1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖概念、运算律、性质及夹角、长度、垂直问题的应用。通过平面向量数量积迁移导入，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是结合正四面体、平行六面体实例，用数学眼光抽象空间向量关系，通过线面垂直证明等培养数学思维，以数量积公式和投影向量体现数学语言。随堂与课时练习助力学生巩固，教师可借分层设计提升教学效率。

空间向量的数量积运算 第一章　1.1.2 学习目标 1.理解和掌握空间向量数量积的概念及运算律.(重点) 2.初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，掌握用数量积处理空间中夹角、长度、线面垂直问题的方法.(难点) 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 导语 3 内容索引 01 02 空间向量数量积的性质 空间向量的数量积运算 04 随堂演练 03 课时对点练 01 空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围： . (3)向量垂直：如果〈a，b〉= ，那么向量a，b互相垂直，记作 . 知识梳理 ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π a⊥b 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉； ②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 注意点 7 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a= . (2)运算律 ①(λa)·b= ，λ∈R. ②交换律：a·b= . ③分配律：(a+b)·c= . |a||b|cos〈a，b〉 0 λ(a·b) b·a a·c+b·c 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c，c= ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). |a|cos〈a，b〉 (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)对任意向量a，b，c，由a·b=a·c不一定推出b=c，另外(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等. 注意点 11 　已知空间向量|a|=，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-，则a 在b上的投影向量为 A.-b B.b C.b D.-b 例1 √ 解析： a在b上的投影向量为 |a|cos〈a，b〉·=×· =-·=-b. 12 　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1. 例2 13 　　　　　与的夹角等于 A.30° B.60° C.150° D.120° 延伸探究1 解析： 〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°. √ 14 　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·； 延伸探究2 解： ·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 60°=. 15 　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ②·； 延伸探究2 解： ·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 0°=. 16 　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ③·； 延伸探究2 解： ·=· =||||cos〈，〉 =×1×1×cos 120°=-. 17 　　　　　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ④·. 延伸探究2 解： ·=+)·+) =·(-)+·(-)+·+·] =[-·-·+(-)·+·] =×=-. 18 　　　　　记=a，=b，=c.若=2a-2b，=b-c，则·=　　　. 延伸探究3 -1 解析： 由题意得a·b=· =||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=， 同理b·c=c·a=， 所以·=(2a-2b)·(b-c) =2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1. 19 (1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. (2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反思感悟 20 02 空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a= . (2)a⊥b⇔ . (3)当a，b同向时，a·b= ； 当a，b反向时，a·b= . (4)a·a= 或|a|= . (5)|a·b|≤ . (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. cos θ a·b=0 - |a|2 　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： ①·； 例3 解： ·=||||cos〈，〉=5×3×cos 60°=7.5. 23 　(1)(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： ②AC'的长(精确到0.1). 例3 解： ||2=(++)2 =||2+||2+||2+2(·+·+·) =52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56， 所以AC'≈13.3. 24 　(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 例3 证明： 如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m， n，g上取非零向量l，m，n，g. 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面 的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn. 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 l·g=xl·m+yl·n. 25 　(2)(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 例3 证明： 因为l·m=0，l·n=0， 所以l·g=0. 所以l⊥g. 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α. 26 如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c. 例3 27 |a-b+2c|等于 A.5 B.6 C. D. 延伸探究1 解析： 由题意，得a·b=b·c=a·c=， a2=b2=c2=1， 所以|a-b+2c|= = ==. √ 28 若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 延伸探究2 解： =++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b) =-a+b+c， 所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=， 所以||=，即E，G间的距离为. 