专题05 常用逻辑用语8种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题05 常用逻辑用语8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 充分条件与必要条件的判断 题型 02 充分条件、必要条件的探求 题型 03 利用充分、必要条件求参数的取值范围 题型 04 充要条件的证明 题型 05 全称量词命题与存在量词命题的判断 题型 06 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 题型 07 全称量词命题与存在量词命题的否定 题型 08 根据含有量词的命题的真假求参数 ▌题型01 充分条件与必要条件的判断 充分条件与必要条件的四种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒ / q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p 注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 第一：化简条件和结论 第二：根据条件与结论范围的大小进行判断 第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 ①若，则是的充分条件； ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充分不必要条件； ④若，则是的必要不充分条件； ⑤若，则是的充要条件； ⑥若且，则是的既不充分也不必要条件. (3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． (4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 【例1】（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-1】（2026高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 【变式1-2】（2026高二·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 【变式1-3】（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. ▌题型02 充分条件、必要条件的探求 把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 ①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； ②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； ③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.） 【例2】（2026高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 【变式2-1】（2026高一·江苏南通·阶段检测）关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解方程有实数根的充要条件，即可结合必要不充分条件的定义求解. 【详解】有实数解，则，解得， 故二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是， 故选：D 【变式2-2】（2026高一·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 【变式2-3】（2026高三·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. ▌题型03 利用充分、必要条件求参数的取值范围 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【例3】（2026高一·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式3-1】（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式3-2】（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 【变式3-3】（2026高一·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． ▌题型04 充要条件的证明 1.核心逻辑 是充要条件，要分两步证明： ①充分性：由推出（）； ②必要性：由推出（）； 两步全部成立，才是充要条件。 2.解题步骤 (1)证充分性：已知成立，推导成立； (2)证必要性：已知成立，推导成立； (3)总结：二者互相推出，互为充要条件。 3.易错提醒 只证一步不完整，必须同时证明充分、必要性。 【例4】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式4-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）设集合. (1)11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. (2)证明：属于的两个整数，其积也属于； (3)写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)k为偶数，证明见解析； 【分析】（1）分析有，，再结合其定义即可判断. （2）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即 （3）设，再结合定义代入判断即可，且证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性. 【详解】（1）因为，，所以，； （2）设这两个整数分别为， 则集合中的元素， 所以． 因为，所以， ，则成立. （3）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以， 而，所以满足集合， 所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以． 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 【变式4-3】（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. ▌题型05 全称量词命题与存在量词命题的判断 1. 核心逻辑 ① 全称量词：（任意、所有、全部），对应全称命题：； ② 存在量词：（存在、有一个、至少一个），对应存在命题：。 2. 解题步骤 (1)观察句子关键词：找“任意/所有”或“存在/至少”； (2)有关键词“任意、全部” 全称量词命题； (3)有关键词“存在、有一个” 存在量词命题。 3. 易错提醒 部分句子省略量词，要根据语义判断是全部还是部分。 【例5】（2026高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式5-1】（2026高一·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是全称量词命题． 【变式5-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【变式5-3】（2026高一·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. ▌题型06 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1. 核心逻辑 ①全称命题为真：集合内全部满足结论；只要1个不满足即为假； ②存在命题为真：集合内至少1个满足结论；全部不满足才为假。 2. 解题步骤 (1)全称命题：找反例，找到 1 个反例直接判定为假；无反例则为真； (2)存在命题：找符合条件的 ，找到 1 个就为真；全部验证都不满足才为假。 3. 易错提醒 全称命题证假只需举反例，证真要全部成立；存在命题证真只需举一例。 【例6】（2026高三·全国·专题练习）下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 【变式6-1】（2026高一·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 【变式6-2】（2026高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 【变式6-3】（2026高一·全国·寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 【答案】(1)存在量词命题，真 (2)全称量词命题，假 (3)全称量词命题，真 (4)存在量词命题，真 【分析】（1）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真； （2）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用举反例法判定全称量词命题为假； （3）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用三角形的性质判定全称量词命题为真； （4）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真. 【详解】（1）存在量词命题．时，成立．所以命题是真命题． （2）全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直， 所以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． （3）全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边， 所以全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． （4）存在量词命题．3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． ▌题型07 全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 核心逻辑 否定规则：量词互换，结论否定 ① 的否定：； ② 的否定：。 2. 解题步骤 (1)更换量词：； (2)否定后面的不等式/结论（大于变小于、等于变不等于等）； (3)变量 的取值范围 保持不变。 3. 易错提醒 不能只否定结论，不更换量词；原集合范围不能改动。 【例7】（2026高二·福建三明·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解． 【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 所以命题“，”的否定是“，”． 【变式7-1】（2026高二·北京丰台·期末）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 【变式7-2】（2026高二·新疆和田·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解. 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 【变式7-3】（2026高二·贵州遵义·阶段检测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定规则，改换量词、否定结论、保持取值范围不变即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. ▌题型08 根据含有量词的命题的真假求参数 1. 核心逻辑 ① 全称命题为真：恒成立问题； ② 存在命题为真：能成立问题； ③ 原命题与它的否定真假相反。 2. 解题步骤 (1)命题为全称真：分离参数， 或 ； (2)命题为存在真：分离参数， 或 ； (3)若命题为假，转化为它的否定为真再求解参数。 3. 易错提醒 恒成立和能成立对应的函数最值容易混淆，一定要区分清楚。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 【变式8-1】（2026高一·四川宜宾·期中）已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 【变式8-2】（2026高二·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 【变式8-3】（2026高一·江苏·寒假作业）已知命题，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知命题为真命题，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为p的否定为假命题，则命题为真命题， 可化为，当且仅当时，等号成立， 即成立，只需即可， 故实数m的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 常用逻辑用语8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 充分条件与必要条件的判断 题型 02 充分条件、必要条件的探求 题型 03 利用充分、必要条件求参数的取值范围 题型 04 充要条件的证明 题型 05 全称量词命题与存在量词命题的判断 题型 06 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 题型 07 全称量词命题与存在量词命题的否定 题型 08 根据含有量词的命题的真假求参数 ▌题型01 充分条件与必要条件的判断 充分条件与必要条件的四种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒ / q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p 注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同． （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 第一：化简条件和结论 第二：根据条件与结论范围的大小进行判断 第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 ①若，则是的充分条件； ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充分不必要条件； ④若，则是的必要不充分条件； ⑤若，则是的充要条件； ⑥若且，则是的既不充分也不必要条件. (3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． (4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 【例1】（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026高二·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型02 充分条件、必要条件的探求 把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 ①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； ②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； ③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.） 【例2】（2026高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高一·江苏南通·阶段检测）关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高一·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【变式2-3】（2026高三·湖南株洲·阶段检测）设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 ▌题型03 利用充分、必要条件求参数的取值范围 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； ②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 【例3】（2026高一·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式3-1】（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【变式3-2】（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【变式3-3】（2026高一·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． ▌题型04 充要条件的证明 1.核心逻辑 是充要条件，要分两步证明： ①充分性：由推出（）； ②必要性：由推出（）； 两步全部成立，才是充要条件。 2.解题步骤 (1)证充分性：已知成立，推导成立； (2)证必要性：已知成立，推导成立； (3)总结：二者互相推出，互为充要条件。 3.易错提醒 只证一步不完整，必须同时证明充分、必要性。 【例4】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式4-2】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）设集合. (1)11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. (2)证明：属于的两个整数，其积也属于； (3)写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 【变式4-3】（2026高一·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． ▌题型05 全称量词命题与存在量词命题的判断 1. 核心逻辑 ① 全称量词：（任意、所有、全部），对应全称命题：； ② 存在量词：（存在、有一个、至少一个），对应存在命题：。 2. 解题步骤 (1)观察句子关键词：找“任意/所有”或“存在/至少”； (2)有关键词“任意、全部” 全称量词命题； (3)有关键词“存在、有一个” 存在量词命题。 3. 易错提醒 部分句子省略量词，要根据语义判断是全部还是部分。 【例5】（2026高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【变式5-1】（2026高一·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【变式5-3】（2026高一·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. ▌题型06 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1. 核心逻辑 ①全称命题为真：集合内全部满足结论；只要1个不满足即为假； ②存在命题为真：集合内至少1个满足结论；全部不满足才为假。 2. 解题步骤 (1)全称命题：找反例，找到 1 个反例直接判定为假；无反例则为真； (2)存在命题：找符合条件的 ，找到 1 个就为真；全部验证都不满足才为假。 3. 易错提醒 全称命题证假只需举反例，证真要全部成立；存在命题证真只需举一例。 【例6】（2026高三·全国·专题练习）下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高一·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【变式6-2】（2026高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高一·全国·寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． ▌题型07 全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 核心逻辑 否定规则：量词互换，结论否定 ① 的否定：； ② 的否定：。 2. 解题步骤 (1)更换量词：； (2)否定后面的不等式/结论（大于变小于、等于变不等于等）； (3)变量 的取值范围 保持不变。 3. 易错提醒 不能只否定结论，不更换量词；原集合范围不能改动。 【例7】（2026高二·福建三明·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2026高二·北京丰台·期末）下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【变式7-2】（2026高二·新疆和田·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高二·贵州遵义·阶段检测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． ▌题型08 根据含有量词的命题的真假求参数 1. 核心逻辑 ① 全称命题为真：恒成立问题； ② 存在命题为真：能成立问题； ③ 原命题与它的否定真假相反。 2. 解题步骤 (1)命题为全称真：分离参数， 或 ； (2)命题为存在真：分离参数， 或 ； (3)若命题为假，转化为它的否定为真再求解参数。 3. 易错提醒 恒成立和能成立对应的函数最值容易混淆，一定要区分清楚。 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【变式8-1】（2026高一·四川宜宾·期中）已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【变式8-2】（2026高二·重庆·期末）已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高一·江苏·寒假作业）已知命题，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 常用逻辑用语8种常见考法归类 ▌题型01 充分条件与必要条件的判断 【例1】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C ▌题型02 充分条件、必要条件的探求 【例2】【答案】D 【变式2-1】【答案】D 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】B ▌题型03 利用充分、必要条件求参数的取值范围 【例3】【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式3-1】【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式3-2】【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 【变式3-3】【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． ▌题型04 充要条件的证明 【例4】【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式4-1】【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式4-2】【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)k为偶数，证明见解析； 【分析】（1）分析有，，再结合其定义即可判断. （2）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即 （3）设，再结合定义代入判断即可，且证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性. 【详解】（1）因为，，所以，； （2）设这两个整数分别为， 则集合中的元素， 所以． 因为，所以， ，则成立. （3）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以， 而，所以满足集合， 所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以． 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 【变式4-3】【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. ▌题型05 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例5】【答案】B 【变式5-1】【答案】C 【变式5-2】【答案】D 【变式5-3】【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. ▌题型06 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例6】【答案】C 【变式6-1】【答案】C 【变式6-2】【答案】B 【变式6-3】【答案】(1)存在量词命题，真 (2)全称量词命题，假 (3)全称量词命题，真 (4)存在量词命题，真 【分析】（1）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真； （2）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用举反例法判定全称量词命题为假； （3）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用三角形的性质判定全称量词命题为真； （4）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真. 【详解】（1）存在量词命题．时，成立．所以命题是真命题． （2）全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直， 所以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． （3）全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边， 所以全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． （4）存在量词命题．3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． ▌题型07 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例7】【答案】D 【变式7-1】【答案】C 【变式7-2】【答案】A 【变式7-3】【答案】C ▌题型08 根据含有量词的命题的真假求参数 【例8】【答案】 【变式8-1】【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 【变式8-2】【答案】A 【变式8-3】【答案】 【分析】根据题意可知命题为真命题，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为p的否定为假命题，则命题为真命题， 可化为，当且仅当时，等号成立， 即成立，只需即可， 故实数m的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $