1.3空间向量及其运算的坐标表示（题型专练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算全维度，以模块化题型构建从基础运算到性质应用的逻辑链条，强化数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量|题型特征|知识逻辑| |----|----|----|----| |空间向量坐标运算|8|共面判定、投影向量、顶点坐标求解|以坐标表示为基础，构建向量运算的代数框架| |模长的坐标表示|9|模长计算、单位向量、射影问题|由向量坐标延伸至长度度量，体现数形结合| |平行的坐标表示|8|共线参数求解、方向向量判定|通过坐标比例关系深化向量平行的代数本质| |垂直的坐标表示|8|垂直条件应用、轨迹问题|利用数量积为零建立垂直关系的代数模型| |夹角的坐标表示|8|夹角计算、投影向量、钝角判定|结合数量积公式实现角的量化，强化运算能力|

1.3空间向量及其运算的坐标表示（题型专练）答案版 1．（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 2．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【知识点】空间向量的坐标运算 【详解】因为空间向量，， 所以. 3．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 4．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量的坐标运算、求投影向量 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 5．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【知识点】空间中的点（线）共面问题、判定空间向量共面、空间向量的坐标运算 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数 【详解】已知点在平面内，，故， 解得， ． 9．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 10．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 11．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 13．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、空间向量共线的判定、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 14．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 15．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量模长的坐标表示 【详解】根据空间直角坐标系，可得点在坐标平面内的射影为， 所以点，可得，所以. 17．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 18．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 19．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示、求投影向量 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 20．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD 21．（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】由夹角为钝角可得与不共线，且，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 22．（25-26高二上·广东茂名·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标关系判断A，B，应用空间向量数量积及夹角余弦公式计算判断C，D. 【详解】向量，，， 因为，所以，A选项正确； 易知不存在实数使得，所以不平行，B选项错误； 显然，所以，C选项正确； 易知，D选项正确； 故选：ACD. 23．（25-26高二上·天津·期中）已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 24．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（   ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】对于A选项，根据空间向量的模的坐标表示判断即可；对于B选项，由空间向量夹角公式判断即可；对于C选项，结合空间向量平行根据线面关系判断即可；对于D选项，根据投影向量的求法判断即可. 【详解】对于选项A，，，所以，所以，故A正确； 对于选项B，，，，，，设，夹角为，则，故B错误； 对于选项C，因为，所以，所以，所以，故C错误； 对于D选项，在上的投影向量公式为，计算得到，故D正确. 故选：AD. 25．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 26．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 27．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 28．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由得，计算即可. 【详解】， ， ，， ，解得：. 故选：D 29．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【答案】6 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算可求得实数k的值. 【详解】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 30．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 31．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 32．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量数量积的应用、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先根据向量的数乘和加减法运算求出和的坐标，再利用向量垂直的性质，列出方程，求解即可. 【详解】因为，， 则， ， 又，所以， 即，化简得，解得. 故答案为： 33．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 34．（25-26高二下·福建宁德·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 35．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 36．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 37．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 38．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 39．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    40．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用 【分析】先分析点的轨迹，再求到轴距离的最大值. 【详解】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 4．（25-26高一下·四川·阶段检测）对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据题意得到，结合空间向量运算的坐标表示即可求解. 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 5．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 7．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】求空间中两点间的距离、用空间向量求点的坐标 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，连接， 三棱锥是正四面体，令正的重心为，则， 因点即正的中心，则平面， 设，即点，则点与点关于平面对称， 由为平面内动点，得， 则， 当且仅当是线段与平面的交点时取等号， 所以的最小值为. 9．（25-26高一下·宁夏银川·期末）（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 10．（24-25高二下·江苏·阶段检测）（多选）下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是锐角 C．已知，则在上的投影向量为 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析、空间向量的坐标运算 【详解】A：点关于平面对称的点的坐标是，正确； B：若，则向量的夹角是锐角或者向量同向共线，错误； C：已知，则在上的投影向量为，正确； D：设是空间的一个基底，因为，即共面，错误. 11．（25-26高二下·浙江杭州·期中）（多选）已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．动点的轨迹长度为 C．过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D．若均在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】AD 【知识点】正棱台及其有关计算、台体体积的有关计算、空间距离公式的应用、立体几何中的轨迹问题 【分析】先由正四棱台的侧面积求每个侧面梯形的面积，再求侧面梯形的高、侧棱长和棱台的高，利用棱台体积公式判断A项；对于B项，取的中点，的中点，在平面内作出点到平面的垂线，结合线面角的正切值得到点的轨迹是侧面梯形内某圆的一部分，再判断其轨迹长度；对于C项，利用和确定截面为等腰梯形，再计算其周长；对于D项，建立空间直角坐标系，设过，，，的球的球心为，半径为，列方程求，进而求球的表面积． 【详解】因为正四棱台的侧面积为，所以每个侧面梯形的面积为． 设该正四棱台的侧棱长为，则侧面梯形的高为，所以，解得． 设正四棱台的高为，由于上下底面对应顶点在底面上的水平距离为，所以． 对于A项，正四棱台上、下底面面积分别为和，所以体积，A项正确． 由上述分析可知，侧面的高为． 取的中点，连接，，，则．因为，所以，从而四点，，，共面．因此过，，三点的平面截该正四棱台所得截面为等腰梯形． 其中，，，所以该截面的周长为，不是，C项错误． 如下图，取的中点，连接，． 易知，，且，所以平面．又平面，所以平面平面． 过点作，垂足为，则平面.连接，则为直线与平面所成的角． 在中，，.过点作于点，则． 因为，所以． 由题意得．又，所以．因此动点在以为圆心、为半径的圆上． 又，而点在侧面的边界上，所以该圆不可能全部位于侧面内． 因此动点在侧面内的轨迹不是整个圆，轨迹长度小于，B项错误． 以正方形的中心为原点，过点且平行于的直线为轴， 过点且平行于的直线为轴，过点的高所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，． 设过，，，的球的球心为，半径为，则 由第三个方程与第四个方程相减，得；由第一个方程与第二个方程相减，得，所以． 再由第一个方程与第三个方程比较，得，解得． 所以，该球的表面积为，D项正确． 故选AD． 12．（25-26高二下·上海·期末）已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 13．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 14．（25-26高二下·上海·期末）已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、用柯西不等式求参数取值范围 【分析】设底面的中心为原点，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，结合已知条件得到，设，，则，再应用向量数量积的运算律及坐标运算得到，最后由柯西不等式得，即可得. 【详解】设底面的中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    因为正四棱锥的底面边长，所以， 侧棱长，则高， 则，，，，， 设向量，则，， 由，整理得， 因为，所以，得， 设，，则，当且仅当时取等号， 由，其中，， 则，，且， 所以， 所以， 由于，而，当且仅当时两处等号同时成立， 所以，则，即为. 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 16（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 17．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 【答案】（1）或（2） 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量； （2）由，应用向量数量积的定义及运算律求的长. 【详解】（1）由题可得， 由得：且， 则，解得， 即或； （2）由题意得，， ， ， 又， 所以， 所以． 18（25-26高二上·广东惠州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1)， (2)5 【知识点】向量夹角的计算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 19．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 （题型专练）原卷版 空间向量坐标运算知识点01 1．（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 2．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 3．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 5．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知空间四点：，判断四点是否共面． 7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 空间向量模长的坐标表示知识点02 9．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 11．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 13．（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（    ） A．若向量，则 B．若向量，则 C．若向量，则在上的投影向量是 D．若向量，则与共线的单位向量是 14．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 15．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 16．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D． 空间向量平行的坐标表示知识点03 17．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 18．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 19．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 20．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 21．（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 22．（25-26高二上·广东茂名·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·天津·期中）已知空间向量，，若，则_____. 24．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，下列结论正确的是（   ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 空间向量垂直的坐标表示知识点04 25．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 26．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 27．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 28．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 29．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 30．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 31．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 空间向量夹角的坐标表示知识点05 33．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 34．（25-26高二下·福建宁德·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 35．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 36．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 37．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 39．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 40．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 2．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 4．（25-26高一下·四川·阶段检测）对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 5．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 9．（25-26高一下·宁夏银川·期末）（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10．（24-25高二下·江苏·阶段检测）（多选）下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是锐角 C．已知，则在上的投影向量为 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．（25-26高二下·浙江杭州·期中）（多选）已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．动点的轨迹长度为 C．过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D．若均在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）已知，，，若、和共面，则实数________． 13．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 14．（25-26高二下·上海·期末）已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 16．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 17．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 19（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $