3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与抛物线的位置关系、弦长及中点弦问题，通过类比椭圆双曲线位置关系导入，衔接上节课焦点弦公式，以问题链引导学生从公共点个数辨析、弦长公式推导到中点弦斜率公式探究，搭建“旧知-问题-推导-应用”的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为主线，通过分类讨论斜率是否为0判断位置关系，用点差法、韦达定理解决中点弦和弦长问题，体现数学思维。例题设置两种解法对比，训练题结合三角形面积计算，规律方法总结助学生形成解题策略。能提升学生逻辑推理与数学运算能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

第二课时　直线与抛物线的位置关系 1 1.会判断直线与抛物线的位置关系（逻辑推理、直观想象）. 2.会求解抛物线中的弦长及中点弦等问题（数学运算）. 课标要求 知识点一　直线与抛物线的位置关系 01 知识点二　弦长问题 02 知识点三　中点弦问题 03 课时作业 04 目录 3 01 PART 知识点一 直线与抛物线的位置关系 目 录 问题1　（1）类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，抛物线与直线有哪几 种位置关系？ 提示：位置关系有3种：相交、相切、相离. （2）试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的 位置关系呢？ 提示：不能.如图1，相切时有一个公共点；如 图2，相交时也有一个公共点. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线 方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2（km－p）x＋m2＝0. （1）若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. （2）若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的 对称轴或与对称轴重合. 　　提醒：研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的 情况. Δ＞0　 Δ＝0　 Δ＜0　 一个　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与 C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解：联立 消去y，得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*） 当k＝0时，（*）式只有一个解x＝ ，此时直线l与C只有一个公共点 ，此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，（*）式是一个一元二次方程，Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－ k）. 数学·选择性必修第一册 目 录 ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，l与 C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点. ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相 交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数 不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线 相交于一点. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知抛物线x2＝ay（a≠0）与倾斜角为45°的直线l相切于 点（1， ），则该抛物线的焦点坐标为（　　） A. （0，1） B. （0， ） 解析：　由题意得，直线方程为y－ ＝x－1，即y＝x－1＋ ，将直线 方程代入抛物线方程得x2－ax＋a－1＝0，由Δ＝a2－4a＋4＝0得a＝2， 所以抛物线方程为x2＝2y，焦点坐标为（0， ）.故选B. C. （0，－1） D. （0，－ ） √ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知点A（0，2）和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且 仅有一个公共点的直线l的方程. 解：当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A（0，2）可知，直线l就是y 轴，其方程为x＝0. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2. 与抛物线C的方程联立得 消去x得，ky2－6y＋12＝0.　① 当k＝0时，得－6y＋12＝0，可知此时直线l与抛物线相交于点（ ， 2），即直线l的方程为y＝2. 数学·选择性必修第一册 目 录 当k≠0时，关于y的一元二次方程①的判别式Δ＝36－48k. 由Δ＝0得k＝ ，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y＝ x＋2，即3x－4y＋8＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或y＝2或3x－4y＋8＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 弦长问题 目 录 问题2　上一节课我们学习了抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦 长怎么计算？ 提示：与椭圆、双曲线一样，用弦长公式计算，注意运用设而不求的 方法. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程. 解：由题意知焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）.若AB⊥x 轴，则｜AB｜＝4＜5， 不满足题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k （x－1）（k≠0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 法一　与抛物线方程联立消去x，整理得ky2－4y－4k＝0.Δ＞0，y1＋y2 ＝ ，y1y2＝－4. 所以｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ · ＝ · ＝4（1＋ ）＝5，解得k＝±2.所以AB 所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　与抛物线方程联立消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＞ 0，x1＋x2＝2＋ . 所以｜AB｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝4＋ ＝5，解得k＝±2. 所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 法一　解得 则｜AB｜＝ ＝3 . 变式　若将本例中的条件“过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两 点，且｜AB｜＝5”改为“过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C 相交于A，B两点”，求AB的长. 解：直线AB的方程为y＝2（x－2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由 法二　消去y整理得x2－5x＋4＝0，则Δ＝9＞0，x1＋x2＝5，x1x2＝4， ｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝ · ＝3 . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　当直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于两点A（x1， y1），B（x2，y2）时，弦长｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ ｜y1－y2｜＝ . 　　提醒：直线与对称轴垂直时，可用坐标法求弦长. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　已知抛物线x2＝4y，焦点为F，若直线x－y＋3＝0与抛物线交于 A，B，则S△FAB＝（　　） A. 4 B. 8 C. 8 D. 16 解析：　联立 解得x1＝－2，x2＝6，∴｜AB｜＝ ·｜－2－6｜＝8 ，又F（0，1）到直线x－y＋3＝0的距离为d ＝ ＝ ，∴S△FAB＝ ×8 × ＝8. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 中点弦问题 目 录 问题3　已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2＝2px上两点，AB的 中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为k，你能求出k吗？ 提示：由已知得 ＝2px1， ＝2px2，相减后整理得 ＝ ＝ ，即k＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平分，求AB所 在直线的方程及弦AB的长度. 解：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ＝8x1， ＝8x2， 两式相减，得（y1－y2）（y1＋y2）＝8（x1－x2）.因为P是AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝ ＝ ＝4， 所以所求直线AB的方程为y－1＝4（x－4），即4x－y－15＝0. 由 消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－30. 由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜＝ · ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y＝k（x－4）＋1（k≠0）， 由 消去x整理得ky2－8y－32k＋8＝0，则Δ＞0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝ ，因为P是AB的中点，所以 ＝1， 所以 ＝2，解得k＝4.所以所求直线AB的方程为4x－y－15＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 由 消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋ y2＝2，y1y2＝－30，由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜ ＝ · ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　解决中点弦问题常用方法 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB 的中点坐标是 ⁠； 解析：由 得x2－8x＋4＝0，Δ＞0，设A（x1，y1），B （x2，y2），AB的中点M（x0，y0），则x1＋x2＝8，∴x0＝4，y0＝2， ∴AB的中点的坐标为（4，2）. （4，2） 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两 点，试求弦AB的中点的轨迹方程. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋ y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝ ＝ . 易知 ①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2）， 所以2y ＝2，即2y ＝2，即（y－ ）2＝x－ （y≠0）. 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上 式，故所求轨迹方程为（y－ ）2＝x－ . 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交点，则直线l与抛物线 的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 解析：　当直线l与x轴平行或重合时，直线l与抛物线只有一个交点； 当直线l与抛物线相切时，也只有一个交点，故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的 中点为M（2，1），则直线l的方程为（　　） A. 2x－y－3＝0 B. 2x－y－5＝0 C. x－2y＝0 D. x－y－1＝0 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ⇒ ＝ ＝2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x －y－3＝0.故选A. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公 共点，则直线l的斜率的取值范围是 ⁠. 解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2），代 入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，当k＝0 时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2） ≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1， 1]. [－1，1] 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点.已知弦AB的长为 3 ，则b＝ ⁠. 解析：由 消去y得4x2＋4（b－1）x＋b2＝0，由Δ＞0，解得 b＜ ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1－b，x1x2＝ ，所 以｜x1－x2｜＝ ＝ ，所以｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝3 .所以1－2b＝9，即b＝－4. －4 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与抛物线的位置关系； （2）弦长问题； （3）中点弦问题. 2.应体会 解决直线与抛物线的问题，常用的办法是将直线方程与抛物线方程联 立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样 可以避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 数学·选择性必修第一册 目 录 3.避易错 （1）涉及直线与抛物线位置关系时，应注意斜率不存在和斜率为零两种 特殊情况； （2）当k＝0时，直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）只有一个交 点. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k＝（　　） A. B. 0 解析：　由 可知若k＝0，直线与抛物线只有一个交点 （4，2）；若k≠0，则ky2－y＋2＝0，Δ＝1－8k＝0，所以k＝ .综上可 知k＝0或 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C. 或0 D. 8或0 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直 线AB的斜率为（　　） A. －1 B. － 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1＋y2＝4，因为A，B在 抛物线上，所以 两式相减得 － ＝2（x1－x2），即kAB＝ ＝ ＝ ＝ . √ C. D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为 4 ，则抛物线C的方程为（　　） A. x2＝8y B. x2＝4y C. x2＝2y D. x2＝y 解析：　由 解得 或 则交点坐标为（0， 0），（4p，8p），则 ＝4 ，解得p＝1.故所求抛 物线C的方程为x2＝2y. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（　　） A. B. C. D. 3 解析：　法一　设与抛物线相切，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方 程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝ 0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－ .∴最小值为两平行线之间的 距离d＝ ＝ . √ 法二　设抛物线y＝－x2上一点为（m，－m2），该点到直线4x＋3y－8 ＝0的距离为 ，当m＝ 时，取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线 相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝ ，则p＝（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题意可知F（ ，0），则直线AB的方程为y＝x－ ，设A （x1，y1），B（x2，y2），由题意得 相减得 － ＝2p （x1－x2）⇒y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E（ ， ），即E（ ，p），因为E在直线AB：y＝x－ 上，所以E （ ，p），又因为｜OE｜＝ ，所以p＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为 2，则（　　） A. 焦点F的坐标为（1，0） B. 过点A（－1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8 D. 若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则｜MN｜＝4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题可知抛物线C的方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为（1，0），故A正确；对于B，过点A（－1，0）可作抛物线的2条切线，且直线y＝0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A（－1，0）共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误；对于C，由 得y2＋4y－4＝0，设弦的两个端点分别为D（x1，y1），E（x2，y2），则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以弦长｜DE｜＝ ｜y1－y2｜＝ · ＝ × ＝8，故C正确；对于D，由 得x2＋4x－5＝0，解得x＝1或x＝－5（舍去），将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2，故交点为（1，±2），所以｜MN｜＝4， 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1， y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为 k1，k2，则（　　） A. y1y2为定值 B. k1k2为定值 C. y1＋y2为定值 D. k1＋k2＋t为定值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由 得y2－4ty－16＝0，则 对于 A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝ ＝ ＝ ＝－1 为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D， k1＋k2＋t＝ ＋ ＋t＝ ＋t＝ ＋t＝ ＋t＝ ＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为 的直线l过焦点F交抛物线于A， B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为 ⁠. 解析：依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F（4，0），直线l的方程为 x＝ y＋4.由 消去x，整理得y2－16 y－64＝0.设A （x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝16 ，y1y2＝－64.S△ABO＝ ｜y1 －y2｜·｜OF｜＝2 ＝2 ＝64. 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 已知抛物线C：x2＝4y，F为其焦点，若直线l：y＝ x＋1与抛物线 C在第一象限交于点M，则｜MF｜＝ ⁠. 解析：由题意得F（0，1），p＝2，准线方程为y＝－1，对于直线l：y ＝ x＋1，当x＝0时，y＝1，即直线l过点F（0，1），联立 得3y2－10y＋3＝0，解得y＝3或y＝ ，由于M在第一象 限，且l：y＝ x＋1的斜率大于0，故M的纵坐标为3，则｜MF｜＝yM ＋ ＝3＋1＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy内的一个动点（其中 O点为坐标原点），点P到定点M（0， ）的距离比点P到x轴的距离大 . （1）求点P的轨迹方程； 解：过点P作x轴的垂线且垂足为点N（图略），则｜PN｜＝y， 由题意知｜PM｜－｜PN｜＝ ， ∴ ＝y＋ ， 化简得x2＝2y. 故点P的轨迹方程为x2＝2y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝ 2 ，求实数k的值. 解：由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去 y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵｜AB｜＝ · ＝ · ＝2 ， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0， ∴k2＝1，∴k＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. M是抛物线y2＝x上一点，N是圆（x＋1）2＋（y－4）2＝1关于直线x －y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则｜MN｜的最小值是（　　） A. 2 B. －1 C. D. －1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　设圆心（－1，4）关于直线x－y＋1＝0对称的点为C（x， y），则 解得 曲线C的方程为（x－3）2＋ y2＝1，设M（a2，a），故｜MC｜＝ ＝ ＝ ，当a2＝ 时，｜MC｜有最小值 ，故｜MN｜的最小值为 －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是 2，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐 标原点，则下列结论正确的是（　　） A. C的准线方程为x＝－1 B. 线段AB的长度的最小值为4 C. M的坐标可能是（4，2） D. 存在直线l，使得OA与OB垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1，0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以 · ＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 如图，圆锥底面半径为 ，体积为 π，AB，CD是底面圆O的两 条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧 面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的 距离等于 ⁠. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由V＝ πr2h＝ π×（ ）2×｜PO｜＝ π， 得｜PO｜＝ ，则｜PB｜＝2，｜OE｜＝1，｜OC｜ ＝｜OD｜＝ ，以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C（－1， ），设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0），∴（ ）2＝－2p×（－1），解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. （2025·洛阳质检）已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. （1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 解：由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点， 则 ＝4x1， ＝4x2，kPQ＝ ＝ ＝2，∴所求直线方程为2x－ y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线 分别相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值. 解：依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程 为y＝k（x－1）， 与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x ＋k2＝0， 设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝ ＋2.由抛物线的定义可知，｜AB｜＝2 ＋x3＋x4＝ ＋4， 同理可得｜CD｜＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝ （4k2＋4）·（ ＋4）＝8（2＋k2＋ ） ≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，∴所求四边形ACBD面积的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. （2025·广州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，O 为坐标原点，过点F的直线（不垂直于x轴）且与抛物线C交于A，B两 点，直线OA与OB的斜率之积为－p. （1）求抛物线C的方程； 解：因为过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，F（ ，0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直于x轴）的方程可设为y ＝k（x－ ）（k≠0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 所以 ＝2px1， ＝2px2，因为直线OA与OB的斜率之积为－p， 所以 ＝－p，所以（ ）2＝p2，得x1x2＝4， 由 得k2x2－（k2p＋2p）x＋ ＝0，其中Δ＝（k2p＋ 2p）2－k4p2＞0， 所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，所以p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证： ＞2. 解：证明：设M（x0，y0），D（x3，y3），因为M为线段AB的中点， 所以x0＝ （x1＋x2）＝ ＝ ，y0＝k（x0－2）＝ ， 所以直线OD的斜率kOD＝ ＝ ，直线OD的方程为y＝kODx＝ x， 代入抛物线C：y2＝8x的方程，得x3＝ ，所以 ＝k2＋2， 因为k2＞0，所以 ＝ ＝k2＋2＞2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $