3.3.2第2课时直线与抛物线的位置关系及应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与抛物线的位置关系及应用”，涵盖位置关系判定、弦长公式、中点弦问题等核心知识点。通过自主学习通道梳理必备知识，以填一填、练一练夯实基础，为互动探究搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于互动探究通道采用“设而不求”“点差法”等方法，结合具体例题培养学生数学思维，如通过焦点弦问题训练运算能力与推理意识。巩固提升与课时作业分层设计，帮助学生用数学语言表达和解决问题，既深化学生理解又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第2课时　直线与抛物线的位置关系及应用 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 两 相交 一 相切 没有 相离 平行或重合 一 相交 自主学习通道 自主学习通道 × √ × √ 自主学习通道 D 自主学习通道 C 自主学习通道 x＝0或y＝－1或x＋2y＋2＝0 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 B 巩固提升通道 A 巩固提升通道 巩固提升通道 y2＝4x 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0或1 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y2＝2x 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解抛物线的简单应用.2.运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题． 填一填 1．直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p＞0)的交点个数取决于关于x的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数． ①当k≠0时，若Δ＞0，则直线与抛物线有 eq \o(□,\s\up4(1)) 个不同的公共点，此时直线与抛物线 eq \o(□,\s\up4(2)) ；若Δ＝0，则直线与抛物线有 eq \o(□,\s\up4(3)) 个公共点，此时直线与抛物线 eq \o(□,\s\up4(4)) ；若Δ＜0，则直线与抛物线 eq \o(□,\s\up4(5)) 公共点，此时直线与抛物线 eq \o(□,\s\up4(6)) . ②当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 eq \o(□,\s\up4(7)) ，此时直线与抛物线有 eq \o(□,\s\up4(8)) 个公共点，直线与抛物线 eq \o(□,\s\up4(9)) ． 2．一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \o(□,\s\up4(10)) 或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \o(□,\s\up4(11)) (k≠0). 【提醒】　直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．过抛物线焦点的直线不一定会与抛物线相交形成焦点弦．由于抛物线的焦点一定在抛物线的对称轴上，所以抛物线的对称轴也是过抛物线焦点的直线，此时二者只有一个交点，即抛物线的顶点，不存在焦点弦． eq \r(1＋k2)· eq \r((x1＋x2)2－4x1x2) eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2) 练一练 1．判断正误 (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　　) (2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　　) (3)斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ eq \r(1＋k2)|y1－y2|.(　　) (4)直线与抛物线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．(　　) 2．过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，则 eq \o(OM,\s\up15(→))· eq \o(ON,\s\up15(→))＝(　　) A． eq \f(3,4)　　 B． eq \f(1,4)　　 C．－ eq \f(1,4)　　 D．－ eq \f(3,4) 解析　由题意可得M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))， 所以 eq \o(OM,\s\up15(→))· eq \o(ON,\s\up15(→))＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4). 3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，且|AB|＝8，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8， 可知x1＋x2＋2＝8，故 eq \f(x1＋x2,2)＝3. 4．若过点P(0，－1)的直线l与抛物线y2＝2x恰有一个公共点，则直线l的方程为 ． 解析　当直线l的斜率不存在或为0时，显然满足题意，此时直线l的方程为x＝0或y＝－1. 当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx－1， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝2x，))整理得k2x2－(2k＋2)x＋1＝0， 由Δ＝(2k＋2)2－4k2＝0，得8k＋4＝0，即k＝－ eq \f(1,2)，此时直线方程为y＝－ eq \f(1,2)x－1，即x＋2y＋2＝0. 类型一　直线与抛物线的位置关系　　　　　　自主探究 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)， ∴直线过点(1，0). 又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部， ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 2．已知直线l过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3p,2)，p))，且与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个公共点，则直线l的方程为 ． 解析　当直线与抛物线相切时，由题意设直线l方程为y－p＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3p,2)))(k≠0). 将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0，由Δ＝0，得k＝ eq \f(1,3)或k＝－1. 所以直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0. 当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时y＝p. 故满足条件的直线共有三条，其方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p. 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定，当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 类型二　抛物线的弦长与中点弦问题 【例1】　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若 eq \o(AP,\s\up15(→))＝3 eq \o(PB,\s\up15(→))，求|AB|. 