3.2.2第2课时直线与双曲线的位置关系及应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与双曲线的位置关系及应用”，涵盖位置关系判断、弦长与中点弦问题，通过自主学习的填练结合回顾双曲线方程与渐近线，搭建从方程联立到位置判断的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于结合实际应用（如低洼地区海平面问题）培养数学眼光，通过类型通法（方程组解法、点差法）发展数学思维，以分层作业巩固数学语言表达。助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第2课时　直线与双曲线的位置关系及应用 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 一个 两个 一个 没有 自主学习通道 自主学习通道 × × √ 自主学习通道 B 自主学习通道 B 自主学习通道 A 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 B 巩固提升通道 A 巩固提升通道 巩固提升通道 y＝2x 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [2，＋∞) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系.3.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 填一填 直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. 位置关系 交点个数 k＝± eq \f(b,a)且m≠0 相交 只有 eq \o(□,\s\up4(1)) 交点 k≠± eq \f(b,a)且Δ>0 有 eq \o(□,\s\up4(2)) 交点 k≠± eq \f(b,a)且Δ＝0 相切 只有 eq \o(□,\s\up4(3)) 交点 k≠± eq \f(b,a)且Δ<0 相离 eq \o(□,\s\up4(4)) 公共点 【提醒】　当直线与双曲线的渐近线平行时，把直线方程代入双曲线方程，得到的是一次方程，根本得不到一元二次方程，当然也就没有所谓的判别式了． 练一练 1．判断正误 (1)若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切．(　　) (2)过点A(1，0)作与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点的直线，这样的直线可作2条．(　　) (3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　　) 2．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为(　　) A．0或1 B．1 C．0或2 D．1或2 解析　由于渐近线与双曲线没有公共点，若直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为1. 3．直线y＝kx＋d(k，d∈R)与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数最多为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　联立直线y＝kx＋d(k，d∈R)与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)可得关于x或者y的一元方程，最多有2个根，即最多有2个交点． 4．若直线x＝t与双曲线 eq \f(x2,4)－y2＝1有两个交点，则t的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 解析　在 eq \f(x2,4)－y2＝1中，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，当t＝－2或t＝2时，只有一个交点，当t∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，有两个交点，当t∈(－2，2)时，无交点．故选A. 类型一　双曲线的实际应用 【例1】　在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1 m，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心(如图).由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4 cm.据此推算，到2050年年底该地区将有10 km2的水面面积． (1)建立适当的坐标系，求此双曲线的方程； (2)请你推算，到2100年年底该地区将有多大的水面面积？ (提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为S＝πr2) 解　(1)选择海平面与剖面的交线为x轴，AB所在直线为y轴，B为原点，建立直角坐标系．据题意可设双曲线方程为y2－ eq \f(x2,b2)＝1(b>0).可知至2050年年底，海平面共上升了4×50＝200(cm)，即2 m，使该地区有水面面积10 km2.即当y＝2时，πx2＝107，所以b2＝ eq \f(107,3π)，故双曲线方程为y2－ eq \f(3πx2,107)＝1. (2)照此推算，到2100年年底海平面共上升了4×100 ＝400(cm)，即4 m．当y＝4时，x2＝ eq \f(5×107,π)，πx2＝5×107， 所以该地区在2100年年底将有水面面积50 km2. 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的标准方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). [跟踪训练1]　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km， 则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km. x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≥1) 2 eq \r(7)－2 解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线的定义知，轨迹为双曲线的右支． 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故轨迹方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≥1). 根据题意知C(3， eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2 eq \r(7)－2，当A，M，C共线时，等号成立． 类型二　直线与双曲线的位置关系 【例2】　已知双曲线的方程为x2－ eq \f(y2,2)＝1，直线l过点P(1，1)，斜率为k.当k为何值时，直线l与双曲线：只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ 解　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k). 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋(1－k)，,x2－\f(y2,2)＝1，)) 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*) 当k2－2＝0，即k＝± eq \r(2)时，方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点． 当k2－2≠0，即k≠± eq \r(2)时，Δ＝24－16k， 若Δ＝0，即k＝ eq \f(3,2)，则方程(*)只有一个解，直线l与双曲线只有一个公共点； 若Δ>0，即k< eq \f(3,2)，且k≠± eq \r(2)，则方程(*)有两个解，直线l与双曲线有两个公共点； 若Δ<0，即k> eq \f(3,2)，则方程(*)无解，直线l与双曲线无公共点． 综上所述，当k＝± eq \r(2)或k＝ eq \f(3,2)时，直线l与双曲线只有一个公共点； 当k< eq \f(3,2)，且k≠± eq \r(2)时，直线l与双曲线有两个公共点； 当k> eq \f(3,2)时，直线l与双曲线无公共点． 判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线公共点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数为零的情况，否则容易漏解． [跟踪训练2]　(1)已知双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1，若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的值． (2)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围． 解　(1)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，)) 得(3－k2)x2－4kx－7＝0， 若3－k2＝0，即k＝± eq \r(3)， 则直线l与双曲线C的渐近线y＝± eq \r(3)x平行， 此时直线l与双曲线C只有一个公共点； 若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，∴k2＝7，∴k＝± eq \r(7). 综上，实数k＝± eq \r(7)或k＝± eq \r(3). (2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,y＝kx－1，)) 消去y并整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 由题意，知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8(1－k2)>0，)) 解得－ eq \r(2)<k< eq \r(2)，且k≠±1. 故实数k的取值范围为(－ eq \r(2)，－1)∪(－1，1)∪(1， eq \r(2)). 类型三　双曲线的弦长与中点弦问题 【例3】　(2024·常州期末)已知双曲线3x2－y2＝3，过点P(2，1)作一直线交双曲线于A，B两点，且P为AB的中点． (1)求直线AB的方程； (2)求弦AB的长． 解　(1)解法一：由题意知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程3x2－y2＝3， 得(3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－ eq \f(2k(2k－1),3－k2)＝4，解得k＝6. 所以直线AB的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0. 解法二：由题意知直线AB的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得3x eq \o\al(2,1)－y eq \o\al(2,1)＝3，3x eq \o\al(2,2)－y eq \o\al(2,2)＝3， 两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， 即 eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝3. 所以直线AB的斜率 kAB＝ eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y1－y2,x1－x2)))＝ eq \f(3(x1＋x2),y1＋y2)＝ eq \f(3×4,2)＝6. 所以直线AB的方程为y－1＝6(x－2)， 即6x－y－11＝0. (2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝ eq \f(124,33). 则|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]) ＝ eq \r((1＋36)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(4×124,33))))＝ eq \f(4\r(2 442),33). 1．求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2)· eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2). 2．中点弦问题的解决方法 对于中点弦问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度． [跟踪训练3]　已知双曲线 eq \f(x2,4)－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 解　由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝ eq \f(8k(3k＋1),4k2－1). ∵A(3，－1)为MN的中点，∴ eq \f(x1＋x2,2)＝3， 即 eq \f(8k(3k＋1),2(4k2－1))＝3，解得k＝－ eq \f(3,4). 当k＝－ eq \f(3,4)时，满足Δ＞0，符合题意． ∴所求直线MN的方程为y＝－ eq \f(3,4)x＋ eq \f(5,4)，即3x＋4y－5＝0. 1．知识清单 (1)双曲线的实际应用． (2)判断直线与双曲线的交点个数． (3)双曲线的弦长与中点弦问题． 2．方法归纳：定义法、待定系数法、直接法、解方程法、数形结合． 3．常见误区：代数计算中容易运算失误． 1．直线l：y＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))与双曲线 eq \f(x2,9)－y2＝1交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析　由题知，双曲线 eq \f(x2,9)－y2＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(1,3)x，所以直线l：y＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))与双曲线的一条渐近线平行，故直线l与双曲线有且只有一个交点．故选B. 2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2. 3．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为 ． eq \f(2b2,a) 解析　设一个焦点为F(c，0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上， ∴ eq \f(c2,a2)－2,0) eq \f(y,b2) ＝1，∴y0＝±b eq \r(\f(c2,a2)－1)＝± eq \f(b2,a). ∴|AB|＝2|y0|＝ eq \f(2b2,a). 4．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为 eq \f(1,2)的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是 ． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2,1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y eq \o\al(2,1)＝1，,x eq \o\al(2,2)－y eq \o\al(2,2)＝1，)) 两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2).因为x eq \o\al(2,1)－x eq \o\al(2,2)≠0，M的坐标为(x，y)，所以 eq \f(2x,2y)＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)，又直线l的斜率为 eq \f(1,2)，所以 eq \f(x,y)＝ eq \f(1,2)，即y＝2x. 基础巩固 1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点．故选B. 2．直线y＝ eq \f(b,a)x＋3与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析　由题意，双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x， 因为直线y＝ eq \f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝ eq \f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 3．(2023·合肥联考)若双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(1，2] C．(1， eq \r(5)) D．(1， eq \r(5)] 解析　由题意可得， eq \f(b,a)≤2，所以e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up42(2))≤ eq \r(5).又e>1，所以离心率e的取值范围是(1， eq \r(5)]. 4．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(1，2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2，1) 解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为 eq \f(－2,2)＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，故选C. 5．已知直线y＝ eq \f(1,2)x与双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　) A． eq \f(4,9) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D．与点P的位置有关 解析　设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝ eq \f(y－y0,x－x0)· eq \f(y＋y0,x＋x0)＝2,0) eq \f(y2－y,x2－x eq \o\al(2,0)) ＝2,0) eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)－1))－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,9)－1)),x2－x eq \o\al(2,0)) ＝2,0) eq \f(\f(4,9)（x2－x）,x2－x eq \o\al(2,0)) ＝ eq \f(4,9). 6．已知双曲线的方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　) A．4x－3y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．3x－4y＋6＝0 D．x－y＋1＝0 解析　设弦的两端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则2x eq \o\al(2,1)－y eq \o\al(2,1)＝2，2x eq \o\al(2,2)－y eq \o\al(2,2)＝2，两式相减得 2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6， ∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0，即kPQ＝ eq \f(4,3). 因此直线PQ的方程为y－3＝ eq \f(4,3)(x－2)， 即4x－3y＋1＝0. 经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交．故选A. 7．过点P(1，1)与双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1只有一个交点的直线共有 条． 解析　经过点P(1，1)且与渐近线平行的直线有2条，经过点P(1，1)与双曲线相切的直线有2条，所以满足条件的直线共有4条． 8．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是 ． 解析　由题意，知 eq \f(b,a)≥ eq \r(3)，则 eq \f(b2,a2)≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝ eq \f(c2,a2)≥4，所以e≥2. 9．已知双曲线C： eq \f(x2,4)－y2＝1，P为双曲线C上的任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值． 解　(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点．该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0，x＋2y＝0， ∴点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是 eq \f(|x1－2y1|,\r(5))和 eq \f(|x1＋2y1|,\r(5))，它们的乘积是 eq \f(|x1－2y1|,\r(5))· eq \f(|x1＋2y1|,\r(5))＝2,1) eq \f(|x－4y eq \o\al(2,1)|,5) ＝ eq \f(4,5)，故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)由(1)知点P的坐标为(x1，y1)， 则|PA|2＝(x1－3)2＋y eq \o\al(2,1)＝(x1－3)2＋2,1) eq \f(x,4) －1＝ eq \f(5,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(12,5))) eq \s\up42(2)＋ eq \f(4,5). ∵|x1|≥2，∴当x1＝ eq \f(12,5)时，|PA|2取最小值 eq \f(4,5)，∴|PA|的最小值为 eq \f(2\r(5),5). 10．如图，双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，过左焦点F1且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点． (1)求弦长|AB|； (2)求△ABF2的周长． 解　(1)∵双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，且F1为左焦点， ∴F1(－2，0)，直线l的方程为y＝ eq \f(\r(3),3)(x＋2)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2. 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)(x＋2)，,x2－\f(y2,3)＝1，)) 整理得8x2－4x－13＝0， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2＝\f(1,2)，,x1x2＝－\f(13,8)，)) ∴|AB|＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up42(2))|x1－x2| ＝ eq \r(1＋\f(1,3))× eq \r(\f(1,4)＋4×\f(13,8))＝3. (2)记△ABF2的周长为C△ABF2，则C△ABF2＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|. ∵|BF2|＝2,2) eq \r((x2－2)2＋y) ，y eq \o\al(2,2)＝3x eq \o\al(2,2)－3， ∴|BF2|＝2,2) eq \r(4x－4x2＋1) ， ∴|BF2|＝|2x2－1|， 又∵点B在双曲线的右支上， ∴|BF2|＝2x2－1. 同理，点A在双曲线的左支上， ∴|AF2|＝|2x1－1|＝－(2x1－1)， ∴|BF2|＋|AF2|＝2(x2－x1) ＝2 eq \r((x1＋x2)2－4x1x2) ＝2× eq \r(\f(1,4)＋4×\f(13,8))＝3 eq \r(3)， ∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3 eq \r(3)＋3. 能力提升 11．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝ eq \r(2)x，过其左焦点F(－ eq \r(3)，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝(　　) A．2 eq \r(5) B．4 eq \r(5) C．10 D．10 eq \r(2) 解析　∵双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝ eq \r(2)x，∴ eq \f(b,a)＝ eq \r(2)，即b＝ eq \r(2)a. ∵左焦点F(－ eq \r(3)，0)，∴c＝ eq \r(3)， ∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3， ∴a2＝1，b2＝2， ∴双曲线C的方程为x2－ eq \f(y2,2)＝1，直线l的方程为y＝2(x＋ eq \r(3)).设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2(x＋\r(3))，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y可得x2＋4 eq \r(3)x＋7＝0， ∴x1＋x2＝－4 eq \r(3)，x1x2＝7， ∴|AB|＝ eq \r(1＋22)· eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \r(1＋4)× eq \r(48－28)＝ eq \r(5)× eq \r(20)＝10.故选C. 12．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为 (　　) A． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1 B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1 C． eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1 D． eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,4)＝1 解析　设双曲线E的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则2,1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y eq \o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x eq \o\al(2,2),a2)－\f(y eq \o\al(2,2),b2)＝1，)) 两式作差得 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))＝ eq \f(－12b2,－15a2)＝ eq \f(4b2,5a2). 又因为直线AB的斜率是 eq \f(－15－0,－12－3)＝1，所以 4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1，故选B. 13．设双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ． eq \f(32,15) 解析　不妨设双曲线的渐近线方程为y＝ eq \f(4,3)x，又F(5，0)，∴直线过F且斜率为 eq \f(4,3)， ∴直线FB的方程是y＝ eq \f(4,3)(x－5)， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)(x－5)，,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1，)) 得 eq \f(x2,9)－ eq \f((x－5)2,9)＝1， 即10x＝34，解得x＝ eq \f(17,5)，y＝－ eq \f(32,15)，则B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15)))，而|AF|＝c－a＝5－3＝2， ∴S△AFB＝ eq \f(1,2)·|AF|·|yB|＝ eq \f(1,2)×2× eq \f(32,15)＝ eq \f(32,15). 多元数学 14．(逻辑推理)已知双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝ eq \f(\r(10),2)，其焦点F1到渐近线的距离为 eq \r(3). (1)求双曲线C的方程； (2)若过点M(0，3)的直线l交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程． 解　(1)不妨设双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点F1的坐标为(0，－c)，渐近线方程为y＝± eq \f(a,b)x，即ax±by＝0. 因为点F1(0，－c)到渐近线的距离为 eq \r(3)， 所以 eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝ eq \r(3)，所以b＝ eq \r(3). 因为离心率e＝ eq \f(\r(10),2)，即 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(10),2)，c2＝a2＋b2，所以a2＝2，c2＝5，所以双曲线C的方程为 eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,3)＝1. (2)由已知可得直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋3，,\f(y2,2)－\f(x2,3)＝1，)) 消去y得(3k2－2)x2＋18kx＋21＝0， 所以3k2－2≠0，即k≠± eq \f(\r(6),3). 又Δ＝(18k)2－4×21×(3k2－2)＝72k2＋168>0， 所以x1＋x2＝－ eq \f(18k,3k2－2)，x1x2＝ eq \f(21,3k2－2)， 所以y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝ eq \f(21k2,3k2－2)－ eq \f(54k2,3k2－2)＋9＝ eq \f(－6k2－18,3k2－2). 因为以AB为直径的圆过坐标原点O， 所以OA⊥OB，即 eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(OB,\s\up15(→))＝0， 所以x1x2＋y1y2＝ eq \f(21,3k2－2)＋ eq \f(－6k2－18,3k2－2)＝0， 解得k＝± eq \f(\r(2),2)，所以直线l的方程为y＝ eq \f(\r(2),2)x＋3或y＝－ eq \f(\r(2),2)x＋3. $