第3章 3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及推导过程，以《悲伤的双曲线》歌曲导入，类比椭圆知识通过问题链引导学生从距离差关系抽象定义，构建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养，用歌曲情境激发兴趣，通过定义辨析例题（如a=3和5时轨迹判断）发展逻辑推理，分层练习巩固知识。课堂小结梳理清单与方法，助学生结构化认知，也为教师提供完整教学资源支持。

第1课时 双曲线及其标准方程 第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程 <<< 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(难点). 2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点). 学习目标 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌？这首歌的创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给作者带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 导 语 一、双曲线的定义 二、双曲线的标准方程及其推导过程 课时对点练 三、求简单的双曲线方程 随堂演练 内容索引 双曲线的定义 一 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 问题1 我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-|PB||≤|F1F2| <|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆. 如图，在|AB|<|F1F2|≤|PA|+|PB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？ 提示　如题图，曲线上的点满足条件=常数. 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 知识梳理 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 注 意 点 <<< 8 已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a，当a=3或5时，P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 √ 例 1 |AB|=10，当a=3时，2a=6，此时2a<|AB|， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时，2a=10，此时2a=|AB|=10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 解析 9 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件来判断. 反 思 感 悟 10 已知F1(3，3)，F2(-3，3)，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 跟踪训练 1 √ 因为|PF1|-|PF2|=4，|F1F2|=6， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支. 解析 11 二 双曲线的标准方程及其推导过程 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程呢？ 问题2 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示， 此时双曲线的焦点分别为F1(-c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则||PF1|-|PF2||=2a(0<a<c)， 因为|PF1|=， |PF2|=， 所以-=±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)，两边同除以a2(c2-a2)，得-=1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2-a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代入上式，得-=1(a>0，b>0). 设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 问题3 提示　-=1(a>0，b>0). 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 __________________ __________________ 焦点 __________________ ___________________ a，b，c的关系 b2=______ -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) c2-a2 知识梳理 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2=a2+b2. 注 意 点 <<< 18 (课本例1)　已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 例 2 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3， 因此b2=52-32=16. 所以，双曲线的标准方程为-=1. 解 19 焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点M(2，3)的双曲线的标 准方程为　　　　 .  例 2 x2-=1 所求双曲线焦点在x轴上， 且c=2，2a=||MF1|-|MF2||=|-|=2， ∴a=1，∴b2=c2-a2=3. ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 解析 20 利用定义求双曲线标准方程时，应先确定焦点的位置，再确定a，b，c的值，即先定位，后定量. 反 思 感 悟 21 满足a=3，c=4，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 　 　　. 跟踪训练 2 由题设知，a=3，c=4，由c2=a2+b2 得b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为-=1. 解析 -=1 22 求简单的双曲线方程 三 求以椭圆+=1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程. 例 3 由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c=2， 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 则 故所求双曲线的标准方程为-=1. 解 24 用待定系数法求双曲线方程的步骤 (1)根据条件确定焦点在哪个坐标轴上. (2)设方程-=1或-=1(a>0，b>0). (3)列出关于a，b的方程(组). (4)解方程(组)，得所求双曲线方程. 反 思 感 悟 25 已知双曲线的一个焦点为F(-，0)，点P在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是 A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 跟踪训练 3 √ 26 由线段PF的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则 所以该双曲线的标准方程为x2-=1. 解析 27 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程及其推导过程. (3)求简单的双曲线方程. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知点P(x，y)的坐标满足-=±，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 √ 设A(1，0)，B(-1，0)， 则由已知得||PA|-|PB||=，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|=2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 解析 1 2 3 4 2.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是 A.-2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 √ ∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0. 解得-2<m<2. 解析 1 2 3 4 3.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为 A.1 B.1或-2 C.1或 D. √ 由题意知解得a=1. 解析 1 2 3 4 4.与椭圆+=1有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程 为　　　　 .  -=1 1 2 3 4 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 根据题意得解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B D AB B 9 题号 8 11 12 13 14 15 答案 -=1 B A AB x2-=1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵a=2且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得-=1， 解得b2=16， ∴-=1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c=10，c=5， 又该双曲线过点(0，4)，则a=4， ∴b2=c2-a2=25-16=9， ∴-=1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN= 所以设|PN|=3k，|PM|=4k， 则|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48，得k=4. 所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|PM|-|PN|=4，得2a=4，a=2，a2=4. 由|MN|=20，得2c=20，c=10，c2=100， 所以b2=c2-a2=100-4=96， -=1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为-=1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为 所以tan θ= <m<4所以1<tan θ<4， 即tan θ的取值范围为(1，4). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，Q(x1，y1 =(x1-c，y1)， 所以S△OFQ=||·|y1|=2则y1=±·=m， 即(c，0)·(x1-c，y1)=c2，解得x1=c， 所以||==≥=2 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当c=4时取等号，||最小， 此时Q-. 所以双曲线的标准方程为-=1. 基础巩固 1.已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4 C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当|PF1|-|PF2|=±3时， ||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4， 满足双曲线的定义， 所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 解析 2.若双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为 A. B. C. D.(，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1， ∴a2=1，b2=， ∴c2=a2+b2=， ∴c=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.双曲线C的两焦点分别为(-6，0)，(6，0)，且经过点(-5，2)，则双曲线的标准方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2a=|-|=4， 所以a=2， 又c=6， 所以b2=c2-a2=36-20=16. 所以双曲线的标准方程为-=1. 解析 4.已知动点P到A(-5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1(x≤3) D.-=1(x≥3) √ 动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，又c=5，a=3，∴b2=16，∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是 A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若mn>0，则C为双曲线，所以A正确； 若m>0且m+n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若m>0，n<0，当m=1，n=-1时，C是单位圆，所以C不正确； 若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确. 解析 6.已知双曲线过点(-2，0)，且与椭圆4x2+9y2=36有公共的焦点，则双曲线的标准方程是 A.-x2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆4x2+9y2=36，可化为标准方程+=1，可得焦点坐标为(-，0)，(，0)， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，所以c=， 又因为双曲线过点(-2，0)，可得a=2，则b2=c2-a2=1， 所以双曲线的标准方程为-y2=1. 解析 7.双曲线-=1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，则|MF2|=　　　.  由题意得，2c=8，可得c=4， 所以a2=c2-b2=16-12=4，解得a=2， 又||MF1|-|MF2||=2a=4，所以|5-|MF2||=4， 解得|MF2|=1或|MF2|=9， 当|MF2|=1时，|MF1|+|MF2|=6<8，不满足题意，故舍去； 当|MF2|=9时，|MF1|+|MF2|=14>8，满足题意，所以|MF2|=9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，-3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互 相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -=1 设焦点为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2， 得·=-1， ∴·=-1，∴c=5. 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，-3)，∴-=1， 又∵c2=a2+b2=25，∴a2=16，b2=9. ∴双曲线的标准方程为-=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)； ∵a=2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得-=1， 解得b2=16， ∴双曲线的标准方程为-=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4). ∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c=10，c=5， 又该双曲线过点(0，4)，则a=4， ∴b2=c2-a2=25-16=9， ∴双曲线的标准方程为-=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为坐标轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN=， 所以设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48，得k=4. 所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|PM|-|PN|=4，得2a=4，a=2，a2=4. 由|MN|=20， 得2c=20，c=10，c2=100， 所以b2=c2-a2=100-4=96， 故所求方程为-=1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为-=1. 解 11.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 A.(5，+∞) B.(-2，2)∪(5，+∞) C.(-2，2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为方程对应的图形是双曲线， 所以(k-5)(|k|-2)>0. 即 解得k>5或-2<k<2. 解析 12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2，设动圆的圆心为M，半径为r， 由两圆外切的充要条件，得|MO1|=r+1，|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=1， 又|O1O2|=4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 解析 13.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为 A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形A1PA2Q的面积为2，∴×2a×2b=2， 得ab=. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r，则2πr=，解得r=， 又4×cr=2，∴c=. 又∵c2=a2+b2=3，得 ∴双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1. 解析 14.已知双曲线Γ：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°， 则a=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点， 且|AF1|=8，|BF1|=5，∠AF1B=60°， 则|AF2|=8-2a，|BF2|=5-2a，0<a<， 所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a， 可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cos 60°， 解得a=或a=5(舍去). 解析 15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|=|BC|=|CD|=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为 　 　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为|AB|=|BC|=|CD|=2， 则点C的坐标为(1，0)， 将其代入双曲线方程，得a=1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以点在双曲线上， 得-=1，则b2=， 故所求双曲线的标准方程为x2-=1. 解析 16.已知△OFQ的面积为2，且·=m，其中O为坐标原点. (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 所以tan θ=， 又<m<4， 所以1<tan θ<4， 即tan θ的取值范围为(1，4). 解 (2)若以F(c，0)为其右焦点的双曲线经过点Q，如图所示，m=c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则=(x1-c，y1)， 所以S△OFQ=||·|y1|=2，则y1=±·=m， 即(c，0)·(x1-c，y1)=c2，解得x1=c， 所以||==≥=2， 当且仅当c=4时取等号，||最小， 此时Q的坐标为(，-). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此 所以双曲线的标准方程为-=1. 解 第三章　3.2.1　双曲线及其标准方程 <<< $