解　设直线l：y＝ eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ eq \f(3,2)＝4， 所以x1＋x2＝ eq \f(5,2). 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－ eq \f(12(t－1),9). 从而－ eq \f(12(t－1),9)＝ eq \f(5,2)，解得t＝－ eq \f(7,8). 所以l的方程为y＝ eq \f(3,2)x－ eq \f(7,8). (2)由 eq \o(AP,\s\up15(→))＝3 eq \o(PB,\s\up15(→))，得y1＝－3y2. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程，得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3). 故|AB|＝ eq \f(4\r(13),3). 涉及抛物线的弦长、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． [跟踪训练1]　过点P(4，1)的直线交抛物线y2＝8x于A，B两点，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． 解　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y eq \o\al(2,1)＝8x1，y eq \o\al(2,2)＝8x2， 两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2). ∵P是AB的中点，∴y1＋y2＝2， 则直线AB的斜率k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)＝ eq \f(8,y1＋y2)＝4， ∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－y－15＝0，,y2＝8x，))消x整理得y2－2y－30＝0， 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30， 由弦长公式得|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \f(\r(527),2). 解法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k(x－4)＋1，,y2＝8x，)) 消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(8,k)， ∵P是AB的中点，∴ eq \f(y1＋y2,2)＝1， ∴ eq \f(8,k)＝2，∴k＝4. ∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－y－15＝0，,y2＝8x，))消x整理得y2－2y－30＝0， 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30， 由弦长公式得|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \f(\r(527),2). 类型三　抛物线的综合问题 【例2】　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为 eq \r(6p). (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值． 解　(1)设点M(x0，y0)，则|y0|＝ eq \r(6p)，所以( eq \r(6p))2＝2px0，解得x0＝3. 因为|MF|＝x0＋ eq \f(p,2)＝3＋ eq \f(p,2)＝5，所以p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)如图，由题知，F(2，0)，Q(－2，0)，直线AB的斜率必存在，且不为零． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2k， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 所以x1＋x2＝ eq \f(8－4k2,k2)，x1x2＝4， 且Δ＝(4k2－8)2－16k4＝64(1－k2)>0，即k2<1. 所以k1＋k2＝ eq \f(y1,x1－2)＋ eq \f(y2,x2－2) ＝ eq \f(k(x1＋2),x1－2)＋ eq \f(k(x2＋2),x2－2) ＝k eq \f((x1＋2)(x2－2)＋(x2＋2)(x1－2),(x1－2)(x2－2)) ＝k eq \f(2x1x2－8,x1x2－2(x1＋x2)＋4)＝0， 所以k1＋k2的值为0. 解决抛物线综合问题的基本策略 对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，联立解一元二次方程，从代数法的角度推证结论. [跟踪训练2]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，2)，O为坐标原点． (1)求焦点F的坐标及其准线方程； (2)抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积． 解　(1)依题意，22＝2p×1，解得p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x， 所以抛物线C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1. (2)显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为y－2＝k(x－1)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－k＋2，,y2＝4x，))消去x并整理得 eq \f(k,4)y2－y－k＋2＝0，依题意得Δ＝1－k(－k＋2)＝0，解得k＝1， 因为直线AB⊥l，所以直线AB的斜率为－1，其方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y2＝4x，))消去x并整理得y2＋4y－12＝0， 解得y1＝2，y2＝－6， 因此有B(9，－6)，而A(1，2)， 则|AB|＝ eq \r((9－1)2＋(－6－2)2)＝8 eq \r(2)， 而点O(0，0)到直线AB：x＋y－3＝0的距离d＝ eq \f(3,\r(12＋12))＝ eq \f(3\r(2),2)，则S△OAB＝ eq \f(1,2)|AB|·d＝12， 所以△OAB的面积是12. 1．知识清单 (1)直线和抛物线的位置关系． (2)抛物线中的弦长问题． (3)中点弦问题． 2．方法归纳：直接法、定义法、代数法． 3．常见误区：数学运算的失误． 1．(2024·邢台一中月考)已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析　当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的；当直线l的斜率存在，且直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切． 2．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋ eq \f(1,2)y2＋3的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0. 因为z＝x2＋ eq \f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝0时，z取最小值3. 3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离d最短，则该点的坐标是 (　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．(0，0) C．(1，2) D．(1，4) 解析　解法一：设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，其中x∈R， 由点到直线的距离公式得d＝ eq \f(|4x－4x2－5|,\r(42＋(－1)2))＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up42(2)＋4)),\r(17)). 故当x＝ eq \f(1,2)时，d最小，这时点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 解法二：设与y＝4x－5平行且与抛物线y＝4x2相切的直线方程为y＝4x＋m(m≠－5)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝4x＋m，,y＝4x2))得4x2－4x－m＝0. 由Δ＝16－4×4×(－m)＝0，得m＝－1. 这时切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，切点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))到y＝4x－5的距离最小． 4．(2023·绍兴一中月考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为 ． 解析　设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝ax，,y＝x))得交点为A(0，0)，B(a，a)， 由点P(2，2)是AB的中点，得a＝4， 故所求抛物线的方程为y2＝4x. 基础巩固 1．已知抛物线C：y＝x2，过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有 (　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　抛物线C：y＝x2的对称轴为y轴，直线x＝1过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点， 设过点P(1，0)与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为y＝k(x－1)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k(x－1)，,y＝x2，))消去y并整理得x2－kx＋k＝0，则Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4， 因此，过点P(1，0)与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条． 2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4 eq \r(5)，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y 解析　由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，)) 则交点坐标为(0，0)，(4p，8p)， 则 eq \r((4p)2＋(8p)2)＝4 eq \r(5)， 解得p＝1(负值舍去). 故所求抛物线C的方程为x2＝2y. 3．(2023·长春一中月考)已知直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点且两交点纵坐标之积为－32，则直线恒过定点(　　) A．(1，0) B．(2，0) C．(4，0) D．(8，0) 解析　设直线方程为x＝my＋n，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝4x，))可得y2－4my－4n＝0， 所以－4n＝－32，解得n＝8， 所以直线l的方程为x＝my＋8，恒过定点(8，0).故选D. 4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2，0)且与C交于A，B两点，|BF|＝ eq \f(3,2).若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝(　　) A． eq \f(3,2) B．2 C．4 D．6 解析　由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由|BF|＝ eq \f(3,2)及抛物线的定义知点B的横坐标为 eq \f(1,2)，代入抛物线方程得B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±\r(2))).根据抛物线的对称性，不妨取B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，则直线l的方程为y＝ eq \f(2\r(2),3)(x－2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(2\r(2),3)(x－2)，,y2＝4x，))得A(8，4 eq \r(2))，于是λ＝ eq \f(|AM|,|BM|)＝ eq \f(|yA|,|yB|)＝4.故选C. 5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　 　) A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ eq \r(2) D．过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 解析　对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确； 对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确； 对于选项C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ eq \r(2)，故C正确； 对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误． 6．(2023·兰州质检)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点P(1，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝(　　) A．2 B． eq \r(15) C．4 D．5 解析　由于焦点为F(1，0)，故 eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2).易知直线l的斜率存在且不为零，设l：y－1＝k(x－1).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x－1)，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4－4k＝0.由P为线段AB的中点可知，y1＋y2＝ eq \f(4,k)＝2，所以k＝2，所以直线l的方程为y＝2x－1，y1y2＝ eq \f(4－4k,k)＝－2，所以|AB|＝　 eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))\s\up42(2))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \r(15). 7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ ． 解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0， 由题意得Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1. 8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＝5，则|AB|＝ ． eq \f(25,4) 解析　由题意可得F(1，0)，设A(m，n)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＝5，,n2＝4m，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝±4，)) 由抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，即A(4，4)，则直线l的方程为4x－3y－4＝0， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－3y－4＝0，,y2＝4x，))整理得y2－3y－4＝0， 解得y＝－1或y＝4，则B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))， 故|AB|＝xA＋xB＋p＝4＋ eq \f(1,4)＋2＝ eq \f(25,4). 9．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程. 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－ eq \f(p,2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|＋|BF|＝8， 所以x1＋ eq \f(p,2)＋x2＋ eq \f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上， 所以|QA|＝|QB|，即(x1－6)2＋y eq \o\al(2,1)＝(x2－6)2＋y eq \o\al(2,2). 又y eq \o\al(2,1)＝2px1，y eq \o\al(2,2)＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. 因为x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p. 故8－p＝12－2p，所以p＝4，所以所求抛物线的方程是y2＝8x. 10．已知抛物线y2＝4x和点M(6，0)，O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点． (1)求 eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(OB,\s\up15(→))； (2)若△OAB的面积等于12 eq \r(10)，求直线l的方程． 解　(1)设直线l的方程为x＝my＋6，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x＝my＋6与抛物线y2＝4x，得y2－4my－24＝0，显然Δ＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，x1x2＝36，可得 eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝12. (2)因为S△OAB＝ eq \f(1,2)|OM|·|y1－y2|＝3 eq \r(16m2＋96)＝12 eq \r(m2＋6)＝12 eq \r(10)，所以m2＝4，m＝±2. 故直线l的方程为x＋2y－6＝0或x－2y－6＝0. 能力提升 11．已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，过A作抛物线的一条切线，切点为P，且满足|PA|＝ eq \r(2)，则抛物线C的方程为 (　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y 解析　由题意可知，抛物线准线方程为y＝－ eq \f(p,2)，则点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，切线斜率k一定存在．设过点A且与抛物线相切的直线方程为y＝kx－ eq \f(p,2)，切点P(xP，yP)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(p,2)，,x2＝2py，))得x2－2pkx＋p2＝0，令Δ＝4p2k2－4p2＝0，解得k＝±1.当k＝1时，x2－2px＋p2＝0，所以xP＝p，切线方程为y＝x－ eq \f(p,2)，所以yP＝xP－ eq \f(p,2)＝ eq \f(p,2)，因为|PA|＝ eq \r(2)，所以x eq \o\al(2,P)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yP＋\f(p,2))) eq \s\up42(2)＝2，解得p＝1；当k＝－1时，同理得p＝1.综上所述，抛物线方程为x2＝2y，故选C. 12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(2\r(2),3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(\r(2),3) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2)，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 所以x1x2＝4①. 根据抛物线的定义得， |FA|＝x1＋ eq \f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋2. 因为|FA|＝2|FB|， 所以x1＝2x2＋2②， 由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)， 所以B(1，2 eq \r(2))，代入y＝k(x＋2)得k＝ eq \f(2\r(2),3). 13．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为 eq \f(3,4)的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为 ；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin ∠AFB＝ eq \r(2)sin ∠ABF，则|AB|的值为 ． eq \r(2) 解析　由题意得，圆的圆心横坐标为 eq \f(1,4)p，半径为 eq \f(3,4)， ∴ eq \f(3,4)p＝ eq \f(3,4)，得p＝1， ∴抛物线C的方程为y2＝2x； 设A到准线的距离为d， ∵sin ∠AFB＝ eq \r(2)sin ∠ABF， ∴|AB|＝ eq \r(2)|AF|， ∴ eq \f(d,|AB|)＝ eq \f(\r(2),2)＝cos ∠ABF， ∴∠ABF＝45°，∴kAB＝1， 又B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))， ∴lAB：y＝x＋ eq \f(1,2)，代入y2＝2x，得x2－x＋ eq \f(1,4)＝0， 解得xA＝ eq \f(1,2)，yA＝1， ∴|AB|＝ eq \r(12＋12)＝ eq \r(2). 多元数学 14．(数学运算)动点M到点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距离比它到直线l：x＋ eq \f(1,2)＝0的距离小 eq \f(1,4)，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知圆D：(x－2)2＋y2＝1，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，且P的纵坐标为 eq \r(2)，求直线AB的方程． 解　(1)由题意得动点M到点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距离等于到直线x＝－ eq \f(1,4)的距离， 所以曲线C是以F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))为焦点，x＝－ eq \f(1,4)为准线的抛物线． 设C：y2＝2px(p>0)，则p＝ eq \f(1,2)， 于是C的方程为y2＝x. (2)由(1)可知P(2， eq \r(2))， 设A(x1，y1)，y1≠ eq \r(2)， PA的两点式方程为 eq \f(y－y1,\r(2)－y1)＝ eq \f(x－x1,2－x1)， 由x1＝y eq \o\al(2,1)， 可得PA：x－(y1＋ eq \r(2))y＋ eq \r(2)y1＝0. 因为PA与D相切， 所以 eq \f(|2＋\r(2)y1|,\r(1＋(y1＋\r(2))2))＝1， 整理得y eq \o\al(2,1)＋2 eq \r(2)y1＋1＝0. 因为y eq \o\al(2,1)＝x1，可得x1＋2 eq \r(2)y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得x2＋2 eq \r(2)y2＋1＝0. 于是直线AB的方程为x＋2 eq \r(2)y＋1＝0. $