29 在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 延伸探究3 解： 由延伸探究2知，=-a+b+c， ||=， 又=-=c-a， 所以·=(-a+b+c)·(c-a) 30 在延伸探究2的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 延伸探究3 解： =(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c) =×=， 又||=1，则cos〈·〉===. 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为. 31 证明：异面直线AB与CD垂直. 延伸探究4 证明： =-=c-b， ·=a·(c-b)=a·c-a·b =-=0， 所以⊥，所以AB⊥CD. 32 课堂小结 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 33 03 随堂演练 1 2 3 4 1.(多选)对任意的空间向量a，b，c，下列说法正确的是 A.若a⊥b，b⊥c，则a∥c B.(a·b)c=a(b·c) C.a·(b+c)=a·b+a·c D.λa·b=λ(a·b) √ 1 2 3 4 解析： 选项A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定平行，如在正方 体ABCD-A1B1C1D1中，满足⊥，⊥，此时 ⊥，故A说法错误； 选项B，(a·b)c表示与c共线的向量，a(b·c)表示与a共线 的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等，故B说法错误； 选项C，向量的数量积满足乘法分配律，所以a·(b+c)=a·b+a·c，故C说法正确； 选项D，由数量积运算的数乘结合律可得λa·b=λ(a·b)，故D说法正确. 2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为 A.7 B.-20 C.28 D.11 √ 解析： 因为向量i，j，k是一组单位向量， 且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0. 因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k， 所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k) =40|j|2-12|k|2=40-12=28. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.在正三棱锥P-ABC中，·=||||，E，F分别是PA，PB的中点，则〈，〉等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 解析： 由·=||||cos〈，〉=||||， 所以cos〈，〉=，由于〈，〉∈，所以〈，〉=， 在正三棱锥中，PA=PB，则△PAB是等边三角形， E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB， 所以∠PFE=，所以〈，〉=π-=. 1 2 3 4 4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则=　　. 解析： === =. 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C BC A D ABC 题号 9 11 12 13 15 16 答案 A ACD C B 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2， =b-a，=c，·=(b-a)·c=b·c-a·c=0， ∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形， ∴四边形BCC1B1的面积为4. (2)如图，连接AG，AH，由(1)得=b， =-=(+)-+)=-(b+a)=c-a， 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴||===，||=2， ∴·=b·=b·c-b·a=1， 设直线A1C1与GH所成的角为θ， 则cos θ=|cos〈，〉|===， ∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明　设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|， =-=a-b. 设，，两两夹角均为θ， 于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0， ∴CC1⊥BD. (2)解　若A1C⊥平面C1BD， 则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 14. 13 14 15 16 1.已知|a|=2，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为 A.e B.e C.-e D.-e √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由投影向量公式得空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos〈a，e〉e= 2×cose=-e. 16 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D为A1B的中点，则·等于 A.-1 B.- C. D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 因为D为A1B的中点，故=+， 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AC，故·=0， 于是·=·+·=||||cos∠BAC=×2× 2×=1. 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于 A.-1 B.-1 C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，因为=-+， 所以||2=|-+|2=||2+||2+||2 -·-2·+2· =1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=. 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 A.2· B.2· C.2· D.2· √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析： 对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误； 对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确； 对于C，2·=·=a2，C正确； 对于D，2·=·=-·=-a2，D错误. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，则·等于 A.1 B.2 C.-1 D.-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥ AA1，=+，又M为棱CC1上任意一点，则 =λ=λ，0≤λ≤1， ∴·=(+)·=(++λ)·=0++0=1. 6.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设a与b的夹角为θ， 由a+b+c=0，得a+b=-c， 两边平方，得a2+2a·b+b2=c2， 因为|a|=2，|b|=3，|c|=4， 所以4+2×2×3cos θ+9=16， 解得cos θ=， 即A，B，C选项均不满足cos θ=. 13 14 15 16 7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是 A.(++)2=3 B.·=0 C.与的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·||| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设正方体的棱长为a， A选项，(++)2=+++2(·+· +·)=3a2=3，A选项正确； B选项，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的 夹角为60°，C选项正确； D选项，|·|||=0，所以D选项错误. 8.已知向量a，b满足=1，=2，且(b-2a)⊥b，则=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为(b-2a)⊥b， 所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b， 又因为=1，=2， 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4， 从而=. 16 9.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=，M为线段BC 的中点，则线段A1M的长度为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 连接AM，因为=-=+-， 所以=+++·-·-·， 又三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为1，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=， 所以=++1+cos-cos-cos=，则=. 10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点. (1)求四边形BCC1B1的面积； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=2，a·b=a·c=c·b=2， =b-a，=c， ·=(b-a)·c=b·c-a·c=0， ∴⊥，∴四边形BCC1B1是边长为2的正方形， ∴四边形BCC1B1的面积为4. 解： 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点. (2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值. 解： 如图，连接AG，AH，由(1)得=b， =-=(+)-+)=-(b+a)=c-a， ∴||===， ||=2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，所有棱长都为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G，H分别是BC，A1C1的中点. (2)求直线A1C1与GH所成角的余弦值. 解： ∴·=b·=b·c-b·a=1， 设直线A1C1与GH所成的角为θ， 则cos θ=|cos〈，〉|===， ∴直线A1C1与GH所成角的余弦值为. 11.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且在方向上的投影向量为μ，则μ的值为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题知，在方向上的投影向量为··， 又·=-+)·+) =-+)·(-+-) =-+)·(-2+) =-(-2·+·-2+·)=-×(-2×1×1×cos 60°+1×1× cos 60°-2×1+1×1×cos 60°)=， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 且= ==， 所以··=·=，所以μ=. 16 12.(多选)如图，在四面体ABCD中，设=a，=b，=c，下列条件能证明⊥的是 A.a·b=a·c B.||=||，||=||，||=|| C.||=||，||=|| D.·=0，·=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 因为=-=c-b， 要证⊥，即证·=a·(c-b)=a·c-a·b=0. 对于A选项，由a·b=a·c，则a·c-a·b=0，所以⊥成立，故A正确； 对于B选项，将四面体ABCD放入长方体中，使||与||，||与||，||与||分别为相对面的对角线长， 显然AB与CD不一定垂直，如图，当长方体的底面不为 正方形时，AB与CD不垂直，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 对于C选项，因为||=||，||=||， 即|b|=|b-a|和|c|=|c-a|，平方得b2=a2-2a·b+b2，c2=a2-2a·c+c2， 即|a|2=2a·b和|a|2=2a·c， 所以a·b=a·c，结合A选项分析，故C正确； 对于D选项，由·=0得·-·=0，即b·c=a·b， ① 由·=0得·-·=0，即b·c=a·c， ② 由①②得a·b=a·c，所以结合A选项分析，故D正确. 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC =3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： ∵OA，OB，OC两两垂直， ∴·=·=·=0， 且=，故·(++)=++)2 =(||2+||2+||2) =×(1+4+9)=. 14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明： 设=a，=b，=c.依题意有|a|=|b|， =-=a-b. 设，，两两夹角均为θ， 于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0， ∴CC1⊥BD. 14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若A1C⊥平面C1BD， 则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 由·=(+)·(-) =(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 解： 14.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 解： 15.已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表面上运动，则·的最小值为 A.0 B.-9 C.-18 D.-36 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 如图，EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，也是正方 体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球的半 径为=3，设外接球球心为O，则=-， 则·=(+)·(+)=(+)·(-) =||2-||2=||2-=||2-27， 由于点M在正方体表面上运动，故||的最小值为球心O与正方体表面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为=3，所以·的最小值为32-27=-18. 16.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB=3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE=EM=MB，AN=NF= FC，AP=PG=GD，平面EFG∩平面MNP=O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，则·等于 A.4 B.2 C.3 D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 连接EN，MF(图略)， ∵AE=EM，AN=NF， ∴EN∥MF且EN=MF， ∴=， ∴=+=+=+-)=+， 同理可得=+. 由点O为线段O1O2上的一个动点(不包括端点)，可设=x+(1-x) 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： =x+(1-x) =++(0<x<1)， 又||=1，⊥，⊥， ∴·=·+·+·=×1×3=2. 16 THANKS 本课结束 $