专题05 充分条件与必要条件（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题05 充分条件与必要条件 （题型突破·举一反三） ▌题型01 定义法判断充分性与必要性 【典例1】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 【变式1-1】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 【变式1-2】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1-3】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. ▌题型02 集合法判断充分性与必要性 【典例2】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 而，所以命题不一定推出命题，命题可推出命题， 所以p是的必要不充分条件．故选C. 【变式2-1】B 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由，解得，即， 又因为，所以，是的必要不充分条件． 故选：B． 【变式2-2】C 【详解】由等价于，从而，故选C. 【变式2-3】C 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C ▌题型03 递推法判断充分性与必要性 【典例3】 【分析】利用箭头画出示意图，再作判断. 【详解】由题意画出网络示意图. 由图可知： (1)qs，srq，所以s是q的充要条件． (2)rq，qsr，所以r是q的充要条件． (3)qsrp，所以p是q的必要条件． 【变式3-1】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式3-2】AB 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 【变式3-3】BD 【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误. 【详解】由题意知， 所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故BD正确. 故选：BD ▌题型04 充要条件的证明 【典例4】 【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 证法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0. 【变式4-1】 【证明】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【变式4-2】 【证明】如果， 那么， 所以， 所以， 所以，，， 所以. 如果，那么， 所以，即， 所以. 综上，“”是“”的充要条件. 【变式4-3】 【分析】先由高相等，再由同一个三角形的面积相等得到证明充分性；再由和同一个三角形的面积相等得到证明必要性； 【证明】充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． ▌题型05 充分性、必要性的探求 【典例5-1】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 【典例5-2】D 【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】可以推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件，D选项正确； “”是的充要条件，A选项错误； “”可以推出，“”是的充分条件，B选项错误； “”不可以推出，“”不是的必要条件，C选项错误； 故选：D. 【变式5-1】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 【变式5-2】B 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“任意恒成立”为真命题， 则，其中. 显然当时，取得最大值4，可得， 所以各选项中只有是的真子集，故选B. 【变式5-3】A 【分析】探究“题干”的一个必要不充分条件，即找一个“选项”，使“题干”能推出“选项”，但“选项”不能推出“题干”. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【典例6】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 【变式6-1】A 【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和， 所以，解得，故. 故选：A. 【变式6-2】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【变式6-3】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. ▌题型07 由充分条件、必要条件求参数的取值范围 【典例7】(1) ;(2) 【分析】(1)先解集合，由题可得，再列不等式求解； (2) 由题可知是的真子集，再列不等式求解即可． 【详解】(1)由，得，所以， 由是的必要条件，知， 则，所以, 所以当时，是的必要条件， 即所求m的取值范围是． (2)由已知可得，因为是的必要不充分条件， 所以S是P的必要不充分条件，所以⇒，且不能推出, 所以是的真子集， 所以，或， 所以，即m的取值范围是． 【变式7-1】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-2】/ 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【变式7-3】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. ▌题型08 充分、必要条件与集合的交汇 【典例8】 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式8-1】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【变式8-2】 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 【变式8-3】 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，，， 令，可得，解得或， 令，解得，， 则或，， 若，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，或，， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 充分条件与必要条件 （题型突破·举一反三） 题型01 定义法判断充分性与必要性 1 题型02 集合法判断充分性与必要性 3 题型03 递推法判断充分性与必要性 4 题型04 充要条件的证明 6 题型05 充分性、必要性的探求 8 题型06 充要条件的探求 10 题型07 由充分条件、必要条件求参数的取值范围 12 题型08 充分、必要条件与集合的交汇 14 ▌题型01 定义法判断充分性与必要性 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注意】“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．利用定义判断充分性与必要性： (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 【变式1-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 【变式1-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1-3】(2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. ▌题型02 集合法判断充分性与必要性 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 【典例2】（2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 而，所以命题不一定推出命题，命题可推出命题， 所以p是的必要不充分条件．故选C. 【变式2-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由，解得，即， 又因为，所以，是的必要不充分条件． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高三上·天津河北·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由等价于，从而，故选C. 【变式2-3】（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C ▌题型03 递推法判断充分性与必要性 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．这种方法叫做递推法. 利用递推法判断充分性与必要性时，可通过画图直观得出各条件之间的依存关系. 【典例3】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件 【分析】利用箭头画出示意图，再作判断. 【详解】由题意画出网络示意图. 由图可知： (1)qs，srq，所以s是q的充要条件． (2)rq，qsr，所以r是q的充要条件． (3)qsrp，所以p是q的必要条件． 【变式3-1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式3-2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 【变式3-3】（多选）p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误. 【详解】由题意知， 所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故BD正确. 故选：BD ▌题型04 充要条件的证明 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注意】“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 2．充要条件的证明 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【典例4】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 证法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0. 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【证明】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【变式4-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）设，证明：“”是“”的充要条件． 【证明】如果， 那么， 所以， 所以， 所以，，， 所以. 如果，那么， 所以，即， 所以. 综上，“”是“”的充要条件. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【分析】先由高相等，再由同一个三角形的面积相等得到证明充分性；再由和同一个三角形的面积相等得到证明必要性； 【证明】充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． ▌题型05 充分性、必要性的探求 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 【典例5-1】（多选）（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 【典例5-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】可以推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件，D选项正确； “”是的充要条件，A选项错误； “”可以推出，“”是的充分条件，B选项错误； “”不可以推出，“”不是的必要条件，C选项错误； 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 【变式5-2】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）命题“任意恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“任意恒成立”为真命题， 则，其中. 显然当时，取得最大值4，可得， 所以各选项中只有是的真子集，故选B. 【变式5-3】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探究“题干”的一个必要不充分条件，即找一个“选项”，使“题干”能推出“选项”，但“选项”不能推出“题干”. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. ▌题型06 充要条件的探求 探求充要条件的两种方法: (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【典例6】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）方程至少有一个负实根的充要条件是________． 【答案】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和， 所以，解得，故. 故选：A. 【变式6-2】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【变式6-3】设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. ▌题型07 由充分条件、必要条件求参数的取值范围 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）(1)已知，非空集合．若是的必要条件，则m的取值范围是________. (2)在(1)的条件下，若把“是的必要条件”改为“是的必要不充分条件，”则m的取值范围是________. 【答案】(1) ;(2) 【分析】(1)先解集合，由题可得，再列不等式求解； (2) 由题可知是的真子集，再列不等式求解即可． 【详解】(1)由，得，所以， 由是的必要条件，知， 则，所以, 所以当时，是的必要条件， 即所求m的取值范围是． (2)由已知可得，因为是的必要不充分条件， 所以S是P的必要不充分条件，所以⇒，且不能推出, 所以是的真子集， 所以，或， 所以，即m的取值范围是． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. ▌题型08 充分、必要条件与集合的交汇 充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解. 【典例8】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式8-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【变式8-2】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 【变式8-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，，， 令，可得，解得或， 令，解得，， 则或，， 若，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，或，， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 充分条件与必要条件 （题型突破·举一反三） 题型01 定义法判断充分性与必要性 1 题型02 集合法判断充分性与必要性 3 题型03 递推法判断充分性与必要性 4 题型04 充要条件的证明 5 题型05 充分性、必要性的探求 6 题型06 充要条件的探求 7 题型07 由充分条件、必要条件求参数的取值范围 9 题型08 充分、必要条件与集合的交汇 10 ▌题型01 定义法判断充分性与必要性 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的______条件 q是p的_____条件 P____q的充分条件 q____p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的____命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为_____． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注意】“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．利用定义判断充分性与必要性： (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的 条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的 条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的________条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的________条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 【变式1-1】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】(2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型02 集合法判断充分性与必要性 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的 ． (2)若B ⊆A，则p是q的 ． (3)若A＝B，则p是q的 ． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的 . (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的 ． (6)若AB且BA，则p是q的 . 【典例2】（2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 而，所以命题不一定推出命题，命题可推出命题， 所以p是的必要不充分条件．故选C. 【变式2-1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（25-26高三上·天津河北·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（25-26高一上·河南安阳·期中）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型03 递推法判断充分性与必要性 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系．这种方法叫做递推法. 利用递推法判断充分性与必要性时，可通过画图直观得出各条件之间的依存关系. 【典例3】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件 【分析】利用箭头画出示意图，再作判断. 【解析】由题意画出网络示意图. 由图可知： (1)qs，srq，所以s是q的充要条件． (2)rq，qsr，所以r是q的充要条件． (3)qsrp，所以p是q的必要条件． 【变式3-1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式3-2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【变式3-3】（多选）p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 ▌题型04 充要条件的证明 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的 命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为 ． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注意】“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 2．充要条件的证明 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【典例4】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 证法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0. 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式4-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）设，证明：“”是“”的充要条件． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． ▌题型05 充分性、必要性的探求 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 【典例5-1】（多选）（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 【典例5-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可. 【详解】可以推出，不能推出， 所以是的必要不充分条件，D选项正确； “”是的充要条件，A选项错误； “”可以推出，“”是的充分条件，B选项错误； “”不可以推出，“”不是的必要条件，C选项错误； 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【变式5-2】（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）命题“任意恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 充要条件的探求 探求充要条件的两种方法: (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【典例6】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）方程至少有一个负实根的充要条件是________． 【答案】a≤1 【分析】先对二次项系数a是否为0讨论，再利用根与系数的关系对方程有一个或两个负根进行讨论解出a的范围. 【详解】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】根的分布一般指由一元二次方程实根的分布情况求参数的范围问题，一般解决的方法有两种： （1）利用根与系数的关系列不等式组，可解； （2）根据零点存在定理，借助于函数的图像列不等式组，可解. 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 ▌题型07 由充分条件、必要条件求参数的取值范围 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【典例7】（25-26高三·全国·一轮复习）(1)已知，非空集合．若是的必要条件，则m的取值范围是________. (2)在(1)的条件下，若把“是的必要条件”改为“是的必要不充分条件，”则m的取值范围是________. 【答案】(1) ;(2) 【分析】(1)先解集合，由题可得，再列不等式求解； (2) 由题可知是的真子集，再列不等式求解即可． 【详解】(1)由，得，所以， 由是的必要条件，知， 则，所以, 所以当时，是的必要条件， 即所求m的取值范围是． (2)由已知可得，因为是的必要不充分条件， 所以S是P的必要不充分条件，所以⇒，且不能推出, 所以是的真子集， 所以，或， 所以，即m的取值范围是． 【变式7-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【变式7-3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. ▌题型08 充分、必要条件与集合的交汇 充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解. 【典例8】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式8-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $