3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（一）（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件围绕双曲线的定义、标准方程及简单应用展开，通过金沙江溪洛渡水电站等生活实例情境导入，结合椭圆已有知识，以拉链实验问题驱动定义探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融入数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养，通过拉链实验抽象定义，类比椭圆推导标准方程，结合例3求标准方程等实例强化运算能力。采用问题驱动与类比迁移教学，课堂小结梳理知识体系，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学方案。

第一课时　双曲线及其标准方程（一） 1 1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2. 理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3. 掌握双曲线的标准方程及其求法（数学运算）. 课标要求 情境导入 　　双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际 生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的 外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度.我们 已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何 性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！ 知识点一　双曲线的定义 01 知识点二　双曲线的标准方程 02 提能点　双曲线定义与标准方程的简单应用 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 双曲线的定义 目 录 问题1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一 点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐 拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，试观察这是一条什么样 的曲线？点M在运动过程中满足什么条件？ 提示：双曲线.曲线上的点满足条件：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝常数，且 常数小于｜F1F2｜. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 ⁠等于非零常数 （小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线. 2. 符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝ （常数），且0＜2a＜｜ F1F2｜. 3. 焦点：两个定点 ⁠. 4. 焦距： 的距离，表示为｜F1F2｜. 差的绝对值　 2a　 F1，F2　 　　提醒：（1）常数要小于两个定点的距离；（2）如果没有绝对值，点 的轨迹表示双曲线的一支；（3）当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以 F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（4）当2a＞｜ F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（5）当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2 的垂直平分线. 两焦点间　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】已知点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜ PF2｜＝2a，当a＝0和3时，点P的轨迹分别为（　　） A. 一条射线、双曲线 B. 一条射线、双曲线一支 C. 线段F1F2的垂直平分线、双曲线 D. 线段F1F2的垂直平分线、双曲线一支 解析：由题意得｜F1F2｜＝10，当a＝0时，｜PF1｜＝｜PF2｜，故点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线；当a＝3时，2a＝6＜｜F1F2｜，故点P的轨迹为双曲线的一支.故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 8 【规律方法】 　双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知F1（－8，3），F2（2，3），动点P满足｜PF1｜－｜ PF2｜＝10，则P点的轨迹是（　D　） A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 直线 D. 一条射线 解析：F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜ PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线. D 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪ （0，4）. （2）平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为 m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（　D　） A. （－4，＋∞） B. （4，＋∞） C. （－4，4） D. （－4，0）∪（0，4） D 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 双曲线的标准方程 目 录 问题2　（1）类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，才能 使得到的双曲线方程更简单？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而 且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面 直角坐标系Oxy，得到的双曲线方程最简单. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，c＞0.试根据上面所建立的 坐标系，推导双曲线的标准方程. 提示：设F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），P（x，y）是双 曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a（a为大于0的常数）， 因为｜PF1｜＝ ， ｜PF2｜＝ ， 所以 － ＝±2a，　① 数学·选择性必修第一册 目 录 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①得（c2－a2）·x2－a2y2＝a2（c2－ a2），两边同除以a2（c2－a2），得 － ＝1. 由双曲线的定义知2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0， 类比椭圆标准方程的建立过程， 令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得 － ＝1（a＞0，b＞0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 － ＝1 （a＞0，b＞0） － ＝1 （a＞0，b＞0） 图形 数学·选择性必修第一册 目 录 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 坐标 F1（－c，0），F2 ⁠ ⁠ F1 ，F2（0， c） 焦距 ｜F1F2｜＝ ⁠ a，b，c 的关系 c2＝ ⁠ （c， 0）　 （0，－c）　 2c　 a2＋b2　 　　提醒：（1）若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为 正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”；（2）a与b没有大 小关系. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度1　双曲线标准方程的认识 【例2】已知 － ＝－1，当k为何值时： （1）方程表示双曲线？ 解：原方程可变形为 － ＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0. 即 或 解得k＜－3或1＜k＜3. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？ 解：若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则 解得1＜k＜3. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　方程表示双曲线的条件 （1）对于方程 ＋ ＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0， n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的 双曲线； （2）对于方程 － ＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0 时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双 曲线. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度2　求双曲线的标准方程 【例3】根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）左、右焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），且双曲线上一点P 满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8； 解：由题意c＝5，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，a＝4，所以b＝ ＝3，所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）； 解：法一　设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），由题意得 c＝2 . 又双曲线过点（3 ，2）， 所以 － ＝1，　① 又a2＋b2＝20，　② 由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　设双曲线的方程为 － ＝1（－4＜k＜16），将点（3 ， 2）代入得k＝4. 故双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）过点P（3， ），Q（－ ，5）且焦点在坐标轴上. 解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0. 因为点P，Q在双曲线上， 所以 解得 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求双曲线标准方程的两个关注点 　　提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程 为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）（2025·聊城月考）椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相 同的焦点，则a＝ ⁠； 解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方 程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝ －2（舍去）.所以a＝1. 1 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（2025·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都 在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的 标准方程为 ⁠. － ＝1 解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B 的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将 此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且 解得 所以双曲线方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 双曲线定义与标准方程的简单应用 目 录 【例4】　（1）已知F1、F2分别是双曲线C： －y2＝1（a＞0）的左、 右焦点，且C上存在点P使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，则实数a的取值范围 是 ⁠； ［ ，＋∞） 解析：因为｜PF1｜＝4｜PF2｜，双曲线C： －y2＝1（a＞0）， 又｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，所以｜PF1｜＝ ，｜PF2｜＝ ，又 ＝｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜＝2c＝2 ，解得a≥ ，即实 数a的取值范围是［ ，＋∞）. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知F是双曲线 －y2＝1的左焦点，P是双曲线右支上一动点，定 点M（4，3），则｜PM｜＋｜PF｜的最小值是 ⁠. 解析：设双曲线 －y2＝1的右焦点为F'，则F（－2，0），F'（2，0）， 由P是双曲线右支上一动点，根据定义得｜PF｜－｜PF'｜＝2a＝2 ， 即｜PF｜＝｜PF'｜＋2 ，故｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋｜PF'｜＋ 2 ≥｜MF'｜＋2 ＝ ＋2 ＝ ＋2 . ＋2 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据 定义求该点到另一焦点的距离. 2. 设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的 左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点. （1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜ MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在； （2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜ MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）已知P是双曲线 － ＝1上一点，F1，F2分别为双曲线的 左、右焦点，且｜PF1｜＝17，则｜PF2｜＝（　B　） A. 30 B. 33 C. 35 D. 42 解析：由题意得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点 F2的距离d≥c－a＝2.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝16，又｜ PF1｜＝17，所以｜PF2｜＝1（舍去）或｜PF2｜＝33.故选B. B 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知双曲线C： － ＝1，F1，F2是其左、右焦点.圆E：x2＋y2 －4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则｜ PF1｜＋｜PQ｜的最小值为 ⁠. 解析：由题意，F1（－4，0），F2（4，0）， E（0，2），圆E的半径r＝1，由点P为双曲 线C右支上的动点知｜PF1｜＝｜PF2｜＋6， 所以｜PF1｜＋｜PQ｜＝｜PF2｜＋｜PQ｜ ＋6，所以（｜PF1｜＋｜PQ｜）min＝（｜PF2｜＋｜PQ｜）min＋6＝｜F2E｜－r＋6＝2 －1＋6＝5＋2 . 5＋2 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的 轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 一条射线 D. 双曲线右支 解析：　因为｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一 条射线.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 若方程 ＋ ＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（　　） A. k＜1 B. k＞4 C. 1＜k＜4 D. k＜1或k＞4 解析：根据题意有（k－1）（k－4）＜0，所以1＜k＜4.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 若椭圆 ＋ ＝1（m＞0）与双曲线 － ＝1有相同的焦点，则m ＝ 　　. 1 解析：双曲线 － ＝1的焦点在x轴上，依题意，0＜m2＜4，即0＜m＜ 2，又 ＝ ，解得m＝1，所以m＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 4. （1）以椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为焦点，且经过点（3， ）的双 曲线的标准方程是 ⁠； 解析：依题意，双曲线的焦点在x轴上，c＝2 .设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞b＞0）.代入点（3， ）得 － ＝1.又a2＋b2＝c2 ＝8，解得a2＝3，b2＝5.所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1. － ＝1 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）焦距为26，且经过点M（0，12）的双曲线的标准方程是 ⁠ ⁠. 解析：∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12）为双曲线的一个顶 点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝ 25.∴双曲线的标准方程为 － ＝1. － ＝1 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）双曲线的定义； （2）双曲线标准方程的认识与求解； （3）双曲线定义与标准方程的简单应用. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 2.应体会 （1）求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定 义法； （2）用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接 设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论 思想及方程思想. 3.避易错 （1）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中的不同，易记错记混； （2）忽略双曲线的定义中的2a＜｜F1F2｜或把双曲线的一支误认为是两支. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 已知定点F1（－2，0），F2（2，0），则在平面内满足下列条件的动 点P的轨迹中为双曲线的是（　　） A. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±3 B. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±4 C. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±5 D. ｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±4 解析：　当｜PF1｜－｜PF2｜＝±3时，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝3 ＜｜F1F2｜＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　） A. （ ，0） B. （ ，0） C. （ ，0） D. （ ，0） 解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－ ＝1，∴a2＝1，b2＝ ，∴c2＝a2＋b2＝ ，∴c＝ ，故右焦点坐标为（ ，0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 与双曲线 －y2＝1有公共焦点，且过点（ ， ）的双曲线标准方 程为（　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. －y2＝1 D. x2－ ＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　双曲线 －y2＝1的焦点为（± ，0），设双曲线的方程为 － ＝1（a，b＞0），可得a2＋b2＝3，将点（ ， ）代入双曲线方 程可得 － ＝1，解得a＝1，b＝ ，即所求双曲线的标准方程为x2－ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知直线ax＋by＋c＝0在平面直角坐标系中的位置如图所示，则方程 ax2－by2－c＝0表示（　　） A. 焦点在x轴上的双曲线 B. 焦点在y轴上的双曲线 C. 焦点在x轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的椭圆 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　将直线的方程化为y＝－ x－ ，可知 即 将方程ax2－by2－c＝0化为 － ＝1，由 可得 ＜0，故方程 ax2－by2－c＝0表示焦点在y轴上的双曲线.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 设F1，F2分别是双曲线C： － ＝1的左、右焦点，过F2的直线与C 的右支交于P，Q两点，则｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 解析：　由双曲线C： － ＝1，得a2＝4，即a＝2，由双曲线的定义 知｜F1P｜－｜PF2｜＝2a＝4，｜F1Q｜－｜QF2｜＝2a＝4，｜PQ｜ ＝｜PF2｜＋｜QF2｜，所以｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝｜F1P｜ ＋｜F1Q｜－（｜PF2｜＋｜QF2｜）＝｜F1P｜－｜PF2｜＋｜F1Q｜ －｜QF2｜＝8.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕（2025·泉州月考）若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为C，则 下面四个选项中正确的是（　　） A. 若1＜t＜3，则曲线C为椭圆 B. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3 C. 若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞3 D. 曲线C可能是圆 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则 解得1＜t ＜3且t≠2，故A错误；若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则 解得2＜t＜3，故B正确；若曲线C为双曲线，则（3－ t）·（t－1）＜0，解得t＜1或t＞3，故C正确； 若曲线C是圆，则 解得t＝2，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕过点（1，1），且b＝ a的双曲线的标准方程可以是（　　） A. －y2＝1 B. －x2＝1 C. x2－ ＝1 D. y2－ ＝1 √ √ 解析：　由于b＝ a，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程 为 － ＝1，代入（1，1）点，得a2＝ ，此时双曲线方程为 －y2＝ 1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为 －x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝ ⁠. 解析：若焦点在x轴上，则方程可化为 － ＝1，所以 ＋k＝32，即k ＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为 － ＝1，所以－k＋（－ ）＝ 32，即k＝－6. 6或－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 双曲线 － ＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是 双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝ ⁠. 解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得 a＝2，又｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4， 解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜ ＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝ 14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）； 解：∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），由其焦距为10，得 2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点（0，4），则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）a＝4，经过点A（1，－ ）. 解：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（b＞0），把 点A的坐标代入，得b2＝－ × ＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（b＞0），把点A的坐 标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲 线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且 AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为（　　） A. x2－ ＝1 B. 2x2－y2＝1 C. x2－ ＝1 D. x2－ ＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　依题意，设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），因为｜ BC｜＝2，则a＝1，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O的周长八等分，所以双曲线与圆O在第一象限内的交点坐标 为（ ， ），于是（ ）2－ ＝1，解得b2＝ ，所以双曲线的方 程为x2－ ＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线 上，且 · ＝0，则M点到x轴的距离为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点 到x轴的距离为h，∵ · ＝0，∴MF1⊥MF2， 设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线定义，知m－ n＝2a＝8　①，又m2＋n2＝（2c）2＝80　②，由①② 得mn＝8，∴ mn＝4＝ ｜F1F2｜·h，∴h＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1的左、右焦点，P（3，1）为双 曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值 为 ⁠. 解析：因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－ 2 ，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜ AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右 支于点A0.由已知得F1（－3，0），当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝ ＝ .故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为 －2 . －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知曲线C： ＋ ＝1（t≠0，t≠±1）. （1）求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； 解：当t2＞0，t2－1＞0且t2≠t2－1， 即t＞1或t＜－1时，曲线C为椭圆；当t2＞0，t2－1＜0，即－1＜t＜0或0 ＜t＜1时，曲线C为双曲线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求证：不论t为何值，曲线C总有相同的焦点. 解：证明：由（1）可知，当t＞1或t＜－1时， 曲线C是椭圆，且t2＞t2－1， 因此c2＝a2－b2＝t2－（t2－1）＝1， 所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）； 当－1＜t＜0或0＜t＜1时，双曲线C的方程为 － ＝1， 因为c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1， 所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）. 综上所述，无论t为何值，曲线C总有相同的焦点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知△OFQ的面积为2 ，且 · ＝m，其中O为坐标原点. （1）设 ＜m＜4 ，求 与 的夹角θ的正切值的取值范围； 解：因为 ｜ ｜·｜ ｜ sin （π－θ）＝2 ，｜ ｜·｜ ｜ cos θ＝m， 所以tan θ＝ ， 又 ＜m＜4 ，所以1＜tan θ＜4， 即tan θ的取值范围为（1，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所 示，｜ ｜＝c，m＝（ －1）c2，当｜ ｜取得最小值时，求此双 曲线的标准方程. 解：设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）， Q（x1，y1），则 ＝（x1－c，y1）， 所以S△OFQ＝ ｜ ｜·｜y1｜＝2 ， 则y1＝± ，又 · ＝m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 即（c，0）·（x1－c，y1）＝（ －1）c2， 解得x1＝ c， 所以｜ ｜＝ ＝ ≥ ＝2 ， 当且仅当c＝4时取等号，｜ ｜最小， 此时Q的坐标为（ ， ）或（ ，－ ）. 因此 所以 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $