3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及应用，通过“数学宝库”的生动导语激发兴趣，类比椭圆、双曲线的研究方法，引导学生自主探究范围、对称性等性质，构建知识学习支架。 其亮点在于以类比探究培养数学思维，用表格系统梳理四种标准方程的性质发展数学语言，结合定义法解决焦点弦等问题提升数学眼光。反思感悟总结方法，助力学生形成结构化认知，教师可依托丰富例题与分层训练高效教学。

抛物线的简单几何性质 第三章　3.3.2　第1课时 学习目标 1.了解抛物线的几何性质.(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.(难点) 数学就像一座神秘的宝库，每一个新的知识点都是一颗璀璨的宝石.今天，我们将目光聚焦在抛物线这颗宝石上.它看似简单，却蕴含着丰富的几何奥秘，这些性质不仅是数学理论的重要组成部分，更是打开众多科学领域大门的钥匙.准备好挖掘抛物线的几何宝藏了吗？ 导语 3 内容索引 01 02 05 03 抛物线的简单几何性质的应用 弦长问题 随堂演练 抛物线的简单几何性质 04 课时对点练 01 抛物线的简单几何性质 问题 1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 提示　范围：x≥0，y∈R. 在方程y2=2px(p>0)中，y无限制，因此y∈R. 又因为2px=y2≥0，且p>0， 所以x≥0. 对称性：关于x轴对称，没有对称中心. 在抛物线上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)关于x轴的对称点P'(x0，-y0)也在抛物线上. 顶点：原点. 当x=0时，y=0，因此抛物线的顶点就是原点. 离心率：离心率e=1. 由抛物线的定义可知，e=1. 知识梳理 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 轴 轴 轴 轴 x x y y 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦点 坐标 F______ F________ F______ F________ 准线 方程 x=____ x=____ y=____ y=____ 顶点 坐标 O(0，0) 离心率 e==1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) - - (1)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (3)所有抛物线的离心率均为1. 注意点 10 　(课本例3)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程. 例1 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0). 因为点M在抛物线上，所以(-2)2=2p×2，解得p=2. 因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x. 解： 11 　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)关于x轴对称，并且经过点M(5，-4)； 例1 因为点M在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，代入点M(5，-4)得(-4)2=2p×5，解得p=，所以抛物线的标准方程为y2=x. 解： 12 　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (2)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4； 例1 由题意设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，则=4，即p=8，所以抛物线的标准方程为y2=-16x. 解： 13 　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (3)焦点F在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线. 例1 由题意设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，因为FP∥x轴，则点P的坐标为，代入方程x2=-2py，得162=-2p·，解得p=16，所以抛物线的标准方程为x2=-32y. 解： 14 掌握抛物线的性质需注意把握三个要点 (1)开口方向：由抛物线的标准方程看图象开口方向，关键是看一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶 点的距离都等于标准方程中一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 反思感悟 15 02 抛物线的简单几何性质的应用 　(1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　　. 例2 4p 17 解析： 如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=2px1，=2px2. 又|OA|=|OB|， 所以+=+， 即-+2px1-2px2=0， 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0，x2>0，2p>0， 所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|， 19 解析： 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx=30°， 所以y1=x1，与=2px1联立， 解得y1=2p. 所以|AB|=2y1=4p， 即这个三角形的边长为4p. 20 (2)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=　　　. 3 解析： 设点Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，而F(2，0)，准线方程为x=-2， 由三角形相似易知xQ=1，∴|QF|=xQ+=3. 21 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 反思感悟 22 　(1)(多选)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·=0，则p的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 跟踪训练1 √ √ 23 解析： 由题意可得，以MF为直径的圆过点A(0，2)， 设点M(x，y)，以MF为直径的圆为圆D，由抛物线定义知|MF|=x+=5，可得x=5-. 因为圆心D是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为=， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 24 解析： 故圆心纵坐标为2，则点M纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程整理得p2-10p+16=0， 解得p=2或p=8. 25 (2)已知A，B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|， 且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为　　　. x= 26 解析： 如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，-y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB=-1， 即·=-1. ∴=x0， 又=2px0，∴x0=2p+=. ∴直线AB的方程为x=. 28 03 弦长问题 问题 2 提示　(1)利用弦长公式. (2)根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？ (课本例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 例3 解： 由题意可知，p=2，=1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1. 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，可知 |AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1， 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)， 所以直线l的方程为y=x-1. ① 31 (课本例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 例3 解： 将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简， 得x2-6x+1=0. 所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8. 所以，线段AB的长是8. 32 　过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例3 解： 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=8x1，=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2). ∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2， 则直线AB的斜率k===4， ∴直线AB的方程为y-1=4(x-4)， 即4x-y-15=0. 33 　过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例3 解： 由 消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30. 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2| =·=. 34 　过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例3 解： 方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)， 由 消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=， ∵P是AB的中点，∴=1， 35 　过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 例3 解： ∴=2，∴k=4. ∴直线AB的方程为y=4(x-4)+1，即4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30， 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2| =·=. 36 求抛物线弦长的方法 (1)弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 反思感悟 37 　已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，|AB|=16，求抛物线G的方程； 跟踪训练2 解： 由题意知F， 则直线l的方程为y=x-，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得x2-3px+=0，所以x1+x2=3p， 所以|AB|=x1+x2+p=4p=16，所以p=4，故抛物线G的方程为y2=8x. 38 　已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (2)对于(1)中的抛物线G，若点N(3，0)，求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值. 跟踪训练2 解： 由(1)得抛物线G的方程为y2=8x，F(2，0). 显然直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为x=ty+2，与y2=8x联立， 消去x得y2-8ty-16=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=8t，y1y2=-16， 39 　已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (2)对于(1)中的抛物线G，若点N(3，0)，求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值. 跟踪训练2 解： 所以|AB|=x1+x2+4=t(y1+y2)+8=8(t2+1)， 设M(xM，yM)，则yM=4t，xM=4t2+2，即M(4t2+2，4t)，又N(3，0)， 所以|AB|-2|MN|=8(t2+1)-2=8(t2+1)-2(4t2+1)=6. 故|AB|-2|MN|为定值，且该定值为6. 40 课堂小结 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质. (2)抛物线的简单几何性质的应用. (3)弦长问题. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求抛物线的方程时焦点的位置易判断失误；利用弦长公式时要判断是否过焦点. 41 04 随堂演练 1 2 3 4 1.对抛物线y=4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 √ 解析： 由抛物线y=4x2， 得抛物线的标准方程为x2=y，2p=， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2.已知点P(6，y0)在抛物线y2=2px上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于 A.2 B.1 C.4 D.8 解析： 由抛物线定义可知，点P到焦点F的距离即为点P到抛物线准线x=-的距离， 即6+=8，解得p=4，又焦点F到抛物线准线的距离为p，所以所求距离为4. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和对称轴的距离均为4，则p的值为 A.18 B.4 C.2或18 D.4或9 √ 1 2 3 4 解析： 方法一　抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-， 因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和对称轴的距离均为4， 所以点M的坐标为， 代入抛物线方程得16=2p(p>0)，解得p=4. 方法二　因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线和对称轴的距离均为4，则M在过抛物线焦点且垂直于对称轴的垂线上，所以p=4. 1 2 3 4 4.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为 A.2 B.2 C.2 D.2 √ 1 2 3 4 解析： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由直线AB的斜率为-2，且过点(1，0)得， 直线AB的方程为y=-2(x-1)， 代入抛物线方程y2=8x，得4(x-1)2=8x， 整理得x2-4x+1=0， 则x1+x2=4，x1x2=1，由弦长公式得， |AB|=·=×=2. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A BC B D 2 题号 9 11 12 13 15 16 答案 6 B BCD 6 [1，+∞) 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的横坐标为=2， 所以x1+x2=4， 所以|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6，解得p=2， 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)由(1)可知抛物线的焦点为F(1，0). 设直线l的方程为y=k(x-1)，k≠0， 联立消去y并整理，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，Δ>0， 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以x1+x2==4，解得k=±， 所以直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1)，即x-y-=0或x+y-=0. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，抛物线的准线为l：x=-2， 圆x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1， 则圆心(2，0)为抛物线y2=8x的焦点F，半径r=1. 点M为抛物线y2=8x上任意一点，|MN|≥|MF|-r=|MF|-1. 所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1， 如图，过点M作ME⊥l于点E，由抛物线定义可知，|MF|=|ME|， 所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1=|MP|+|ME|-1≥|PE|-1，当且仅当P，M，E三点共线，且|PE|=3时，等号成立. 所以|MP|+|MN|≥3-1=2. 则|MP|+|MN|的最小值为2. 14. 13 14 15 16 1.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由题意知，线段AB所在的直线方程为x=1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1-=. 16 2.已知点(x，y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为点(x，y)在抛物线y2=4x上， 所以x≥0， 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2， 所以当x=0时，z最小，最小值为3. 16 3.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于 A.4 B.6 C.8 D.16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线y2=6x的焦点为F， 由于直线l过点F，且该直线的倾斜角为60°， 则直线l的方程为y=， 联立消去y并整理得x2-5x+=0，则Δ=25-9=16>0， x1+x2=5，由抛物线的焦点弦长公式可得|AB|=x1+x2+p=5+3=8. 16 4.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析： 由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1， ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2， 则P(3，±2)， ∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4， ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上.若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线的准线的距离为，则点M的坐标为 A.(0，-1) B.(0，-2) C.(0，2) D.(0，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设点M(0，y0)，易知点F，则点B. 如图，过点B作准线的垂线，交准线于点B1， 则|BB1|=+=，解得p=，所以抛物线的方程为y2= 2x，且B. 又点B在抛物线上，所以=2×，解得y0=±2，所以点M的坐标为 (0，2)或(0，-2). 6.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，2)，F为抛物线C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则 A.C的准线方程为x=-2 B.△AFO的面积为1 C.不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2 D.存在点P，使得△POF为等边三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 由题意抛物线C：y2=2px过点A(1，2)，可得p=2，所以抛物 线C的方程为y2=4x，所以准线方程为x=-1，A错误； 可以计算S△AFO=×1×2=1，B正确； 当P的坐标为(1，2)或(1，-2)时，点P到C的焦点F(1，0)的距离为2，C错误； 若△POF为等边三角形，则点P的横坐标为，当x=时，纵坐标为±，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，故使△POF为等边三角形的点P不存在，D错误. 7.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(4，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为 A. B. C.13 D.15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，由MA∥x轴， 点M(4，1)，得A，由题意可设B(y0<0)， 由抛物线的光学性质，得A，F，B三点共线， 则kAB=kAF，即=， 解得y0=-4，所以点B(4，-4)， 于是|FB|=4+1=5， |MA|+|AF|=+=5，|MB|==5， 所以△ABM的周长为|MA|+|AB|+|MB|=|MA|+|AF|+|FB|+|MB|=15. 8.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析： 由题意得，F(1，0)，则|AF|=|BF|=2， 即点A到准线x=-1的距离为2，设A(x0，y0)，则x0=-1+2=1，=4x0=4， 不妨设点A在x轴的上方，则A(1，2)， 所以|AB|==2. 16 9.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 16 解析： 如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，|OF|=2， ∵M为FN的中点， ∴|MM'|=1， ∴M到准线的距离d=|MM'|+=3，∴|MF|=3，∴|FN|=6. 10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|=6. (1)求抛物线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的横坐标为=2， 所以x1+x2=4， 所以|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6，解得p=2， 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. 解： 13 14 15 16 10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|=6. (2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(1)可知抛物线的焦点为F(1，0). 设直线l的方程为y=k(x-1)，k≠0， 联立消去y并整理，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，Δ>0， 所以x1+x2==4，解得k=±， 所以直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1)，即x-y-=0或x+y-=0. 解： 13 14 15 16 11.已知抛物线E：y2=4x的准线为l，P为E上的一点，PA⊥l于点A，直线PB与圆C：(x-4)2+y2=1相切于点B，若|PA|=|PB|，则点P的横坐标为 A. B. C.3 D.或3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 由题意得，抛物线E：y2=4x的准线方程为x=-1， 圆C：(x-4)2+y2=1的圆心C(4，0)，半径r=1， 设P(x0，y0)，则=4x0(x0≥0)， ∵PA⊥l，根据抛物线的定义可得|PA|=x0+1， 又直线PB与圆C：(x-4)2+y2=1相切于点B，∴|PB|= =， 又|PA|=|PB|，∴x0+1=，即=+-1， 把=4x0代入，得=+4x0-1，解得x0=. 12.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 A.抛物线C的准线方程为y=1 B.线段PQ的长度的最小值为4 C.点M的坐标可能为(3，2) D.·=-3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，故A错误； 当PQ垂直于x轴时，长度最小，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，此时|y1|=|y2|=2，所以|PQ|min=4，故B正确； 设直线PQ的方程为x=my+1.联立消去x并整理，得y2-4my-4= 0，则y1+y2=4m，y1y2=-4，所以x1+x2=my1+1+my2+1=4m2+2，x1x2=·=1. 当m=1时，可得M(3，2)，故C正确； 因为x1x2=1，y1y2=-4，所以·=x1x2+y1y2=-3，故D正确. 16 13.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 抛物线的焦点坐标为F， 准线方程为y=-. 将y=-代入-=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形， 则tan===， 解得p2=36，p=6. 13 14 15 16 14.点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2-4x+3=0上任意一点，且点P(1，-1)，求|MP|+|MN|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，抛物线的准线为l：x=-2， 圆x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1， 则圆心(2，0)为抛物线y2=8x的焦点F，半径r=1. 点M为抛物线y2=8x上任意一点，|MN|≥|MF|-r=|MF|-1. 所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1， 如图，过点M作ME⊥l于点E，由抛物线定义可知，|MF|=|ME|， 14.点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2-4x+3=0上任意一点，且点P(1，-1)，求|MP|+|MN|的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 所以|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1=|MP|+|ME|-1≥|PE|-1， 当且仅当P，M，E三点共线，且|PE|=3时，等号成立. 所以|MP|+|MN|≥3-1=2. 则|MP|+|MN|的最小值为2. 15.已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足∠AFB=，设A，B两点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，则的最大值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由抛物线的定义知，|AF|=d1，|BF|=d2，∠AFB=， 在△AFB中，由余弦定理得|AB|2=+-2d1d2cos=++d1d2， 所以===， 又因为(d1+d2)2≥4d1d2， 所以≤， 当且仅当d1=d2时等号成立， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以≤=， 故≤， 所以的最大值为. 16 16.已知直线y=a(a>0)交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [1，+∞) 解析： 将y=a代入y=x2得x2=a，x=±，不妨设A(-，a)，B(，a)，C(m，m2)，则=(m+，m2-a)，=(m-，m2-a). ∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角， ∴·=(m+)(m-)+(m2-a)2=0，即m2-a+=(m2-a)(m2-a+1)=0. ∵m≠±，∴m2=a-1≥0，∴a≥1，∴a的取值范围为[1，+∞). THANKS 本课结束 $