的斜率存在时， 设PQ的方程为y=k， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得k2=2px， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0， 所以x1+x2=p+，x1x2=. 所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p. 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p=3， 所以抛物线的方程为y2=3x. 解析 16.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知F， 则该直线方程为y=x-， 代入y2=2px(p>0)，得x2-3px+=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8， 即3p+p=8，解得p=2， ∴抛物线C的方程为y2=4x. 解 (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x， 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C的切线， ∴Δ=0，解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 由(1)可知x1+x2=6，x1x2=1，直线MN的方程为y=x-1， 则y1+y2=x1-1+x2-1=4， y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(m，m+1)， 则=(x1-m，y1-(m+1))， =(x2-m，y2-(m+1))， ∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)] =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2 =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14，当且仅当m= 2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为-14. 解 第三章　3.3.2　抛物线的简单几何性质 <<< $