第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角、定义、性质、运算律、投影向量及垂直判断、距离计算、异面直线所成角等核心内容。通过平面向量数量积迁移导入，利用空间向量可平移至同一平面的特性，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）为核心，结合正四面体、平行六面体等实例推导性质，通过例题变式、延伸探究及反思感悟强化逻辑推理。采用分类表格梳理知识、随堂演练巩固应用，小结系统清晰，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供结构化、可操作性强的教学资源。

1.1.2 空间向量的数量积运算 第一章　§1.1　空间向量及其运算 <<< 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点). 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角(难点). 学习目标 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 导 语 一、空间向量的数量积运算 二、空间向量数量积的性质 课时对点练 随堂演练 内容索引 空间向量的数量积运算 一 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 _______________ 向量垂直 如果〈a，b〉= 那么向量a，b互相垂直，记作______ ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π a⊥b 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉； ②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 注 意 点 <<< 7 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a= . (2)运算律 |a||b|cos〈a，b〉 0 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ，λ∈R 交换律 a·b=____ 分配律 (a+b)·c=_______ λ(a·b) b·a a·c+b·c 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c，c= 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). |a|cos〈a，b〉 (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·c b=c，(a·b)·c≠a·(b·c). 注 意 点 <<< 11 　已知空间向量|a|=|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-则a在b上的投影向量为 A.-b B.b C.b D.-b √ 例 1 a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·×· =-·=-b. 解析 12 的夹角等于 A.30° B.60° C.150° D.120° 　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1. 延伸探究 1 例 2 √ 〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°. 解析 13 　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·； 延伸探究 2 ·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 60°=. 解 14 ②·； ·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 0°=. 解 15 ③·； ·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 120°=-. 解 16 ④·. ·+)·+) =·(-)+·(-)+·+·] =[-·-·+(-)·+·] =×=-. 解 17 记=a=b=c.若=2a-2b =b-c，则· =　　　.  延伸探究 3 由题意得a·b=· =||||cos∠BAC=1×1×cos 60°= 同理b·c=c·a= 所以·=(2a-2b)·(b-c) =2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1. 解析 -1 18 (1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. (2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反 思 感 悟 19 二 空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a= .  (2)a⊥b⇔ . (3)当a，b同向时，a·b=_______； 当a，b反向时，a·b= . (4)a·a= 或|a|= . (5)|a·b|≤ . (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. cos θ a·b=0 - |a|2 (课本例2)　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'= ∠DAA'=45°.求： (1)·； ·=||||cos〈〉=5×3×cos 60°=7.5. 解 例 3 22 (2)AC'的长(精确到0.1). ||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·) =52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°) =98+56 所以AC'≈13.3. 解 23 (课本例3)　如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 例 3 24 如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g. 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)， 使g=xm+yn. 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n. 因为l·m=0，l·n=0，所以l·g=0. 所以l⊥g. 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α. 证明 25 如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a=b=c. 例 3 26 　|a-b+2c|等于 A.5 B.6 C. D. 延伸探究 4 √ 27 由题意，得a·b=b·c=a·c=a2=b2=c2=1， 所以|a-b+2c|= = =. 解析 28 若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 延伸探究 5 29 +++(-)+-)=a+(b-a)+(c-b) =-a+b+c， 所以a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c= 所以||=即E，G间的距离为. 解 30 在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 延伸探究 6 31 由延伸探究5知=-a+b+c，||= 又-=c-a， 所以·(-a+b+c)·(c-a) =(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c) =× 又||=1，则cos〈·〉=. 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为. 解 32 证明：异面直线AB与CD 垂直. 延伸探究 7 -=c-b， ·=a·(c-b)=a·c-a·b =-=0， 所以⊥所以AB⊥CD. 证明 33 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 A.与 B.与 C.与 D.与 √ √ 1 2 3 4 2.已知向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，则m·n的值为 A.7 B.-20 C.28 D.11 √ 因为向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直， 所以|i|=| j|=|k|=1且i· j= j·k=i·k=0. 因为m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k， 所以m·n=(8 j+3k)·(-i+5 j-4k) =40| j|2-12|k|2=40-12=28. 解析 1 2 3 4 3.若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c=a-b，则向量a与c的夹角为 A.0 B. C. D. √ ∵a·c=a·=a·a-a·b=a·a-a·a=0， ∴a⊥c，向量a与c的夹角为. 解析 1 2 3 4 4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为则=　 　. . 解析 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C BC B ABC 22 60° 题号 11 12 13 14 　15 答案 D ABD [0，1] 　D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设=a=b=c， 则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0. (1·=·+ =· =b·=|b|2=42=16. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2· =+·+ =·+ =·(a+c) =|c|2-|a|2=22-22=0. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3· =+·+ =· =· =-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵=+ ∴·=+· =·+·=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0. ∴⊥∴BD⊥PC. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵+=++ ∴|+|2=||2+||2++2·+2·+2· =a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2， ∴|+|=a. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)=a=b=c. 依题意有|a|=|b|， =-=a-b. θ， ·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0，∴CC1⊥BD. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若A1C⊥平面C1BD， 则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. ·=+·-=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴=1时，A1C⊥平面C1BD. 基础巩固 1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于 A.12 B.8+ C.4 D.13 √ (2a-b)·a=2a2-b·a =2|a|2-|a||b|·cos 120° =2×4-2×5×=13. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-则两直线的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设向量a，b的夹角为θ， 则cos θ==-所以θ=120°， 则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°. 解析 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于 A.-1 B.-1 C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，因为-+ 所以||2=|-+|2 =||2+||2+||2-·-2·+2· =1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60° =3-所以||=. 解析 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 A.2· B.2· C.2· D.2· √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误； 对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确； 对于C，2··=a2，C正确； 对于D，2··=-·=-a2，D错误. 解析 5.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，则在上的投影向量为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中， 因为∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD， 所以··=0， 又++ 则·=(++)·=||2， 所以上的投影向量为··. 解析 6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是 A.(++)2=3 B.·=0 C.与的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·||| √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方体的棱长为a， A选项，(++)2 =+++2(·+·+·) =3a2=3A选项正确； B选项·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C选项，由于△AB1D1是等边三角形， 所以的夹角为60°，C选项正确； D选项，|·|||=0，所以D选项错误. 解析 7.已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|=　　　.  |a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242， ∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2 =530-46=484，故|a-b|=22. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 8.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=　　　.  由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0， (a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2， 所以a·b=|b|2， 代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|， 所以cos〈a，b〉= 所以〈a，b〉=60°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60° 9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设=a=b=c， 则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0. ··(+)=· =b·=|b|2=42=16. 解 (2)·； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·=(+)·(+) =·(+) =·(a+c) =|c|2-|a|2=22-22=0. 解 (3)·. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·=(+)·(+) =· =· =(-a+b+c)· =-|a|2+|b|2=2. 解 10.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵+ ∴·=(+)·=·+· =||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0. ∴⊥∴BD⊥PC. 证明 (2)求|+|的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵+++ ∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2· =a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2， ∴|+|=a. 解 11.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a与b的夹角为θ， 由a+b+c=0，得a+b=-c， 两边平方，得a2+2a·b+b2=c2， 因为|a|=2，|b|=3，|c|=4， 所以4+2×2×3cos θ+9=16， 解得cos θ= 即A，B，C选项均不符合cos θ=. 解析 12.(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，且两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF=2，则 A.截面BDD1B1的面积为9 B.·=11 C.的夹角是60° D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形BDD1B1中·=(-)··-·-=0， 所以⊥菱形BDD1B1为正方形，故面积为DB·BB1=3×3=9，A正确； 解析 易知平面AEC1F与侧面的交线AE，C1F平行，AF，EC1平行，则四边形AEC1F是平行四边形， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·=(+)·(+)=· =·+·+·+ =+×+×+×9=11，B正确； 因为AC=3 所以·=(+)··+·+=9， 所以cos〈〉= 故的夹角不是60°，C不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上知 所以平行六面体的高为||= 则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 3×3××D正确. 解析 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2， OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA，OB，OC两两垂直， ∴···=0，且 故·(++)=++)2=(||2+||2+||2) =×(1+4+9)=. 解析 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则·的取值范围是　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设=λ其中λ∈[0，1]， ··(+)=·(+λ)=+λ· =1+λ×1××=1-λ∈[0，1]. 因此·的取值范围是[0，1]. 解析 [0，1] 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ··(+) =+· ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥ ∴·=0，∴·=||2=1， 则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1. 解析 16.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD； 设=a=b=c.依题意有|a|=|b|， -=a-b. 设两两夹角均为θ， 于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0， ∴CC1⊥BD. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 解 第一章　§1.1　空间向量及其运算 <<< $