3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，通过类比直线与圆的方程研究方法导入，以问题链引导学生从图形直观过渡到代数证明，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合表格对比焦点位置梳理性质，通过例3两种方法求离心率等实例，培养学生用数学眼光观察图形、用数学思维推理证明的能力。小结归纳方法，帮助学生构建知识体系，教师可直接使用多样化练习提升教学效率。

椭圆的简单几何性质 第三章　3.1.2　第1课时 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点) 2.通过探究，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系. 3.通过对椭圆的几何性质的研究，初步学习利用曲线方程研究曲线性质的方法. 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 由椭圆的几何性质求标准方程 求椭圆的离心率 随堂演练 椭圆的简单几何性质 04 课时对点练 01 椭圆的简单几何性质 问题 1 提示　范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b). 观察椭圆+=1(a>b>0)的形状，你能 从图上看出它的范围吗？它具有怎样的 对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题 2 你能用椭圆方程(代数法)证明问题1中的椭圆的几何性质吗？ 提示　范围：因为=1-≥0，所以≤1，解得-a≤x≤a，同理得-b≤y ≤b. 对称性：在椭圆+=1(a>b>0)上任取一点P(x，y)， (1)点P关于x轴的对称点P'(x，-y)， +=+=1，则点P'在椭圆上，说明椭圆关于x轴对称； (2)点P关于y轴的对称点P″(-x，y)， +=+=1，则点P″在椭圆上，说明椭圆关于y轴对称； (3)点P关于原点的对称点P'″(-x，-y)， +=+=1，则点P'''在椭圆上，说明椭圆关于原点对称. 顶点：在椭圆的方程中，令y=0，得x=±a，因此A1(-a，0)，A2(a，0)是椭圆与x轴的两个交点； 令x=0，得y=±b，因此B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点. 问题 3 类比焦点在x轴上的椭圆的几何性质，你能得到焦点在y轴上的椭圆的几何性质吗？ 提示　范围：-b≤x≤b，-a≤y≤a； 对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0). 知识梳理 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 ___________________ ___________________ 顶点 ____________________________________________________ ____________________________________________________ 轴长 短轴长等于　　，长轴长等于____ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|=2 对称性 对称轴：　　　　　，对称中心：_____ A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0) 2b 2a x轴、y轴 原点 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c. 注意点 13 问题 4 扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察 图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平 程度不同，我们常用离心率e=来刻画椭 圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心 率e==减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e== 增大，椭圆越扁平. 14 知识梳理 椭圆的离心率：e= ∈(0，1). 15 (1)e=. (2)离心率的范围为(0，1). (3)e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 注意点 16 　(课本例4)求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 例1 把原方程化成标准方程，得+=1， 于是a=5，b=4，c==3. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e==，两个焦点坐标分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4). 解： 17 　求下列方程表示的椭圆的长轴长、短半轴长、焦点坐标以及离心率： (1)+=1； 例1 由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24， 因此长轴长2a=12，短半轴长b=2. 又因为c2=a2-b2=36-24=12，即c=2， 因此，椭圆的焦点坐标为(-2，0)，(2，0). 离心率e===. 解： 18 　求下列方程表示的椭圆的长轴长、短半轴长、焦点坐标以及离心率： (2)8x2+3y2=24. 例1 已知椭圆的方程可化为+=1， 由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上， 且a2=8，b2=3， 因此长轴长2a=4，短半轴长b=. 又因为c2=a2-b2=8-3=5，即c=， 因此，椭圆的焦点坐标为(0，-)，(0，). 离心率e===. 解： 19 用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反思感悟 20 　 已知椭圆C1：+=1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 跟踪训练1 由已知得，椭圆C2：+=1.几何性质如下： ①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10； ②对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点； ③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，-10)，长轴长为20，短轴端点为(-8，0)，(8，0)，短轴长为16； ④焦点：(0，6)，(0，-6)，焦距为12； ⑤离心率：e=. 解： 21 02 由椭圆的几何性质求标准方程 　分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； 例2 解： 依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b， 所以c=b=3， 所以a2=b2+c2=18， 故所求椭圆的标准方程为+=1. 23 　分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)过点(3，0)，离心率e=. 例2 解： 当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意，得a=3， 因为e=，所以c=，从而b2=a2-c2=3，所以椭圆的标准方程为+=1； 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意，得b=3， 24 　分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)过点(3，0)，离心率e=. 例2 解： 因为e=， 所以=， 把b=3代入，得a2=27， 所以椭圆的标准方程为+=1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. 25 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 反思感悟 26 　已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA=，则椭圆的标准方程 是　　　　　　　　　. 跟踪训练2 +=1或+=1 解析： 因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA=， 所以点A是短轴的端点. 所以|OF|=c，|AF|=a=3， 所以=，所以c=2，b2=32-22=5， 所以椭圆的标准方程是+=1或+=1. 27 03 求椭圆的离心率 设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为　　. 例3 解析： 方法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故 离心率e=====. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y= ±，所以|PF2|=. 又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=·，变形可得(a2-c2)= 2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去). 29 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1= 75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率. 延伸探究1 解： 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°， ∴∠F1PF2=60°， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则m+n=2a， 则在△PF1F2中，有==， ∴=， ∴e====. 30 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 延伸探究2 设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a， ∴mn≤=a2， 当且仅当m=n时取等号. 由余弦定理知cos∠F1PF2== ==-1≥-1， 当且仅当m=n时取等号，即P为短轴端点时，cos ∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大. 解： 31 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 延伸探究2 椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角， 只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角， 则c>b，∴c2>b2. 又b2=a2-c2， ∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=>， ∴e>，又0<e<1， ∴椭圆C的离心率的取值范围为. 解： 32 求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e=求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 反思感悟 33 课堂小结 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法). 3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与a的关系. 34 04 随堂演练 1 2 3 4 1.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ 解析： 由题意知c=3，=， 则a=6，∴b2=a2-c2=27， ∴椭圆的方程为+=1. 2.已知椭圆+=1的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|等于 A.2 B.3 C.4 D. √ 解析： 因为椭圆+=1的左顶点为A，上顶点为B，所以A(-2，0)，B(0，)，从而|AB|==. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ √ 1 2 3 4 解析： 由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1，所以a=，b=，c=， 所以长轴长2a=1， 焦距2c=，焦点坐标为， 离心率e==. 1 2 3 4 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 解析： 如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中， |OF2|=c，|BF2|=a， ∠OF2B=60°， ∴cos 60°==， 即椭圆的离心率e=. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A BC D ABD (2，4] 题号 9 11 12 13 15 16 答案 +=1 BCD C +y2=1 B 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|， 即b=c. 所以a=c，e==. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由=2， 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得x=，y=-. 代入+=1， 得+=1，即+=1，解得a2=3， 又c2=1，所以b2=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由题意得a=2，且2c=2，即c=1， ∴b2=a2-c2=3，b=， 故椭圆C的方程为+=1. (2)∵P为椭圆C：+=1上的一点， ∴|PF1|+|PF2|=2a=4， 平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16， ① 在△PF1F2中，由余弦定理， 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos=|F1F2|2， 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4， ② 由①-②，得3|PF1|·|PF2|=12，即|PF1|·|PF2|=4， ∴=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×4×=. (3)设P(m，n)，则+=1， ∴n2=3-，m∈. ∵F1(-1，0)，F2(1，0)， 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 =(-1-m，-n)，=(1-m，-n)， ·=(-1-m)(1-m)+n2=m2+n2-1=+2. ∵m∈，∴+2∈， ∴·的取值范围是. 14. 13 14 15 16 1.椭圆+=1的焦点坐标为 A.(-2，0)和(2，0) B.(0，-2)和(0，2) C.(-，0)和(，0) D.(0，-)和(0，) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 在椭圆+=1中，由9>5可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a=3，b=，则c==2，所以椭圆+=1的焦点坐标为(0，-2)和(0，2). 16 2.曲线+=1与+=1(0<k<9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 曲线+=1的焦距为2c=8，而曲线+=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 16 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=e1，则a等于 A. B. C. D. √ 解析： 由e2=e1，得=3， 因此=3×， 而a>1，所以a=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上，则此椭圆的焦点坐标是 A.(±，0) B.(0，±) C.(±，0) D.(0，±) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 在x+2y=2中，由y=0得x=2，由x=0得y=1，则该直线交x轴于点(2，0)， 交y轴于点(0，1)， 依题意得a=2，b=1，则c==， 显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0). 16 5.(多选)椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上的任意一点，则 A.椭圆C的长轴长为3 B.椭圆C的离心率为 C.|PF1|的最大值为5 D.存在点P，使得PF1⊥PF2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 椭圆C：+=1的长半轴长a=3， 短半轴长b=，半焦距c==2， 对于A，椭圆C的长轴长为2a=6，A错误； 对于B，椭圆C的离心率为=，B正确； 对于C，|PF1|max=a+c=5，C正确； 对于D，c<b，以线段F1F2为直径的圆在椭圆C内，因此不存在点P，使得PF1⊥PF2，D错误. 16 6.如图，椭圆+y2=1(a>1)与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥ OP，则椭圆的焦距为 A. B.2 C.1 D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由题意知，F1(-c，0)，A(a，0)，B(0，1)，则点P，所以直线AB的斜率kAB=-，直线OP的斜率kOP==-. 由AB∥OP，得kAB=kOP，所以-=-，则c=1，所以椭圆的焦距为2c=2. 13 14 15 16 7.(多选)如图，神舟飞船的返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有 A.椭圆的长轴长为4 B.线段AB长度的取值范围是[2，2+] C.△ABF面积的最小值是3 D.△AFG的周长为4+2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意，得椭圆中b=c=，则a==2，故椭圆的长轴长为4，故A正确； |AB|=|OA|+|OB|=|OA|+，且≤|OA|≤2，故|AB|的取值范围是[2，2+]，故B正确； 令∠AOF=θ，则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA|·|OF|sin θ+|OB|·|OF|sin(π-θ)= +|OA|)sin θ，若θ=，此时|OA|<2，则S△ABF=+|OA|)<<3， 故C错误； 由椭圆的定义知|AF|+|AG|=2a=4，故△AFG的周长为|FG|+4=2+4，故D正确. 16 8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为 　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2，4] 解析： ∵e=，b=1，0<e≤， ∴≤，则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 16 9.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”. 若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为 　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 +=1 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 椭圆E的离心率为e==， 设椭圆F的标准方程为+=1(a>b>0)， 则a==2， ∴椭圆F的半焦距c=1，b2=a2-c2=3， 即椭圆F的标准方程为+=1. 10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若∠F1AB=90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|=|OF2|， 即b=c. 所以a=c，e==. 解： 13 14 15 16 10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由=2， 解得x=，y=-. 代入+=1， 解： 13 14 15 16 10.如图，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得+=1，即+=1，解得a2=3， 又c2=1，所以b2=2， 所以椭圆的标准方程为+=1. 解： 13 14 15 16 11.(多选)已知F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点，A，B为该椭圆的两个顶点，若|AF|=3，|BF|=5，则满足条件的椭圆方程可能为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ √ √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 当A，B为左、右两个顶点时，可得解得a=4，c=1， 所以b2=a2-c2=15，此时椭圆的方程为+=1； 当A为椭圆短轴的端点，B为长轴的端点时，可得 解得a=3，c=2，则b2=a2-c2=5，此时椭圆的方程为+=1； 当A为椭圆长轴的端点，B为短轴的端点时，可得 解得a=5，c=2，则b2=a2-c2=21，此时椭圆的方程为+=1. 16 12.椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|= 5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意可知|PF1|+|PF2|=2a， |PF1|=5|PF2|， 则|PF1|=，|PF2|=， ∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 16 13.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，已知点P 到椭圆上一点的距离的最大值是，则椭圆的标准方程为　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 +y2=1 16 解析： 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，则e2===1-=，所以=， 即a=2b. 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2=x2+=a2+y2-3y+=-3+4b2+3(-b≤y≤b). 若-b>-，即0<b<，则当y=-b时，d2有最大值，从而d有最大值，则()2 =，解得b=±-，与0<b<矛盾； 若-b≤-，即b≥，则当y=-时，d2有最大值，从而d有最大值，则4b2+3 =()2，解得b2=1，所以a2=4，故所求椭圆的标准方程为+y2=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2， 点A(2，0)在C上，P为椭圆C的一个动点. (1)求C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得a=2，且2c=2，即c=1， ∴b2=a2-c2=3，b=， 故椭圆C的方程为+=1. 解： 16 14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2， 点A(2，0)在C上，P为椭圆C的一个动点. (2)当∠F1PF2=时，求△PF1F2的面积； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 ∵P为椭圆C：+=1上的一点， ∴|PF1|+|PF2|=2a=4， 平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16， ① 在△PF1F2中，由余弦定理， 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos=|F1F2|2， 14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2， 点A(2，0)在C上，P为椭圆C的一个动点. (2)当∠F1PF2=时，求△PF1F2的面积； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 16 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4， ② 由①-②，得3|PF1|·|PF2|=12，即|PF1|·|PF2|=4， ∴=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×4×=. 14.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2， 点A(2，0)在C上，P为椭圆C的一个动点. (3)求·的取值范围. 解： 设P(m，n)，则+=1， ∴n2=3-，m∈. ∵F1(-1，0)，F2(1，0)，=(-1-m，-n)，=(1-m，-n)， ·=(-1-m)(1-m)+n2=m2+n2-1=+2. ∵m∈，∴+2∈， ∴·的取值范围是. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|.若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为 　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 设|F1B|=k，k>0，则|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆的定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0， 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a，所以椭圆E的离心率e==. 16 16.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得=，则椭圆离心率的取值范围是 A.[-1，1) B.(-1，1) C.(0，-1) D.(0，-1] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由=，得===，得|PF1|=， 又|PF1|∈(a-c，a+c)，则a-c<<a+c， ∴a2-c2<2ac<(a+c)2，即e2+2e-1>0， 又e∈(0，1)，∴e的取值范围为(-1，1). 16 THANKS 本课结束 $