1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕空间向量坐标运算，通过基础选择填空、中档多选、综合解答题分层设计，覆盖坐标表示、垂直、模长等知识点，实现从单一运算到综合应用的巩固路径，培养运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（坐标运算、垂直条件）|单选/填空聚焦基础运算（如向量模长计算）| |中档|多个知识点综合（平行、夹角、投影）|多选考查概念辨析（如向量关系判断）| |综合|知识综合应用（模长、夹角、参数求解）|解答题分问递进（如含多问的综合应用）|

1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 2．已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 3．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 4．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 5．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 二、多选题 7．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：AC 8．已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 三、填空题 9．已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 10．已知向量，求______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 12．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 4．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 6．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 9．已知向量，若，则________． 10．已知向量，求______． 四、解答题 11．已知，，. (1)求的值； (2). 12．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $