第3章 3.1.1 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆及其标准方程，涵盖定义、标准方程推导及焦点三角形等核心内容。课堂导入结合神舟十九号椭圆轨道情境，通过细绳画椭圆实验，从圆的定义自然迁移，搭建具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实应用，通过实验操作与问题链引导数学思维，如方程推导中分类讨论焦点位置，焦点三角形综合余弦定理与定义。例题与跟踪训练强化数学语言表达，助力学生提升抽象能力和推理意识，教师可借助系统练习提升教学效率。

3.1.1 椭圆及其标准方程 第三章　§3.1　椭圆 <<< 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导(难点). 3.会求简单的椭圆的标准方程(重点). 学习目标 椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行， 导 语 后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番. 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 课时对点练 三、椭圆的焦点三角形 随堂演练 内容索引 椭圆的定义 一 提示　椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数. 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题1 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距. 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 知识梳理 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值. (2)定值必须大于两定点间的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 注 意 点 <<< 8 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 √ 例 1 ∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6， 由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆. 解析 9 (2)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 √ 由题设知|PA|+|PB|=1<|AB|=2， 则动点P的轨迹不存在. 解析 10 椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点. (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离. 反 思 感 悟 11 下列说法中正确的是 A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆 跟踪训练 1 √ 由椭圆定义知，C正确. 解析 12 二 椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 问题2 提示　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=，|MF2|=， 所以+=2a. ① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边， 得=2a-. ② 对方程②两边平方，得 (x+c)2+y2=4a2 -4a+(x-c)2+y2， 整理，得a2-cx=a， ③ 对方程③两边平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， 整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， ④ 将方程④两边同除以a2(a2-c2)，得 +=1， ⑤ 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0， 所以a2-c2>0. 令b=， 那么方程⑤就是+=1(a>b>0). ⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 问题3 提示　+=1(a>b>0).   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _______________ ________________ 图形     焦点坐标 __________________ __________________ a，b，c的关系 ________ +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) b2=a2-c2 知识梳理 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上. 注 意 点 <<< 21 (课本例1)　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程. 例 2 22 由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2， 2a=+=2 所以a=. 所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以，所求椭圆的标准方程为+=1. 解 23 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 例 2 24 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 所以所求椭圆的标准方程为+x2=1. 解 25 (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点； 26 方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a=+=2， 即a=， 又c=2，所以b2=a2-c2=6， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 解 27 方法二　由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意知 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 解 28 (3)经过点P，Q. 29 方法一　(分类讨论法) ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； 解 30 ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 解 31 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 则 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1， 故椭圆的标准方程为+=1. 解 32 (1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 反 思 感 悟 33 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，-)，； 跟踪训练 2 34 方法一　(分类讨论法) ①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. ②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 解 35 由已知条件得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为+=1. 解 36 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 将两点(2，-代入， 得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 解 37 (2)过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点. 38 因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同， 所以其焦点在y轴上， 且c2=25-9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16，且c2=a2-b2， 所以a2-b2=16. ① 又点(，-)在椭圆上， 解 39 所以+=1， 即+=1. ② 由①②得b2=4，a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 解 40 椭圆的焦点三角形 三 已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 例 3 42 由已知得a=2，b=， 所以c===3， 从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4， 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 解 43 若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积. 延伸探究 44 由已知得a=2，b=， 所以c===3. 从而|F1F2|=2c=6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2， 即|PF2|2=|PF1|2+36， 又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4， 所以|PF2|=4-|PF1|. 解 45 从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36， 解得|PF1|=. 所以=·|PF1|·|F1F2|=××6=， 即△F1PF2的面积是. 解 46 椭圆焦点三角形的常用结论 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c. 反 思 感 悟 47 设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 跟踪训练 3 √ 48 ∵P为椭圆C：+=1上一点， |PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|+|PF2|=2a=14， ∴|PF1|=6，|PF2|=8. 又|F1F2|=2c=2=10，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形， =|PF1|·|PF2|=24. ∵△PF1F2的重心为点G， ∴=3，∴△GPF1的面积为8. 解析 49 1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆的焦点三角形. 2.方法归纳：分类讨论、待定系数法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.点P为椭圆+=1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|=3，则|PF2|等于 A.13 B.1 C.7 D.5 √ 由已知得a=4， |PF2|=2a-|PF1|=8-3=5. 解析 1 2 3 4 2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 √ 由已知得c=1，又由点P(2，0)在椭圆上， 可得a=2，则b2=3， ∴椭圆的方程为+=1. 解析 1 2 3 4 3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，+∞) B.(0，2) C.(1，+∞) D.(0，1) √ ∵方程x2+ky2=2， 即+=1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴>2，故0<k<1. 解析 1 2 3 4 4.已知点A，B是椭圆C：+=1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若|AF1|=2，则|BF1|等于 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 因为|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|， 所以四边形AF1BF2是平行四边形， 所以|BF1|=|AF2|. 由椭圆的定义得|AF2|=2×3-|AF1|=6-2=4， 所以|BF1|=4. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 AC A C C C A +=1 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 B CD 4+2 　B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4， ∴a=2，在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°，∴4c2=15， ∴c=b2=a2-c2=4-= 故椭圆C+4y2=1. (2=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+×(2-×=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-a2=5， 故椭圆M+y2=1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=+=2 所以a=因为c=2，所以b2=a2-c2=1. 故椭圆M+y2=1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，解得y0=±. +=1，=x0=± 所以点P有4 . 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2 ∴曲线C+=1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)， 由|PB|=3，=3， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 基础巩固 1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是 A.当a=2时，点P的轨迹不存在 B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确； 当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 解析 2.过点P和点Q的椭圆的标准方程是 A.+x2=1 B.+y2=1或+x2=1 C.+y2=1 D.以上都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得 所以此椭圆的标准方程为+x2=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若曲线C是椭圆，则有 解得a>0，且a≠2， 故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件. 解析 4.设P为椭圆+=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是 A.4 B.6 C.9 D.12 √ |PF1|+|PF2|=2a=6， |PF1|·|PF2|≤=9， 当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若椭圆+=1的焦距为2，则m的值为 A.5 B.5或8 C.5或3 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当椭圆+=1的焦点在x轴上时， 则有m-4=12，解得m=5； 当椭圆+=1的焦点在y轴上时， 则有4-m=12，解得m=3， 所以m的值为5或3. 解析 6.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|· |PF2|=12，则∠F1PF2的大小为 A.60° B.30° C.120° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2， ∴(|PF1|+|PF2|)2=64， ∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40， 在△F1PF2中， 由余弦定理得cos∠F1PF2==， ∵0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2=60°. 解析 7.已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|+|PF2| =2|F1F2|，则椭圆的标准方程为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知，可设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，椭圆经过点P(2，)， 则+=1(a>b>0)， (*) 又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|， 由椭圆定义得2a=4c，即a2=4c2， 因为a2-b2=c2，所以b2=3c2，代入(*)式 得c2=2，所以a2=8，b2=6， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解析 8.已知椭圆+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a， 由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2， 又∵△PF1F2的面积为2， ∴·|PF1|·|PF2|=2，则|PF1|·|PF2|=4， ∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4c2+8， 可得a2-c2=2=b2， 由+=1可得b2=a2-4，∴a2-4=2， 解得a=. 解析 9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=120°，|PF1|=2+，|PF2|=2-. (1)求椭圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2=15，∴c=，b2=a2-c2=4-=， 故椭圆C的方程为+4y2=1. 解 (2)求△PF1F2的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =|PF1||PF2|sin 120°=×(2+)×(2-)×=. 解 10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4+11b2-16=0， 故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5， 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)， 则2a=+=2， 所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1. 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 解 (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)， 则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1， 解得y0=±.又+=1， 所以=，x0=±， 所以点P有4个， 它们的坐标分别为. 解 11.已知椭圆C：+=1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足=+，则||等于 A.6 B.4 C. D.2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示， 由椭圆定义可知|PF|+|PF2|=2a=12，又|PF|=8，可得|PF2|=4. 易知=+=2， 所以||=2||， 又因为O为FF2的中点， 所以ON∥PF2，且|ON|=|PF2|=2， 可得||=4. 解析 12.(多选)已知P是椭圆E：+=1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是 A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a=2，b=2，c=2，F1(-2，0)，F2(2，0). 设P(m，n)， 则=·2c·|n|=3， 解得n=±，故A错误； 由+=1，解得m2=. 不妨设m>0，n>0，则P， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴|PF1|2=+=+2， |PF2|2=+=-2， ∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0， ∴cos∠F1PF2=>0， ∴∠F1PF2<，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 △F1PF2的周长=2a+2c=4(+1)，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则×4(+1)r=3， ∴r=，故D正确. 解析 13.如图，椭圆C：+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4+2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|=|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|=|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知， |PF1|+|PF2|=2(|PM|+|PN|)=4， 即2a=4，所以a=2，则c==， 于是△PF1F2的周长是2a+2c=4+2. 解析 14.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3. 则△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆+=1上， ∴|BC|+|AB|=2a=10， ∴由正弦定理可知===. 解析 15.已知F1是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是 A.9- B.6- C.3+ D.6+ 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，则F2(2，0)， 连接F2A并延长交椭圆于点P'，连接P'F1，PF2. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6， ∴|PF1|=6-|PF2|， ∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|). 当点P位于P'时，|PA|-|PF2|最小， 其值为-|AF2|=-， 此时|PA|+|PF1|的最小值为6-. 解析 16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求鱼群的洄游路线曲线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2， ∴曲线C的标准方程为+=1. 解 (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3， 得=3， ∴解得 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3). 解 第三章　§3.1　椭圆 <<< $